1、2013届广东省东莞市高三模拟（一）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设为虚数单位，则复数 等于 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：在复数的运算问题中结果通常要化成复数的代数形式，分母出现虚数单位的必须要进行实数化，方法是分子、分母同时乘上分母的共轭复数，即. 考点：复数代数形式的运算，分母实数化 . 对于函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件： 在内是单调的； 当定义域是 时， 的值域也是 ，则称是该函数的 “和谐区间 ”若函数 存在 “和谐区间 ”，则 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为 在 和 是增函数，若 存在 “和谐区间 ”，则 应在其
2、单调区间内，故 ，所以是方程 即 的两个相异实数根。利用 解得，故得 . 考点：新定义的理解与应用，函数的单调性和值域 . 已知集合 ， ,且 ,则( ) A B C D 答案： B 试题分析：解 得 ，故 ，由可知 . 考点：绝对值不等式的解法，集合的交集 . 已知实数 满足 ，则目标函数 的最大值为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：先画出可行域，利用直线 在可行域内平移可知，截距越小，越小，在点 处目标函数取得最大值 5. 考点：截距型目标函数的线性规划问题 . 为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的 6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，
3、若甲乙两人的平均成绩分别是 ， ，则下列说法正确的是 ( ) A ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 B ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 C ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 D ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 答案： D 试题分析：由茎叶图观察到以 9为茎的数据是乙多于甲，所以 ；同时不难发现乙的成绩比甲要分布得集中，所以乙的方差比甲的方差小，比较稳定 . 考点：茎叶图，平均数和方差的意义 . 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A 9 B 10 C 11 D答案： C 试题分析：根据三视图的情况，利用空间想象能力可知被平面截去的
4、几何体是底面是直角三角形的三棱锥，所以所求几何体体积 =直四棱柱体积 -三棱锥体积，即 . 考点：三视图，几何体的体积计算 . 已知 ， ， ，若 ，则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： ，从而解得 . 考点：向量垂直的充要条件，向量坐标形式的数量积运算 . 命题 ，则 是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为全称命题 “ ”的否定形式是 “ ”，所以一方面需要把原命题 中的全称量词改为存在量词，另一方面把 全盘否定为 . 考点：全称命题的否定 . 填空题 如图， 是平行四边形 的边 的中点，直线过点 分别交于点 若 ，则 答案： 试题分析：连接 BD交 AC于点
5、O，则有 ,又因为,所以 考点：平行线分线段成比例，平行四边形性质 . （坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线过点 且与直线（ ）垂直，则直线极坐标方程为 答案： （或 、 ） 试题分析：由题意可知在直角坐标系中，直线 的斜率是 ，所求直线是过点 ，且斜率是 ，所以直线方程为 ，化为极坐标方程化简得 . 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互相转化 . 观察下列不等式： ； ； ； 则第 个不等式为 答案： 试题分析：通过观察，把不等式左边的最后一项看成一个数列，则依次是、 、 可推出第 个不等式左边的最后一项应为 ，由此可知第 5个不等式的左边是该数列的前 5项和，即；而右边依次是 1、 、 ，
6、可猜想第 项为，故第 5个不等式右边是 . 考点：归纳推理，数列通项公式的计算 . 某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得 等级的概率分别为 、 、 ，且三门课程的成绩是否取得 等级相互独立 . 为该生取得等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望 的值为 _. 1 答案： 试题分析： , ，所以 . 考点：独立性事件的概率计算，随机变量概率分布列的性质，数学期望的定义 . 函数 的最小正周期为 ，最大值是 答案： ; . 试题分析： ，周期 ，最大值是 . 考点：三角函数恒等变换，最小正周期、最值的计算问题 . 已知抛物线 上一点 P到焦点 的距离是 ，则点 P的横坐标是 _
7、答案： 试题分析：根据抛物线的定义可知 的焦点 坐标为（ 0,1），准线方程为 ，设 P的坐标为 ，则有 ，解得 . 考点：抛物线的定义 . 已知函数 是奇函数，当 时， = ，则 的值等于 答案： 试题分析：利用 的奇偶性可求出当 时， = ，所以. 考点：函数的奇偶性，式的求法，函数值的计算 . 解答题 如图，在 中， ， 为 中点， .记锐角且满足 （ 1）求 ； （ 2）求 边上高的值 答案：（ 1） ; （ 2） 4. 试题分析：（ 1）利用二倍角公式建立关于 的方程求解 ;（ 2）先根据同角三角函数的平方关系、和差公式求出 ，在 中再根据正弦定理求出 ，然后在直角三角形中利用 和
8、的关系 求出高 . 试题：（ 1） ， ， ， 5分 （ 2）由（ 1）得 ， ， ， 9分 在 中，由正弦定理得： ， ， 11分 则高 12分 考点： 1、三角函数恒等变换的公式， 2、正弦定理的应用 . 甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在 7、 8、 9、10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下： 若将频率视为概率，回答下列问题： （ 1）求表中 x， y， z的值及甲运动员击中 10环的概率； （ 2）求甲运动员在 3次射击中至少有一次击中 9环以上（含 9环）的概率； （ 3）若甲运动员射击 2次，乙运动员射击 1次， 表示这 3次射击中击中
9、9环以上（含 9环）的次数，求 的分布列及 答案：（ 1） 0.35;（ 2） 0.992;（ 3） 2.35，分布列如下： 0 1 2 3 P 0.01 0.11 0.4 0. 48 试题分析：（ 1）结合频率分布表、频率之和为 1的性质和频率的计算公式去求；（ 2）利用 “至少有一次击中 9环以上（含 9环） ”的对立事件是 “三次都没有击中 9环以上（含 9环） ”，而且三次射击的事件都是彼此相互独立的，所以 “三次都没有击中 9环以上（含 9环） ”的概率是 0.23，再用间接法求 .（ 3）先根据独立事件的乘法公式求出随机变量各取值的概率，再写出其分布列和数学期望 . 试题： (1)
10、由题意可得 x=100(10+10+35)=45， y=1(0.1+0.1+0.45)=0.35， 因为乙运动员的射击环数为 9时的频率为 1(0.1+0.15+0.35)=0.4，所以z=0.480=32， 由上可得表中 x处填 45， y处填 0.35， z处填 32 3分 设 “甲运动员击中 10环 ”为事件 A，则 P(A)=0.35， 即甲运动员击中 10环的概率为 0.35. 4分 (2)设甲运动员击中 9环为事件 A1，击中 10环为事件 A2，则甲运动员在一次射击中击中 9 环以上（含 9环）的概率为 P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.45+0.35=0.8， 故甲
11、运动员在 3次射击中至少有一次击中 9环以上（含 9环）的概率 P=11P(A1+A2)3=10.23=0.992 7分 (3)的可能取值是 0， 1， 2， 3，则 P(=0)=0.220.25=0.01 10分 所以 的分布列是 0 1 2 3 P 0.01 0.11 0.4 0. 48 12分 考点： 1、随机变量概率分布列和数学期望的计算， 2、互斥事件的概率，3、相互独立事件的概率 . 如图所示，已知 为圆 的直径，点 为线段 上一点，且 ，点 为圆 上一点，且 点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， （ 1）求证： ； （ 2）求二面角 的余弦值 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分
12、析：（ 1）要证 ，需先证 平面 ，由于 平面易证，故有 ，又因为 ，则证得 平面 ；（ 2）综合法是先找到二面角的一个平面角 ，不过必须根据平面角的定义证明，然后在 中解出 的三角函数值 . 试题：（ 1）连接 ，由 知，点 为 的中点， 又 为圆 的直径， ， 由 知， ， 为等边三角形，从而 3分 点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， 平面 ，又 平面 ， ， 5分 由 得， 平面 ， 又 平面 ， 6分 （ 2）（综合法）过点 作 ，垂足为 ，连接 7分 由（ 1）知 平面 ，又 平面 ， ，又 ， 平面 ，又 平面 ， ， 9分 为二面角 的平面角 10分 由（ ）可知 ， ， ，则
13、 ， 在 中， ， ，即二面角 的余弦值为 14分 考点： 1、线线垂直和线面垂直的证明， 2、二面角的计算 . 设椭圆 的左右顶点分别为 ，离心率过该椭圆上任一点 作 轴，垂足为 ，点 在 的延长线上，且 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）求动点 的轨迹 的方程； （ 3）设直线 （ 点不同于 ）与直线 交于点 ， 为线段 的中点，试判断直线 与曲线 的位置关系，并证明你的结论 答案：（ 1） ;（ 2） ;（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）根据椭圆的几何性质求出椭圆标准方程中的 ；（ 2）用设点、建立两个动点之间坐标的关系和代入已知曲线方程的方法求出动点轨迹方程；（ 3）先利用 三点共线建
14、立 与 的坐标关系，再根据 为线段 的中点求出 的坐标表达式，进一步求出直线 的方程，最后根据曲线圆心到直线 的距离与半径的大小情况判断其位置关系 . 试题：（ 1）由题意可得 ， ， ， 2分 ，所以椭圆的方程为 4分 （ 2）设 ， ，由题意得 ，即 ， 6分 又 ，代入得 ，即 即动点 的轨迹 的方程为 8分 （ 3）设 ，点 的坐标为 ， 三点共线， ， 而 ， ，则 ， ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 10分 直线 的斜率为 ， 而 ， ， ， 12分 直线 的方程为 ，化简得 ， 圆心 到直线 的距离 ， 所以直线 与圆 相切 14分 考点： 1、椭圆的标准方程， 2、代入法
15、求动点轨迹方程， 3、直线与圆位置关系的判定问题 . 知数列 的首项 前 项和为 ，且 （ 1）证明：数列 是等比数列； （ 2）令 ，求函数 在点 处的导数 ,并比较 与 的大小 . 答案： (1)详见 ;（ 2） ; 当 时，; 当 时， ;当 时，. 试题分析：（ 1）先利用 与 的递推关系得到 与 的递推关系式，再通过构造新数列，并结合等比数列的定义来证明 是等比数列；（ 2）先求导得到 的表达式，然后分组求和，一部分是用错位相减法，另一部分是用等差数列求和公式，最后通过作差比较 与 的大小情况 . 试题：（ 1）由已知 ，可得 两式相减得 即 从而 4分 当 时 所以 又 所以 从而
16、 5分 故总有 ， 又 从而 即数列 是等比数列； 6分 （ 2）由（ 1）知 ,因为 所以从而 = = 令 ， 错位相减得， 10分 由上 = =12 当 时， 式 =0所以 ； 当 时， 式 =12 所以 当 时， 又由函数 可 所以 即 从而 14分 考点： 1、数列通项公式的求法， 2、数列前 项和的求法， 3、函数的求导 . 设 ， ，其中 是常数，且 （ 1）求函数 的极值； （ 2）证明：对任意正数 ，存在正数 ，使不等式 成立； （ 3）设 ，且 ，证明：对任意正数 都有： 答案： (1) 当 时， 取极大值，但 没有极小值 ;(2)详见 ;(3)详见 . 试题分析： (1)先
17、求导，再讨论函数的单调区间，然后写出函数的极值； (2)通过依次构造函数 、 和，利用导数来研究其单调性和最值情况，从而用来比较大小，最终达到证明不等式的目的 ; (3)先把所要证明的不等式的左边转变到函数 的问题，得到相关的不等式 ，再借助 (1)中 的结论得到 ，最后取 即可证得 . 试题：（ 1） ， 1分 由 得， ， ，即 ，解得 ， 3分 故当 时， ；当 时， ； 当 时， 取极大值，但 没有极小值 4分 （ 2） ，又当 时，令 ，则 ， 故 ，因此原不等式化为 ，即 ， 令 ，则 ， 由 得： ，解得 ， 当 时， ；当 时， 故当 时， 取最小值 ， 8分 令 ，则 故 ，即 因此，存在正数 ，使原不等式成立 10分 （ 3）对任意正数 ，存在实数 使 ， ， 则 ， ， 原不等式 ， 12分 由（ 1） 恒成立，故 ， 取 ，即得 ， 即 ，故所证不等式成立 14分 考点： 1、导数的应用， 2、函数单调性的应用， 3、不等式的证明 .
