1、2013届山西省太原五中高三 12月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知空间中两点 ， ，且 ，则 A 1或 2 B 1或 4 C 0或 2 D 2或 4 答案： D 试题分析： 或 4 考点：两点间距离公式 点评： 在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，点 M、 N 分别在 AB1、 BC1上，且，则下列结论 ； ； MN/平面 A1B1C1D1； 中，正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：此题借助于空间向量的知识来解，首先建立以 D为原点的坐标系，设边长为 1，写出相关点坐标，找到直线的方向向量，平面的法向量而后进行数据计算证明 考点：空间线面
2、的垂直平行关系的证明 点评：空间向量在求解立体几何问题时思路简单，方法易行 已知 ,定义运算 设 则当 时， 是的值域为 A B C D 答案： A 试题分析：， 考点：三角函数求值域 点评：求函数值域首先要注意定义域 已知正方形 的边长为 4，点 位边 的中点，沿折叠成一个三棱锥 （使 重合于点 ），则三棱锥的外接球表面积为 A B C D 答案： A 试题分析：折叠后的三棱锥 中 两两垂直，所以三棱锥的外接球与以 为临边的长方体外接球是相同的，球的直径 等于长方体体对角线 ， 考点：三棱锥外接球 点评：解本题的关键点在于利用 两两垂直将三棱锥外接球转化为长方体外接球 已知数列 满足 ， ，
3、 ，且对任意的正整数 ，当 时，都有 ，则 的值是 A 2012 B 2013 C 2014 D 2015 答案： D 试题分析：由 ， ， 可得 ，以此类推为等差数列，公差为 1， 考点：数列求和 点评：先由数列前几项推测出通项，进而带入相应的公式求解 三棱柱 的侧棱长和底面边长均为 ，且侧棱 底面 ，其正视图是边长为 的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为 A B C D 答案： B 试题分析：由正视图面积及各边长度可知侧视图为矩形，两邻边为 2， ，所以面积为 考点：几何体三视图问题 点评：先由三视图还原直观图，在求其直观图中的量 若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数的取值范围是 A B
4、 C D 答案： A 试题分析：直线 过定点 ，曲线 整理得，画出图像可得 考点：直线与圆的位置关系 点评：本题利用数形结合法能够容易的求出 k的范围 已知点 是 重心 , , 则 的最小值是 A B C D 答案： C 试题分析： 考点：向量求模运算及均值不等式 点评：用到的主要公式 ， 圆 上的点到直线 的距离最大值是 A 2 B CD 答案： B 试题分析：圆的圆心 ，半径 ，圆心到直线的距离 ，结合图形可知最大距离为 考点：直线与圆的位置关系 点评：本题先判定圆心到直线的距离进而求最大距离最小距离 若对所有实数 ，均有 ，则 A 3 B 4 C 5 D 6 答案： A 试题分析：对所有
5、实数 ，均有 ，取代入得 化简得 ， 考点：三角函数化简 点评：选择题中利用特殊值的方法求解 函数 的一条对称轴方程为 ，则 A 1 B C 2 D 3 答案： B 试题分析： 的对称轴是化简得 考点：三角函数性质 点评：利用对称轴处取最值求解 在 中， ,则 A B C D 答案： B 试题分析： ， 考点：正余弦定理解三角形 点评：正余弦定理可以实现三角形中边与角的互相转化 填空题 把数列 的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第 行有 个数，第 行的第 个数（从左数起）记为 ，则 可记为_ 答案： 试题分析：数列 的通项 ，当 时 ， 是数列的第 4444项，数表中前
6、k项的和为 令，当 时 ，所以前 12行共有 4095个数，又 4444-4095=349，所以 是第 13行第 349个数 考点：数列求通项求和 点评：本题要搞清楚两个数列，数列 和数表对应的数列的关系 已知 f（ x）是定义在 R上的奇函数，且当 x0时 在 R上是单调函数，则实数 a的最小值是 答案： 试题分析：当 时， 又 f（ x）是定义在 R上的奇函数 ， 最小值 -1 考点：函数奇偶性单调性 点评：由已知 在 R上是单调函数所以要先求出 时的式 已知 为第二象限角， ，则 答案： 试题分析： 为第二象限角， ，考点：同角间三角函数关系式 点评：由角的范围确定三角函数值的正负 若曲
7、线 在点 处的切线与直线 互相垂直，则 答案： 试题分析： 得斜率为 ， 考点：函数导数的几何意义 点评：函数在某点处的导数等于该点处的切线斜率 解答题 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形已知 （ ）证明 平面 ； （ ）求四棱锥 的体积 ； （ ）设二面角 的大小为 ，求 的值 答案：（ ）见（ ） （ ） 试题分析：（ ）（ ）作 ，在 中 由余弦定理可得 , （ ）作 ，连接 可证得 即为所求二面角的平面角，在矩形 中 , ,二面角余弦为 考点：线面垂直的判定定理及点面距，二面角的计算 点评：立体几何题目除此方法外利用空间向量求解也是常用的方法 已知 sin +cos = , 求 的值 .
8、 答案： 试题分析：考点：同角间的三角函数关系及二倍角，和角公式 点评：在熟记公式的基础上结合角的范围进行计算 已知圆 M的方程为 x2 (y-2)2 1，直线 l的方程为 x-2y 0，点 P在直线 l上，过点 P作圆 M的切线 PA， PB，切点为 A， B. ( )若 APB 60，试求点 P的坐标； ( )若 P 点的坐标为 (2,1)，过 P 作直线与圆 M 交于 C， D 两点，当 CD 时，求直线 CD的方程 . 答案： ( ) P(0,0)或 P( ， )( ) x y-3 0或 x 7y-9 0 试题分析： (1)设 P(2m， m)，由题可知 MP 2， 所以 (2m)2
9、(m-2)2 4，解之得 m 0或 m . 故所求点 P的坐标为 P(0,0)或 P( ， ) (2)由题意易知直线 CD的斜率 k存在，设直线 CD的方程为 y-1 k(x-2)， 由题知圆心 M到直线 CD的距离为 ， 所以 ，解得， k -1或 k - ， 故所求直线 CD的方程为 x y-3 0或 x 7y-9 0. 考点：直线与圆的位置关系 点评：直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径；直线与圆相交，圆心到直线的距离，圆的半径，弦长一半构成直角三角形 已知函数 ,其中常数 . （ ）当 时，求 的极大值；（ ）试讨论 在区间 上的单调性 ; （ 3）当 时 ,曲线 上总存在相异两
10、点 , ,使曲线 在点 处的切线互相平行 ,求 的取值范围 . 答案：（ ） （ 2）当 时 , 在 上单调递减 ,在上单调递增 . 当 时 , 在 上单调递减，当 时 , 在上单调递减 ,在 上单调递增（ 3） 试题分析： (1) 当 时 , ,当 或 时 , ;当 时 , , 在 和 上单调递减 ,在 上单调递增 ,故 极大值 = (2) 当 时 , 在 上单调递减 ,在 上单调递增 . 当 时 , 在 上单调递减 当 时 , 在 上单调递减 ,在 上单调递增 . (3)由题意 ,可得 ( ) 既 对 恒成立 另 则 在 上单调递增， 故 ，从而 的取值范围是 。 考点：利用导数求函数最值
11、，单调区间及导数的几何意义 点评：解本题的注意事项：求单调区间时需分情况讨论，在解决恒成立问题时常转化为求函数最值问题 如图，直线 AB经过 O 上一点 C，且 OA=OB， CA=CB， O 交直线 OB于 E、 D. （ ）求证：直线 AB是 O 的切线； （ ）若 O 的半径为 3，求 OA的长 . 答案：（ ）见（ ） 试题分析：（ ）如图，连接 OC， OA=OB， CA=CB， OC AB， AB是 O 的切线 （ ） ED是直径， ECD=90， Rt BCD中， tan CED= , = ， AB是 O 的切线， BCD= E，又 CBD= EBC， BCD BEC, = =
12、， 设 BD=x,则 BC=2x， 又 BC2=BD BE， =x （ x 6）， 解得： x1=0,x2=2, BD=x 0, BD=2， OA=OB=BD OD=3 2=5 考点：平面几何的证明计算 点评：应用圆中的知识点及直线与圆相切相交的线段长度关系推理计算 已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的正半轴重合，且长度单位相同圆 的参数方程为 ( 为参数 ),点 的极坐标为 .（ ）化圆 的参数方程为极坐标方程；（ ）若点 是圆 上的任意一点 , 求 , 两点间距离的最小值 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ 1）圆 C的直角坐标方程为 ，展开得化为极坐标方程 （ 2）点 Q 的直角坐标为 ，且点 在圆 内，由（ 1）知点 的直角坐标为 所以 ，所以 两点间距离的最小值为考点：极坐标方程 及两点间距离最值 点评：第二小题中首先求圆心到定点的距离，再利用圆的对称性求解 已知函数 （ ）解不等式 ； （ ）若 的定义域为 ，求实数 的取值范围 答案：（ ） （ ） 试题分析： (1)原不等式等价于 或 或 因此不等式的解集为 （ 2）由于 的定义域为 ,则 在 上无解 .又 ,即 的最小值为 2,所以 ,即考点：绝对值不等式解法及绝对值函数求最值 点评：绝对值不等式求解分情况去掉绝对值符号
