1、2013届山西省忻州一中高三上学期期末联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 是虚数单位 ,复数 的虚部是 A 0 B 1 C -i D 2 答案： C 试题分析： 。故选 C 考点：复数的运算 点评：对于复数的除法，先将分子和分母都乘以分母的共轭复数，再进行运算。此类题目较简单，是必考点，务必得分。 若定义在 R上的偶函数 满足 ,且当 时 , ,则函数 的零点的个数为 A 8 B 6 C 5 D 4 答案： B 试题分析：因为当 时 , ，且函数是偶函数，所以当 时 , 。又函数 满足 ，即函数周期为 2，所以可画出的图像（图中黑线）。再画出函数 的图像（图中红线）。图中两图像相交 6个
2、点，则函数 的零点有 6个。故选 B。 考点：函数的零点 点评：求函数的零点，只要令函数值对于 0，然后求出 x值。有时求零点要结合图像求出，因为要求出 x 很困难，像本题。 已知函数 的最小正周期为 ,下列四个判断 : (1)当 时 , 的最小值为 ; (2)函数 的图象关于直线 对称 ; (3)函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到 ; (4)函数 在区间 上是减函数 . 则正确判断的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析：由 得， ，所以 。当 时，则 ， 的最小值为 ，（ 1）正确。函数的对称轴是 （由 可求），取 得 ，（ 2正确。 的图象向右平移 个
3、单位长度得到，（ 3）错误。当 时，则 是减函数， (4)正确。故选 C。 考点：三角函数的性质。 点评：本题要结合正弦函数 的性质来求解。 如图 ,不规则四边形 ABCD中 :AB和 CD 是线段 ,AD和 BC是圆弧 ,直线l AB于 E,当 l从左至右移动 (与线段 AB有公共点 )时 ,把四边形 ABCD分成两部分 ,设 AE=x,左侧部分面积为 y,则 y关于 x的大致图象为 答案： C 试题分析：图形从左到右分为三部分，当直线移动时，第一部分面积增加越来越大，第二部分面积平稳增加，第三部分面积增加越来越小。故选 C。 考点：函数的运用。 点评：函数是高中阶段的重要知识点，而画出函数
4、的图像是解决问题的前提。本题关键要找出 y和 x的关系。 已知函数 设 , , ,则 的大小关系是 A B C D 答案： D 试题分析： ， ， ，因为 ， ， ，所以 ，又因为函数 是减函数，所以 。故选 D。 考点：指数函数的性质。 点评：本题考查指数函数 的性质，当 时，指数函数为减函数；当 时，指数函数为增函数。 三棱柱 中 ,底面 是边长为 的正三角形 ,侧棱 垂直于底面 ,且 =4,则此三棱柱外接球的表面积为 A B C D 答案： D 试题分析：三棱柱外接球的球心在底面 的中心 O和底面 的中心的连线上的中点 P处，由题意知，可求得 ，再由勾股定理得， （为外接球的半径），所以
5、此三棱柱外接球的表面积为 。故选。 考点：空间几何体；球的表面积。 点评：求空间几何体的体积和表面积是一类题目，这类题目侧重考察学生的观察跟想象能力。 已知函数 ,等差数列 的公差为 ,且 ,若 ,则 A B C D 答案： A 试题分析：由等差数列的性质得， ， 所以 ，又 ，所以 ，解得 ，又数列 是公差为 2 等差数列，因而 ， ， 有因为，所以 ，解得 ，故选A。 考点：等差数列的性质；等差数列的前 n项和、通项公式。 点评：数列是一类比较特殊的函数，其自变量都是取整数。对于题目出现等差数列或等比数列，我们都要想到他们的性质：（等差数列）， （等比数列）。 已知集合 , ,从集合 中任
6、取一个元素 ,则这个元素也是集合 中元素的概率是 A B C D 答案： C 试题分析：因为 ， ， 所以 ，则从集合 中任取一个元素，这个元素也是集合 中元素的概率是 。故选 C 考点：几何概型的概率；集合。 点评：一般涉及到集合，都要对集合进行变化。本题的关键是求出事件的范围。 执行程序框图，则运行后输出的结果是 A B C D 答案： B 试题分析： ， 不成立， i不是偶数， ， ， 不成立， i是偶数， ， ， 不成立， i不是偶数， ， ， 不成立， i是偶数， ， 不成立， i不是偶数， ， ， 不成立， i是偶数， ， ， 成立，输出 。故选B 考点：程序框图 点评：常考题，方
7、法是一步步写，有时要找出规律。 变量 满足约束条件 ,则 的最大值 A 2 B 3 C 4 D 8 答案： D 试题分析：求出三条直线 每两条的交点 、 和 ，将三交点代入 得三个 z值： 2、 1和 8，则 的最大值。故选 D 考点：线性规划 点评：线性规划一般作为选择题和填空题，因而可用特殊法。大家用常规方法求这类题目会发现，目标函数取得最值一定是在交点处，所以本题先将不等式变成直线，求出交点，再代入目标函数，得到的值就有最大者跟最小值。 设 是两个单位向量 ,其夹角为 ,则 “ ”是 “ ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：
8、由 得 ，所以 。又因为 是两个单位向量 ,其夹角为 ，所以可得 ，求得 。所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件。故选 A 考点：向量的模；两条件的关系 点评：本题是常规题。若 “ ”，则 A是 B的充分不必要条件。此类判断条件的关系的题目，通常都涉及到其他知识点。 双曲线 的一个焦点为 ,则其渐近线方程为 A B C D 答案： B 试题分析：因为 ， ，所以由 得 。则其渐近线方程为 。故选 B 考点：双曲线的性质 点评：圆锥曲线的性质是常考热点，这要求我们需要熟悉它们。本题需注意关系式 ，不要跟椭圆的关系式 混淆。 填空题 过椭圆 长轴的一个顶点作圆 的两条切线 ,切点分别为 ,若 (
9、是坐标原点 ),则椭圆 的离心率为 _. 答案： 数列 满足 : , ,数列 满足 : ,(以上),则 的通项公式是 _. 答案： 试题分析：由题意知，数列 是等比数列，其中 ， ，则，所以 ，所以 ， 又 ，所以 。 考点：等比数列。 点评：错位相加法是求数列的通项公式和前 n 项和的常用方法，本题就是例子。 某社区有 500个家庭 ,其中高收入家庭 125户 ,中等收入家庭 280户 ,低收入家庭 95户 .为了调查社会购买力的某项指标 ,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本 ,若高收入家庭抽取了 户 ,中等收入家庭抽取了 户 ,则样本容量 = _ . 答案： 试题分析：分层的抽取
10、比例是一定的，则 ，解得 ，。 考点：分层抽样 点评：分层抽样时按照比例抽取的。这类题目关键是求出抽取比例。 如图 ,四棱锥 的底面是正方形 ,侧棱与底面边 长均为 2,则其侧视图的面积为 _. 答案： 试题分析：取 AB的中点 M，再取 CD的中点 N，连结 MN，则 的面积为侧视图的面积。取 MN的中点 O，连结 AC，则点 O在 AC上且平分 AC。在三角形 ABC中，可求得 ， ，又在三角形 AOP中，可求得。所以 。 考点：三视图。 点评：对于空间几何体，常常要与三视图、表面积和体积结合起来。此类题目不难。 解答题 (本小题满分 10分 ) 在平面直角坐标系 中 ,直线 的参数方程为
11、 (t为参数 ,为直线 的倾斜角 ),以原点 O为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,圆 C的极 坐标方程为 . (1) 若直线 与圆 C相切 ,求 的值； (2) 若 直线 与圆 C交与 A,B两点 ,求 的值 . 答案： (1) (2) 试题分析：解：（ 1）所求直线 l的普通方程为： .1 分 圆 C的直角坐标方程为： 3 分 直线 l与圆 C切于点 M，则 ,所以 .5 分 （ 2）若 ，则 ， 将 l的方程代入圆 C的方程得： ， 7 分 10 分 考点：直角坐标方程；参数方程；极坐标方程。 点评：解决此类题目，关键是把问题转化成直角坐标系里面的问题。 (本小题满分 10分 )
12、 如图 ,已知 与圆 相切于点 ,经过点 的割线 交圆 于点 、 ,的平分线分别交 、 于点 、 求证 :(1) . (2) 若 求 的值 . 答案： :(1)略 (2) = 试题分析：解： (1) PA是切线， AB是弦， BAP= C， 2 分 又 APD= CPE, BAP+ APD= C+ CPE, ADE= BAP+ APD, AED= C+ CPE, 4 分 ADE= AED 5 分 (2)由 (1)知 BAP= C, 又 APC= BPA, APC BPA, , 7 分 AC=AP, APC= C= BAP, 由三角形内角和定理可知， APC+ C+ CAP=180, BC是圆
13、O的直径， BAC=90, APC+ C+ BAP=180-90=90, C= APC= BAP= 90=30 9 分 在 Rt ABC中， = , = 10 分 考点：相似三角形。 点评：此类题目常涉及的图形有圆、切线和三角形。在解决此类题目时，常要找出两个相似三角形。 (本小题满分 12分 ) 已知函数 : . (1) 当 时 求 的单调区间 ; 设 ,若对任意 ,存在 ,使 ,求实数 取值范围 . (2) 当 时 ,恒有 成立 ,求 的取值范围 . 答案： (1) 在 (0,1)上是减函数 ,在 (1,3)上是增函数 ,(3， +)上是减函数 . (2) 试题分析： (1) 当 时 ,
14、, 由 得 , 得 在 (0,1)上是减函数 ,在 (1,3)上是增函数 ,(3， +)上是减函数 . 3 分 “对任意 ,存在 ,使 ”等价于 “函数 在上的最小值不小于 在 上的最小值 . 4 分 由 知 : 在 (0,1)上是减函数，在 (1,2)上是增函数 ,所以 , 而 时 , 解得 : ,故实数 取值范围是 6 分 （ 2） ， 令 （ ） .则 .7 分 当 时 ,对 ,有 , 在 上递减 , 故 ,适合题意； 9 分 当 时 , ,对 ,有 ,故 在 上 递增 ,任取 ,有 ,不合题意； 11 分 当 时 , ,不合题意 . 综上知 ,所求 的取值范围是 . 12 分 考点：导
15、数的运算；函数的单调性与导数的关系；函数的最值与导数的关系。 点评：由于导数的实际应用价值较高，因而常成为考试热点。另分步讨论问题也常出现在后面的大题中。 (本小题满分 12分 ) 已知三点 ,曲线 上任一点 满足 =(1) 求曲线 的方程 ; (2) 设 是 (1)中所求曲线 上的动点 ,定点 ,线段 的垂直平分线与 轴交于点 ,求实数 的最小值 . 答案： (1) (2) 试题分析：解 (1)设 ， = 化简得曲线 的方程为 : 6 分 (2)直线 的斜率为 : ,线段 的中点 线段 的垂直平分线方程是 : 8 分 由 ,令 得 : = 当且仅当 时 ,实数 取得最小值 . 12 分 考点
16、：向量的坐标运算；抛物线的方程；直线的方程；基本不等式。 点评：关于曲线的题目是试题出现频率较高的题目，此类题目运用知识点多，难度相对较高。令求最值常用方法由配方法、基本不等式法和导数法。 (本小题满分 12分 ) 某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏 ,可见部分如下 (阴影部分为损坏数据 )， 据此解答如下问题 : (1) 求本次测试成绩的中位数 ,并求频率分布直方图中 的矩形的高 (用小数表示 )； (2) 若要从分数在 80， 100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况 ,在抽取的试卷中 ,求至少有一份分数在 90， 100之间的概率 . 答案： (1) (2
17、) 试题分析：解 :(1)由茎叶图知：分数在 的频数为 2,频率为 0.00810=0.08 全班人数为 本次测试成绩的中位数为 73. 3 分 由茎叶图知：分数在 的频数为 25-2-7-10-2=4 频率分布直方图中 的矩形的高为 6 分 (2)将 之间的 4份试卷记为 a,b,c,d, 之间的 2份试卷记为 1,2.在 80，100之间任取两份试卷的基本事件为：(a,b),(a,c),(a,d),(a,1),(a,2),(b,c),(b,d),(b,1),(b,2),(c,d), (c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,2)共 15个 . 10 分 其中至少有一个在 之间的
18、基本事件共有 9个 至少有一份分数在 90， 100之间的概率为 12 分 考点：茎叶图和频率分布直方图；概率。 点评：此类题跟实际问题联系较紧密，因而常成为考点。又因为题目是基础题，所以务必做好。 (本小题满分 12分 ) 如图 ,在四棱锥 中 ,平面 平面 , 是正三角形 ,已 知 (1) 设 是 上的一点 ,求证 :平面 平面 ; (2) 求四棱锥 的体积 . 答案： (1)关键证明 平面 (2) 试题分析： (1)证明：在 ABD中， AD=4， BD=8， AB= 故 2 分 又 平面 平面 ，平面 平面 =AD, 平面 平面 4 分 又 平面 MBD 平面 平面 5 分 (2)解：
19、过 P作 交 AD于 O, 平面 平面 平面 PO为四棱锥 的高 ,且 PO=2 8 分 又四边形 ABCD是梯形 ,且 Rt ADB斜边 AB上的高为 即为梯形ABCD的高 梯形 ABCD的面积为 10 分 故 12 分 考点：两平面垂直的判定定理；锥体的体积公式。 点评：证明直线与平面垂直、两平面垂直和直线与平面平行是常考知识点。对于求几何体的体积或表面积也是出题者经常考虑的。 (本小题满分 12分 ) 在 中 ,角 的对边分别为 , , . (1) 求 及 的值 . (2) 若 ,求 . 答案： (1) ， (2) 试题分析：解 (1) 2 分 是内角 又 且 为锐角， 4 分 6 分 (2)由正弦定理得 : 有 12 分 考点：正弦定理；三角恒等变换。 点评：本题是一道解三角形的题目。此类题目经常和三角函数联系起来，在解三角形过程中，通常要运用到正弦定理、余弦定理和三角形面积公式。 (本小题满分 10分 ) 已知函数 . (1) 若不等式 的解集为 ,求实数 的值 ; (2) 在 (1)的条件下 , 使 能成立 ,求实数 a的取值范围 . 答案： (1) (2) 试题分析： (1) 3 分 即 解得 5 分 (2)由 (1)知： 7 分 令 则 的最小值是 8 9 分 故实数 a的取值范围是 10 分 考点：绝对值不等式 点评：此类题目要会解绝对值不等式和运用其性质。
