1、2013届山西省康杰中学高三第八次模拟文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，则满足 的集合 的个数是（ ） A 1 B 3 C 4 D 8 答案： C 试题分析：因为 ， ，所以 , , , ,故选C. 考点：并集及其运算；集合的包含关系判断及应用 点评：此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键 设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若对任意的，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：当 ， ，又函数是奇函数，所以当 时， ，所以 是 R上的单调递增函数，且满足 ，又因为不等式在 恒成立， 所以
2、 在 恒成立，即 在 恒成立，所以，解得 .选 A. 考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质 点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性 等比数列 中， ， =4，函数 ，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：考虑到求导中 ，常数项为 ，再由含有 x项均取 0，可得， ，故选 C. 考点：等比数列的通项公式 导数的乘法与除法法则 点评：本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基础题 已知非零向量 与 满足 且 则为（ ） A等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相
3、等的三角形 答案： A 试题分析：因为 ,所以 (其中 是平分 的单位向量 )， 又 ，所以 ,所以三角形是等边三角形 .故选 A. 考点：向量的数量积运算 点评：本题考查了向量的数量积运算，解题的关键是运算和明白向量的几何意义，属中档题 . 已知函数 f(x)=a sinx-bcosx (a、 b为常数， a0,x R)在 x= 处取得最小值，则函数 y=f( -x)是 ( ) A偶函数且它的图象关于点 (， 0)对称 B偶函数且它的图象关于点 ( ， 0)对称 C奇函数且它的图象关于点 ( ， 0)对称 D奇函数且它的图象关于点 (， 0)对称 答案： D 试题分析：已知函数 ，所以 的周
4、期为 2，若函数在 x= 处取得最小值，不妨设 ，则函数， 所以 是奇函数且它的图像关于点 对称，故选 D. 考点：函数 y=A sin（ x+）的图象变换 点评：本题主要考查辅角公式、三角函数的奇偶性和对称性对于三角函数的基本性质要熟练掌握，这是解题的根本 如图，在等腰梯形 ABCD中， AB 2DC 2， DAB 60， E为 AB的中 点将 ADE与 BEC分别沿 ED、 EC 向上折起，使 A、 B重合于点 P，则三棱锥 P-DCE的外接球的体积为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为 1， 故外接球半径为 ，外接球的体积为 ，故选 C.
5、故选 C 考点：球内接多面体；球的体积和表面积 点评：本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题 设 则不等式 的解集为（ ） A (1， 2) (3， +) B ( ， +) C (1， 2) ( ， +) D (1， 2) 答案： C 试题分析：当 ，令 ，则 ，当 时，令 ，则 ， 综上， 或 ，故选 C. 考点：其它不等式的解法 点评：此题考查了其他不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，是一道综合题 已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为双曲线 的渐近线方程为 ， 所以双曲线 的两条渐近线的夹角为
6、 ，可知， 所以 ， ，所以双曲线的离心率为 ，故选 A. 考点：双曲线的简单性质 点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题的关键是由渐近线的夹角求出 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是 ( ) A 372 B 360 C 292 D 280 答案： B 试题分析：该几何体由两个长方体组合而成， 其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的 4个侧面积之和 S=2（ 108+102+82） +2（ 68+82） =360故选 B 考点：由三视图求面积 体积 点评：把三视图转化为直观图是解决问题的关键，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题 设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，则
7、( ) A 8 B 7 C 6 D 5 答案： D 试题分析： , , ,所以 ，所以 . 考点：等差数列的前 n项和 点评：本题主要考查等差数列的前 n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题 右面的程序框图 5，如果输入三个实数 a、 b、 c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A c x B x c C c b D b c 答案： A 试题分析：由流程图可知：第一个选择框作用是比较 x与 b的大小， 故第二个选择框的作用应该是比较 x与 c的大小， 条件成立时，保存最大值的变量 x=c, 故选 A 考点：排序问题与算法的多样性 点评
8、：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有： 分支的条件 循环的条件 变量的赋值 变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误 . 如果复数 (m2+i)(1+mi)是实数，则实数 ( ) A 1 B -1 C D - 答案： B 试题分析： ,因为该复数为实数，所以，所以 ，故选 B. 考点：复数代数形式的乘法运算 点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，解题的核心是运算及概 念的理解，属基础题 . 填空题 半径为 r的圆的面积 ,周长 ，若将 看作（ 0， +）上的变量，
9、则 , 式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为 R的球，若将 R看作（ 0， + ）上的变量，请你写出类似于 的式子： _ 式可用语言叙述为 _。 答案： ，球的体积函数的导数等于球的表面积函数 . 试题分析： ，又 ,故 式可填 ， 用语言叙述为 “球的体积函数的导数等于球的表面积函数 考点：类比推理 点评：本题考查类比推理，解答本题的关键是：（ 1）找出两类事物：圆与球之间的相似性或一致性；（ 2）用圆的性质去推测球的性质，得出一个明确的命题（猜想） 设 ，函数 有最大值，则不等式的解集为 答案： 试题分析：设 ，函数 有最大值，所以 ，则不等式 的解为 ，解得
10、 . 考点：二元一次不等式组；函数最值的应用 点评：本题考查指数函数，对数函数的性质，以及一元二次不等式组的解法是简单的中档题 已知变量 ， 满足约束条件 。若目标函数（其中 ）仅在点 处取得最大值，则 的取值范围为 答案： 试题分析：已知变量 x， y满足约束条件 1x+y4， -2x-y2 在坐标系中画出可行域， 如图为四边形 ABCD，其中 A（ 3， 1）， kAD=1， kAB=-1，目标函数 z=ax+y（其中 a 0）中的 z表示斜率为 -a的直线系中的截距的大小， 若仅在点（ 3， 1）处取得最大值，则斜率应小于 kAB=-1， 即 -a -1，所以 a的取值范围为（ 1， +
11、） 考点：简单线性规划的应用 点评：用图解法解决线性规划问题时，若目标函数 z=ax+y只在点 A处取得最优解，则过点 A线 z=ax+y与可行域只有一个交点，由此不难给出直线斜率 -a的范围，进一步给出 a 的范围，但在蟹题时要注意，区分目标函数是取最大值，还是最小值，这也是这种题型最容易出错的地方 . 设不等式组 ，表示平面区域为 D，在区域 D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2的概率是 答案： 试题分析：其构成的区域 D如图所示的边长为 2的正方形，面积为 S1=4， 满足到原点的距离大于 2所表示的平面区域是以原点为圆心，以 2为半径的圆外部， 面积为 , 在区域 D内随机
12、取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2的概率 . 考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型 点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值 解答题 为了测量两山顶 M， N 间的距离，飞机沿水平方向在 A， B 两点进行测量，A， B， M， N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A， B间的距离，请设计一个方案，包括： 指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； 用文字和公式写出计算 M， N 间的距离的步骤。答案： 试题分析：方案 1： 需要测量的数据有： 的之间距离 点到 的
13、俯角 点到 的俯角 第一步：计算 ，由正弦定理， 第二步：计算 ，由正弦定理， 第三步：计算 ，由余弦定理， 方案 2： 需要测量的数据有： 的之间距离 点到 的俯角 点到 的俯角 第一步：计算 ，由正弦定理， 第二步：计算 ，由正弦定理， 第三步： 计算 ，由余弦定理， 考点：解三角形的实际应用；函数模型的选择与应用 点评：本题主要考查解三角形问题，主要涉及了正弦定理和余弦定理的应用，根据已知，合理运用余弦定理是关键 . 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系 ,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至 6月份每月 10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数 ,得到如下资料： 日
14、 期 1月 10日 2月 10日 3月 10日 4月 10日 5月 10日 6月 10日 昼夜温差 x(C) 10 11 13 12 8 6 就诊人数 y(个 ) 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是 :先从这六组数据中选取 2组 ,用剩下的 4组数据求 线性回归方程 ,再用被选取的 2组数据进行检验 ( )求选取的 2组数据恰好是相邻两个月的概率； ( )若选取的是 1月与 6月的两组数据 ,请根据 2至 5月份的数据 ,求出 y关于 x 的线性回归方程 ； ( )若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人 ,则认为得到的线性回归方程是理
15、想的 ,试问该小组所得线性回归方程是否理 想 （参考公式： ) 答案： ( ) ( ) ( )是理想的 试题分析： ( )设抽到相邻两个月的数据为事件 A因为从 6组数据中选 取 2组数据共有 15种情况 ,每种情况都是等可能出现的 其中 ,抽到相邻两个月的数据的情况有 5种 ,所以 ( )由 数据求得 ， 由公式求得 再由 ， 所以关于的线性回归方程为 ( )当 时 , , ； 同样 , 当 时 , , 所以 ,该小组所得线性回归方程是理想的 考点：回归分析的初步应用；等可能事件的概率 点评：本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个
16、综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中 如图，在直四棱柱 中，已知 ， （ ）求证： ； （ ）设 是 上一点，试确定 的位置，使 平面 ，并说明理由 答案：（ ）先证 （ ） 是 的中点 试题分析： ( )证明：在直四棱柱 中，连结 ， ， 四边形 是正方形 又 ， ， 平面 ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， （ 2）连结 ，连结 ， 设 ， ，连结 ， 平面 平面 ，要使 平面 ， 须使 ， 又 是 的中点 是 的中点又易知 ， 即 是 的中点综上所述，当 是 的中点时，可使 平面 考点：线线垂直 线面平行 点评：熟练掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理是解题的关键
17、 ,属中档题 . 过点 C(0， 1)的椭圆 的离心率为 ，椭圆与 x轴交于两点 、 ，过点 C 的直线 与椭圆交于另一点 D，并与 x 轴交于点 P，直线 AC 与直线 BD交于点 Q （ I）当直线 过椭圆右焦点时，求线段 CD的长； （ II）当点 P异于点 B时，求证： 为定值 答案：（ I） （ II） =4 试题分析：（ ）由已知得 ，解得 ，所以椭圆方程为 椭圆的右焦点为 ，此时直线 的方程为 ，代入椭圆方程得，解得 ，代入直线 的方程得 ，所以 ，故 （ ）当直线 与 轴垂直时与题意不符 设直线 的方程为 代入椭圆方程得 解得 ，代入直线 的方程得 ， 所以 D点的坐标为 又直
18、线 AC 的方程为 ，又直线 BD的方程为 ，联立得因此 ，又 所以 故为定值 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 平面向量数量积的运算 椭圆的简单性质 点评：本题主要考察了由椭圆的性质求解椭圆方程，直线与曲线相交的弦长公式的应用及向量的数量积的坐标表示的应用，属于圆锥曲线问题的综合应用 已知函数 . （ ）讨论函数 的单调性； （ ）设 ，证明：对任意 ， . 答案：（ ）分类讨论得到单调性 （ ）构造函数用导数的方法证明 . 试题分析： ( ) f(x)的定义域为 (0,+ )， 当 a0时， 0，故 f(x)在 (0,+ )单调增加； 当 a-1时， 0, 故 f(x)在 (0,+ )单调减
19、少； 当 -1 a 0时，令 0,解得 x= .当 x (0, )时 , 0； x ( ， + )时， 0, 故 f(x)在（ 0, ）单调增加，在（ ， + ）单调减少 ( )不妨设 x1x2.由于 a-2,故 f(x)在（ 0， + ）单调减少 . 所以 等价于 4x1-4x2, 即 f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则 +4 . 于是 0. 从而 g(x)在（ 0， + ）单调减少，故 g(x1) g(x2)，即 f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2， 故对任意 x1,x2 (0,+ ) ， . 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究
20、函数的单调性 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属难题 在直角坐标系 xOy中，以 O 为极点， x正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C的极坐标方程为 cos（ ） =1， M,N 分别为 C与 x轴， y轴的交点。 （ I）写出 C的直角坐标方程，并求 M,N 的极坐标； （ II）设 MN 的中点为 P，求直线 OP的极坐标方程。 答案：（ I） , （ II） 试题分析：（ ）由 ，从而 C的直角坐标方程为 ，即 ， 时， 所以 时，所以 （ ） M点的直角坐标为（ 2， 0）， N 点的直角坐标为 ,所以 P点的直角坐标为 所以直线 OP的极坐标方程为. 考点：点的极坐标和直角坐标的互化；简单曲线的极坐标方程 点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化 已知正数 a、 b、 c满足 ，求证： 答案：用分析法证明，从结果入手 . 试题分析：要证 只需证 即只要证 , 两边都是非负数， 这就是已知条件，且以上各步都可逆， 考点：不等式的证明 综合法与分析法 (选修） 点评：本题考查不等式的证明，考查分析法的运用，掌握分析法的证题步骤是关键
