1、2013届山西省忻州市高三第一次联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ， ，则 A B C D 答案： D 试题分析： ,所以 . 考点：本小题主要考查分式不等式的求解和集合的运算 . 点评：集合的运算是高考必考的内容，难度较低 . 给出下列四个命题： （ 1）在 ABC中，内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 ，则 ; （ 2）设 是两个非零向量且 ，则存在实数 ，使得 ； （ 3）方程 在实数范围内的解有且仅有一个； （ 4） ； 其中正确的个数有 A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 答案： A 试题分析：由正弦定理可得所以（ 1）正确；由 可知两个向量共线，所以
2、，所以（ 2）正确；分别画出的图象可知，两个函数图象只有一个交点，所以（ 3）正确；恒成立，所以 ，所以（ 4）也正确 . 考点：本小题主要考查正弦定理的应用，向量共线的判断和应用，函数零点个数的判断和不等式性质的应用，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力 . 点评：此种问题类似多项选择题，要灵活运用所学知识，仔细分析问题解决问题 . 已知 为等边三角形， AB=2，设点 P， Q满足 ，A B C D 答案： A 试题分析：依题意可知，代人数据计算，可得 ，解得 考点：本小题主要考查平面向量的线性表示和平面向量的数量积运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：本小题也可以建立平面直角坐标系，
3、用向量的坐标运算解决 . 设双曲线 的离心率为 e= ，右焦点为 F（ c， 0），方程 ax2-bx-c=0的两个实根分别为 x1和 x2，则点 P（ x1， x2） A在圆 x2+y2=8外 B在圆 x2+y2=8上 C在圆 x2+y2=8内 D不在圆 x2+y2=8内 答案： C 试题分析：因为双曲线的离心率为 e= ，所以 ，方程 ax2-bx-c=0的两个实根分别为 x1和 x2，由韦达定理可知，所以点 P在圆 x2+y2=8内 . 考点：本小题主要考查双曲线中基本量的计算，韦达定理的应用，点与圆位置关系的判断 . 点评：本小题综合性较强，要仔细计算，灵活转化 . 已知函数 ，则函数
4、 y=f(x)-log3x在（ -1， 3上的零点的个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案： C 试题分析：由已知得 ，画出图象可知是由抛物线的一部分、线段和射线组成，再画出函数 的图象，由图象可知，有 2 个交点，所以有两个零点 . 考点：本小题主要考查函数图象的画法，零点个数的判定，考查学生数形结合思想的应用 . 点评：函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点的个数问题解决 . 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 A 38- B 38 C 38+ D 38-2 答案： B 试题分析：由该三视图可知，该几何体是一个长为 4，宽为 3，高为 1的长方体中间挖去一个地面半径
5、为 1，高为 1的圆柱，所以该几何体的表面积为考点：本小题主要考查三视图的应用和空间几何体表面积的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力 . 点评：解决 此类问题的关键是正确还原三视图 . 函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将 的图象 A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 答案： C 试题分析：由图可知，该函数 ，所以 ，将 代人函数式，可得 所以 ，所以应该将 的图象向左平移 个单位长度 . 考点：本小题主要考查由函数图象求函数式和三角函数图象的平移的应用 . 点评：三角函数图象左右平移时，要注意平移的单位，此
6、题就易误选 D. 设 O为坐标原点， A（ 1， 1），若点 B（ x， y）满足 ，则 取得最小值时，点 B的个数是 A 1 B 2 C 3 D无数个 答案： B 试题分析：画出可行域，又 ，画出目标函数，通过平移可知在(1,0)和 (0,1)处取到最小值，所以取最小值时，点 B的个数是 2. 考点：本小题主要考查向量的数量积的运算和线性规划问题求最值 . 点评：解决此类问题的关键是准确画出可行域和目标函数，求出取最值的点 . 设 展开后为 1+ + + ， + = A 20 B 200 C 55 D 180 答案： B 试题分析：由二项式定理的展开式可知，考点：本小题主要考查二项式定理的应
7、用 . 点评：要熟练掌握二项式定理的应用，还要熟练掌握赋值法 . 下列命题正确的是 A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B若一个平面内的三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面垂直 答案： C 试题分析：由直线与平面所成角的概念知 A不正确；若两个平面相交，也可以有一个平面内的三个点到另一个平面的距离相等，所以 B不正确；由线面平行的性质知 C正确；同垂直于第三个平面的两个平面位置关系不确定，所以 D不正确 . 考点：本小题主要考查空间直线、平面间的位置关系
8、的判定和应用，考查学生的空间想象能力和推理能力 . 点评：解决空间中直线、平面间的位置关系，要紧扣判定定理和性质定理 . 等差数列 中， a3+a11=8, 数列 是等比数列，且 b7=a7，则 b6b8的值为 A 2 B 4 C 8 D 16 答案： D 试题分析：因为数列 是等差数列，所以 ，所以，所以在等比数列 中， 考点：本小题主要考查等差数列和等比数列的性质的应用 . 点评：等差数列和等比数列的性质是考查的重点，要重点掌握，灵活应用 . 复数 在复平面内对应点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 试题分析： ，所以该复数在复平面内对应的点位于第一象限 .
9、考点：本小题主要考查复数的计算和复数的几何意义 . 点评：复数的计算依据复数的运算公式仔细计算即可 . 填空题 定义在 R上的函数 是减函数，且函数 的图象关于（ 1，0）成中心对称，若实数 满足不等式 + ，则 的取值范围是 _ 答案： (- ,1 2， ） 试题分析：因为函数 的图象关于（ 1， 0）成中心对称，所以函数的图象关于坐标原点对称，所以函数 是奇函数，且是 R上的减函数，所以由 + 可得 ，所以 ，所以 的取值范围是 (- ,1 2， ） . 考点：本小题主要考查利用函数的性质解抽象不等式，考查学生的转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：解决本小题的关键是准确转化问题条件，灵
10、活运算函数的性质 . 按该图所示的程序框图运算，则输出 S的值是 答案： 试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是所以输出的值为 . 考点：本小题主要考查程序框图的执行，考查学生读图识图的能力和运算求解能力 . 点评：解决本小题的关键在于要正确读懂程序框图，要特别注意退出循环的条件 . 某校高三年级共有六个班，现从外地转入 4名学生，要安排到该年级的两个班且每班安排 2名，则不同的安排方案种数 （用数字作答） 答案： 试题分析：由题意可知，不同的安排方案种数为 考点：本小题主要考查排列组合的综合应用 . 点评：解决排列组合综合问题时，一般遵循先组合后排列的方法 . = 答案： 试题分析： .
11、 考点：本小题主要考查定积分的计算 . 点评：根据定积分运算定理仔细计算即可 . 解答题 （本题满分 10分） 在极坐标系中，已知两点 O(0， 0)， B(2 ， ) （ 1）求以 OB为直径的圆 C的极坐标方程，然后化成直角方程； （ 2）以极点 O为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程为 （ t为参数）若直线 l与圆 C相交于 M， N两点，圆C的圆心为 C，求 DMNC的面积 答案：（ 1）极坐标方程为： r 2 cos(q- )，直角方程为 (x-2)2 (y-2)2=2 （ 2） 试题分析： (1)设 P(r,q)为圆上任意一点，则 |OP| r， D
12、POx q- ， 在 RtDPOB中， cos(q- ) ，即 r 2 cos(q- ) r2 2 rcosq +2 rsinq ， 圆 C的直角坐标方程为 (x-2)2 (y-2)2=2 5 分 （ 2）作 CDMN于 D， C到直线 l的距离为 d ， 在 RtDCDA中， |MN| 2 ， S 10 分 考点：本小题主要考查参数方程和直角方程的互化，直线与圆的位置关系，弦长的计算，和三角形面积公式的应用 . 点评：当直线与圆相交时，要用到半径、半弦长和圆心到直线的距离构成一个直角三角形，利用勾股定理求解比较简单 . （本题满分 10分） 如图，已知 C、 F是以 AB为直径的半圆 上的两
13、点，且 CF CB，过 C作CDAF交 AF的延长线与点 D （ 1）证明： CD为圆 O的切线； （ 2）若 AD 3， AB 4，求 AC的长 答案：（ 1）先证 ，再证 ， ，进而证明 （ 2） 试题分析：（ 1）证明： ， ， ， 则 ， ， 则 为圆 的切线 5 分 （ 2）连接 ，由（ 1）知 又 ， . 则 ，所以 10 分 考点：本小题主要考查圆上点的性质的应用和圆中基本量的求解 . 点评：解决此类问题，要充分利用几何的知识，灵活求解 . (本小题满分 12分 ) 设 R，函数 = （ ），其中 e是自然对数的底数 （ 1）判断 f (x)在 R上的单调性； （ 2）当 1 0
14、时， g (x) = 0的判别式 = 4 4( +a) = 4a 0，即 ， f (x)在此区间上 是增函数 在区间（ , ）上， g (x) 0，即 ， f (x)在此区间上是增函数 7 分 综上，当 a0时， f (x)在 R上是减函数； 当 a 0)的焦点 F和椭圆 的右焦点重合，直线 过点F交抛物线于 A、 B两点 （ 1）求抛物线 C的方程； （ 2）若直线 交 y轴于点 M，且 ， m、 n是实数，对于直线， m+n是否为定值？若是，求出 m+n的值，否则，说明理由 答案：（ 1） （ 2） m+ n为定值 -1 试题分析：（ 1） 椭圆的右焦点 抛物线 C的方程为 3 分 （ 2
15、）由已知得直线 l的斜率一定存在，所以设 l： 与 y轴交于，设直线 l交抛物线于 由 ， 5 分 ， 7 分 又由 即 m= ,同理 ， 9 分 11 分 所以，对任意的直线 l， m+ n为定值 -1. 12 分 考点：本小题主要考查抛物线标准方程的求解，考查直线与抛物线的位置关系的判定和应用，和向量的坐标运算 . 点评：遇到直线与圆锥曲线位置关系的问题，一般离不开直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，此时不要忘记验证判别式大于零 . （本题满分 12分） 为迎接建党 90周年，某班开展了一次 “党史知识竞赛 ”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为 100分，分数均为整数）
16、进行统计，制成如图频率分布表： （ 1）求 的值； （ 2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题 ，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖 .某同学进入决赛，每道题答对的概率 P的值恰好与频率分布表中不少于 90分的频率的值相同 .设该同学决赛中答题个数为 X，求 X的分布列以及 X的数学期望 答案：（ 1） （ 2）分布列为 X 2 3 4 P 0.04 0.064 0.896 10 分 试题分析： (1)根据频数 /总数 =频率，可以求出4 分 (1)X的可能取值为 2， 3， 4， 5 分 8 分 所以分布列为 X 2 3 4
17、 P 0.04 0.064 0.896 10 分 12 分 考点：本小题主要考查频率分布表的应用和离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查学生分析问题、解决问题的能力 . 点评：频率分布表和频率分布直方图是常考的内容，要仔细计算，离散型随机变量的分布列和数学期望是每年高考必考的题目，要给予充分的重视 . （本题满分 12分） 如图所示，在矩形 中， 的中点， F为 BC的中点，O为 AE的中点，以 AE为折痕将 ADE向上折起，使 D到 P点位置，且 （ 1）求证： （ 2）求二面角 E-AP-B的余弦值 答案：（ 1）先证 OF BC， BC PF，从而得出 BC PO，进而证明（ 2）
18、 试题分析：（ 1） ， 2 分 BC的中点为 F，连 OF， PF， OF AB， OF BC 因为 PB=PC， BC PF，所以 BC 面 POF， 3 分 从而 BC PO ， 4 分 又 BC与 AE相交，可得 PO 面 ABCE. 5 分 （ 2）作 OG BC交 AB于 G， OG OF如图，建立直角坐标系A（ 1， -1， 0）， B（ 1， 3， 0）， C（ -1， 3， 0）， P（ 0， 0， ） 6 分 设平面 PAB的法向量为 8分 同理平面 PAE的法向量为 9 分 11分 二面角 E-AP-B的余弦值为 12 分 考点：本小题主要考查线面垂直的证明和二面角的求解
19、 . 点评：证明直线、平面间的位置关系时，要严格按照判定定理进行，用空间向量求解二面角时，要注意二面角的取值范围 . （本题满分 12分） 成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、 5、 13后成为等比数列 中的 、 、 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）数列 的前 n项和为 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： (1)设成等差数列的三个正数分别为 ； 则 ； 3 分 数列 中的 、 、 依次为 ，则 ； 得 或 （舍），于是 . 6 分 (2)因为数列 是首项 ,公比 2的等比数列 , 9 分 前 n项和 . 12 分 考点：本小题主要考查等差等比数列中基本量的计算
20、，等差等比数列的通向公式和前 n项和公式的求解，考查学生的运算求解能力 . 点评：等差数列和等比数列是比较重要的两类数列，要重点掌握，灵活应用 . （本题满分 10分） 已知函数 (a为常数，且 a R) （ 1）若函数 f (x)的最小值为 2，求 a的值； （ 2）当 a 2时，解不等式 f (x)6 答案：（ 1） a 0或 a -4（ 2） 试题分析：（ ） f (x) |x-a| |x 2| | a-x | |x 2| |a-x x 2| |a 2|， 由 |a 2| 2，解得 a 0或 a -4 5 分（ ） f (x)= |x-2|+|x 2| 当 x -2时，不等式为 2-x-x-26，其解为 -3x -2； 当 -2x 2时，不等式为 2-x x 26恒成立，其解为 -2x 2； 当 x2时，不等式为 x-2 x 26，其解为 2x3； 所以不等式 f (x)6的解集为 -3， 3 10 分 如有其它解法，相应给分 考点：本小题主 要考查绝对值不等式的性质和绝对值不等式的解法，考查学生的运算求解能力 . 点评：含绝对值的不等式越来越成为高考的考点和热点问题，要准确掌握，灵活应用 .
