1、2013届山东省济宁市鱼台一中高三上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 是虚数单位， ( ) A B C D 答案： B 试题分析： 。 考点：复数的运算。 点评：本题直接考查复数的运算，属于基础题型。对于复数的除法运算，一般是分子、分母同乘以分母的共轭复数。 已知函数 是定义在 R上的奇函数，当 时， 则函数 在 上的所有零点之和为 A 7 B 8 C 9 D 10 答案： B 试题分析：因为函数 f（ x）是定义在 R上的奇函数，所以 f（ -x） =-f（ x）。 又因为函数 在 ，所以 g（ -x） =（ -x） f（ -x） -1=（ -x）（ -f（ x） -1=xf
2、（ x） -1=g（ x），所以函数 g（ x）是偶函数，所以函数 g（ x）的零点都是以相反数的形式成对出现的。要求函数 g（ x）在 -6， +)上所有的零点的和，即是求函数 g（ x）在 (6， +)上所有的零点之和。 由 0 x2时， ，将其变形为 ，由变形式知在 的取值范围为 。当 x2时， ， 综上所述，函数 g（ x） =xf（ x） -1 在 -6， +)上所有的零点之和为 8，故选 B。 考点：函数的图像；函数的图像变换；函数的零点。 点评：函数的零点、函数图像的交点、对应方程的根，我们应熟练掌握三者之间的转化。此题的难度较大，解题的关键为分析函数 f(x)的范围。考查了学生
3、分析问题的能力。 函数 ，函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 m的取值范围是 A B C D 答案： C 试题分析： ，当， 。 ，当 ， ，若存在 ，使得成立，则 。 考点：三角变换；二倍角公式；和差公式；函数 的最值；函数与方程的综合应用。 点评：本题主要考查三角函数值域的求法，考查了学生分析解 决问题的能力，正确分析出函数的值域之间的关系是关键 已知函数 ，且关于 x的方程 有 6个不同的实数解，若最小实数解为 ，则 的值为（ ） A -3 B -2 C 0 D不能确定 答案： B 试题分析：作出函数 的图象，因为方程 有 6个不同的实数解，所以如图所示：令 t=f（ x），方程 转化
4、为：t2+at+2b=0，则方程有一零根和一正根，又因为最小的实数解为 -3，所以 f（ -3）=2，所以方程： t2+at+2b=0的两根是 0和 2，由韦达定理得： a=-2， b=0， a+b=-2，故选 B。 考点：根的存在性及方程解的个数的判断；函数图像的对称变换。 点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了方程的根与函数零点的关系，属于中档题做本题的关键是正确、快速画出函数 的图像，以及把方程 的解和方程 t2+at+2b=0的解联系起来。 若 ，则下列不等式一定不成立的是 A B C D 答案： C 试题分析： A因为 ，两边同乘以 ，得 ； B因为 ，函数 单调递增，所以
5、 ； C因为 ，所以 ，因此 C错误； D因为 ，所以 考点：对数函数的单调性；不等式的性质；基本不等式。 点评：本题考查的知识点较为综合，这就要求我们再平常的学习中，要熟练掌握每一个知识点。属于基础题型。 已知数列 是公比为 q的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则 q A 1或 B 1 C D -2 答案： A 试题分析：因为 ， ， 成等差数列，所以 ，因为等比数列中的每一项都不为 0，所以 ，解得 q 1或 。 考点：等差数列的性质；等比数列的性质。 点评：本题主要考查等差数列和等比数列的综合运算，属于基础题型。 已知 ， ，且 ，则函数 与函数 的图象可能是 答案： B 试题分析：函
6、数 的图像和函数 的图像关于 x轴对称。因为 ，所以 ，所以函数 与函数 的图象的单调性相同， A、 C排除，又选项 D中 ， ，与 矛盾，所以选 B。 考点：指数函数的图像；对数函数的图像；函数图像的对称变换。 点评：把函数 的图像关于 x轴对称得 的图像；把函数 的图像关于 y轴对称得 的图像；把函数 的图像关于原点对称得的图像。 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象 A向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位 C向右平移 个长度单位 D向左平移 个长度单位 答案： D 试题分析：把函数 的图象向左平移 个长度单位得到函数的图象。 考点：三角函数图像的平移变换。 点评：函数图像左右
7、平移的原则是：左加右减。但要注意，在加减一个数时，若 x前的系数不为 1，一定要先提取系数再进行加减。 下列各命题中，不正确的是（ ） A若 是连续的奇函数，则 B若 是连续的偶函数，则 C若 在 上连续且恒正，则 D若 在 上连续，且 ，则 在 上恒正 答案： D 试题分析： A若 是连续的奇函数， 则 ，所以正确； B若 是连续的偶函数， 则 ，所以正确； C若 在 上连续且恒正，则 ，所以正确； D若 在 上连续，且 ，则 在 上恒正，错误。例如 。 考点：定积分的性质。 点评：本题主要考查定积分的性质，正确理解定积分的性质是解题的关键。注意举反例来说明命题不成立。 下列各组函数是同一函
8、数的是（ ） 与 ； 与 ； 与 ； 与 。 A B C D 答案： C 试题分析： 与 的值域不同； 与 的值域不同； 因为 ， ，定义域、值域、对于法则完全相同，所以是同一函数； 与 ，定义域、值域、对于法则完全相同，所以是同一函数； 考点：函数的三要素。 点评：判断两函数是否为同一函数，关键看三要素，只有三要素完全相同，才是同一函数，缺一不可。 若数列 中， ，则 取得最大值时 的值是（ ） A 13 B 14 C 15 D 14或 15 答案： B 试题分析：因为由 ，所以数列的前 14项为正，其余的都为负，所以前 14项的和最大。 考点：等差数列的性质。 点评：等差数列前 n项和的最
9、值问题应引起足够的重视。我们常用的方法是：先判断数列的变化趋势，再考虑最值的临界值。 在等差数列 中， =24，则前 13项之和等于（ ） A 13 B 26 C 52 D 156 答案： B 试题分析：因为 =24，所以 ，所以 . 考点：等差数列的通项公式；等差数列的性质；等差数列的前 n项和公式。 点评：此题主要考查等差数列前 n和的灵活应用。属于基础题型。 填空题 在数列 中，如果对任意的 ，都有 （ 为常数），则称数列 为比等差数列， 称为比公差现给出以下命题： 若数列 满足， ， （ ），则该数列不是比等差数列； 若数列满足 ，则数列 是比等差数列，且比公差 ； 等比数列一定是比等
10、差数列，等差数列不一定是比等差数列； 若 是等差数列，是等比数列，则数列 是比等差数列 其中所有真命题的序号是 _ 答案： 试题分析：根据新定义可知： 若数列 满足 ， ，（ ），则该数列不是比等差数列：因为 ， ， ，所以，所以 ，所以不成立。 若数列 满足 ，则数列 是比等差数列，且比公差 ：因为 不是常数，所以不成立； 等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列：若数列 是等比数列，则 ，所以 ，所以是比等差数列，成立； 若 是等差数列， 是等比数列，则数列 是比等差数列：当 和是非 0常数列时，成立，其他的不一定成立。 考点：数列的应用。 点评：本题考查新定义的理解和运算，解
11、决该试题的关键是应正确理解新定义，并结合所学知识来判定，同时注意利用列举法判断命题为假 已知函数 若 ，则实数 的取值范围是 答案： (-1,3) 试题分析：令 所以 单调递增， 又单调递增，且 ，所以函数 单调递增，因为 ，所以 。 考点：分段函数的性质；不等式的解法；利用导数研究函数的单调性。 点评：我们要注意分段函数在整个定义域内单调性的判断。函数但在 内不一定单调递增。 计算： _ 答案： 试题分析： 。 考点：对数的运算法则；指数幂的运算；换底公式。 点评：此题主要考查对数的运算和指数幂的运算，我们要熟记对数运算和指数幂的运算法则。属于基础题型。 若向量 与 的夹角是 ， ,且 则
12、答案： 试题分析：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 2. 考点：向量垂直的条件；平面向量的数量积。 点评：（ 1）向量的平方就等于其模的平方；（ 2）熟记向量平行和垂直的条件，设 ： 非零向量垂直的充要条件： ； 向量共线的充要条件： 。 解答题 （本小题满分 10分） 函数 f(x) Asin(x- ) 1（ A 0， 0）的最大值为 3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 （ 1）求函数 f(x)的式； （ 2）设 (0， 2)， f( ) 2，求 的值 答案：（ 1） f(x) 2sin(2x- ) 1（ 2） ，或 试题分析：（ 1） 函数 f(x)的最大值为 3， A 1 3，即
13、A 2， 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ， 最小正周期 T ， 2 故函数 f(x)的式为 f(x) 2sin(2x- ) 1 （ 2） f( ) 2sin(- ) 1 2，即 sin(- ) 0 2， - - ， - ，或 - ， 故 ，或 考点：函数 的性质；三角函数求值。 点评：本题为基础题型，我们在做题时要认真、仔细，确保得满分。求函数的式，我们一般根据最值求 A，根据周期 求 ，找点代入求 ， （本小题满分 12分） 命题 实数 x满足 （其中 ），命题 实数 满足 （ 1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围； （ 2）若 是 的充分不必要条件，求实数 a的取值范围 . 答案
14、：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）由 得 ，又 ，所以 ， 当 时， 1 ，即 为真时实数 的取值范围是 1 . 由 得 解得 ， 即 为真时实数 的取值范围是 . 若 为真，则 真且 真，所以实数 的取值范围是 . （ 2）由（ ）知 p： ，则 ： 或 ， q： ，则 ： 或 ， 是 的充分不必要条件，则 ，且 ， 解得 ，故实数 a的取值范围是 考点：一元二次不等式的解法；含绝对值不等式的解法；分式不等式的解法；复合命题真假的判断；充分、必要、充要条件的判断。 点评：不等式的解法为常用到的基础知识点，我们要数量掌握不等式的解法，常用到的有：一元二次不等式、含绝 对值不等式、分
15、式不等式、高次不等式的解法。尤其要注意含参不等式的解法。本题就考查了一元二次含参不等式的解法。解一元二次含参不等式的主要思想是分类讨论，一般要讨论开口方向、两根的大小和判别式。 （本小题满分 12分）已知 的两边长分别为 ， ，且 O为 外接圆的圆心（注： ， ） （ 1）若外接圆 O 的半径为 ，且角 B为钝角，求 BC 边的长； （ 2）求 的值 答案：（ 1） 16.（ 2） 448。 试题分析：（ 1）由正弦定理有 ， ， ， ， 且 B为钝角， ， ， ， 又 ， ； （ 2）由已知 ， ， 即 同理 ， ， 两式相减得 ， 即 ， 考点：正弦定理；平面向量的数量积；平面向量的数量积
16、的性质。 点评：此题的关键点是把数量积 转化为，之所以这样想的原因是想用外接圆的半径长。这样告诉了我们在分析问题时，要把条件和结论一块分析。 （本小题满分 12分） 年中秋、国庆长假期间，由于国家实行 座及以下小型车辆高速公路免费政策，导致在长假期间高速公路出现拥堵现象。长假过后，据有关数据显示，某高速收费路口从上午 点到中午 点，车辆通过该收费站的用时 （分钟）与车辆到达该收费站的时刻 之间的函数关系式可近似地用以下函数给出： y= 求从上午 点到中午 点，通过该收费站用时最多的时刻。 答案：上午 点。 试题分析：当 时， 得： 故： 在 单调递增，在 单调递减， 因此， ； 当 时， 。当
17、且仅当 即： 。 因此 在 单调递减， 所以， 。 当 时， ，对称轴为 ， 故 。 综上所述： 。 故：通过收费站用时最多的时刻为上午 点。 考点：函数最值的实际应用；分段函数的最值求法；利用导数研究函数的单调性和最值；二次函数的性质；基本不等式。 点评：本题考查的知识点是函数的最值，分段函数的最值，导数求函数的最值，基本不等式求最值，难度较大对于分段函数的最值我们要分段求，把各段的最值的都求出，再进行比较，最大的那个就是这个分段函数的最大值。 （本小题满分 12分） 已知数列 的相邻两项 是关于 的方程 N 的两根 ,且 . (1) 求数列 和 的通项公式 ; (2) 设 是数列 的前 项
18、和 , 问是否存在常数 ,使得 对任意N 都成立 ,若存在 , 求出 的取值范围 ; 若不存在 , 请说明理由 . 答案：（ 1） ， 。（ 2） 。 试题分析： (1) 是关 于 的方程 N 的两根 , 由 ,得 , 故数列 是首项为 ,公比为 的等比数列 . , 即 . 所以 。 (2) .、 要使 对任意 N 都成立 , 即 (*)对任意 N 都成立 . 当 为正奇数时 , 由 (*)式得 , 即 , , 对任意正奇数都成立 .当且仅当 时 , 有最小值 . . 当 为正偶数时 , 由 (*)式得 , 即 , , 对任意正偶数都成立 . 当且仅当 时 , 有最小值 . . 12 分 综上
19、所述 , 存在常数 ,使得 对任意 N 都成立 , 的取值范围是. 考点：数列通项公式的求法；数列前 n项和的求法。 点评：本题主要考查用待定系数法求数列的通项公式和用分组求和法求数列的前 n 项和，属于常规题型。第二问主要体现了分类讨论的数学思想，属于难点。若已知递推式 的形式求数列的通项公式，一般来说要在原递推式两边同除以 来构造。 （本小题满分 12分） 设函数 ( 为自然对数的底数 )，（ ） （ 1）证明： ； （ 2）当 时，比较 与 的大小，并说明理由； （ 3）证明： （ ） 答案：（ 1）设 ，即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得唯一 极小值。 （ 2）用数学归纳法证明即可； （ 3）证明 1：先证对任意正整数 ， ，再证对任意正整数 ， 即要证明对任意正整数 ，不等式 （ *）成立，以下可以数学归纳法证明。
