1、2013届广东省广宁县广宁中学高三 2月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 A y | y 2x， x R，则 A B (0， ) C (-， 0 D R 答案： C 试题分析：根据题意，由于全集 ，集合 A y | y 2x， x R= =y|y 0，故有 = ， 故答案：为 C. 考点：补集的运算 点评：解决的关键是对于集合的补集的定义理解，以及指数函数的值域的求解，属于基础题。 对于直角坐标平面内的任意两点 、 ，定义它们之间的一种 “距离 ”： AB=，给出下列三个命题： 若点 C在线段 AB上，则 AC+CB=AB； 在 ABC中，若 C=90，则 AC+CB
2、=AB； 在 ABC中， AC+CBAB. 其中真命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案： B 试题分析：解：对于直角坐标平面内的任意两点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），定义它们之间的一种 “距离 ”： |AB|=|x2-x1|+|y2-y1|对 于 若点 C在线段 AB上，设 C点坐标为（ x0， y0）， x0在 x1、 x2之间， y0在 y1、 y2之间，则|AC|+|CB|=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=|AB|成立，故 正确对于 平方后不能消除 x0， y0，命题不成立；对于 在 ABC中
3、，|AC|+|CB|=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|（ x0-x1） +（ x2-x0） |+|（ y0-y1） +（ y2-y0）|=|x2-x1|+|y2-y1|=|AB| 不一定成立 命题 成立，故选： B 考点：新定义的应用 点评：此题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求属于中档题目本题的易错点在于不等式： |a|+|b|a+b|忘记等号也可以成立 若实数 x， y满足不等式组 则 2x 4y的最小值是 A 6 B 4 C D 答案： D 试题分析：因为实数 x， y满足不等式组 对应的平面区域如下图示
4、： 当直线 z=2x+4y过（ 3， -3）时， Z取得最小值 -6故答案：为 D 考点：线性规划问题 点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件， 找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解 函数 y sin (2x )的图象可由函数 y sin 2x的图象 A向左平移 个单位长度而得到 B向右平移 个单位长度而得到 C向左平移 个单位长度而得到 D向右平移 个单位长度而得到 答案： A 试题分析：由于函数函数 y sin
5、2x的图象可以向左平移 个单位长度而得到 y sin (2（ x ） = y sin (2x+ )，故可知选 A. 考点：三角函数图像变换 点评：本题主要考查函数 y=Asin（ x+ ）的图象变换，属于中档题 已知是虚数单位，复数 A B C D 答案： A 试题分析：根据题意，由于复数的除法法则可知， ，故可知答案：为 ，选 A. 考点：复数的运算 点评：解决的关键是根据复数的四则运算法则来求解，属于基础题。 已知直线 l， m和平面 ， 则下列命题正确的是 A若 l m， m ，则 l B若 l ， m ，则 l m C若 l m， l ，则 m D若 l ， m ，则 l m 答案：
6、D 试题分析：对于 A若 l m， m ，则 l ，则不满足线面平行判定定理，错误。 对于 B若 l ， m ，则 l m ，直线于平面平行但是与平面内的直线可能异面直线，错误。 对于 C若 l m， l ，则 m ，可能是线在面内，错误。 对于 D若 l ， m ，则 l m，符合线面垂直的性质定理，成立故选 D. 考点：空间中线面的位置关系 点评：解决的关键是熟练的根据判定定理以及性质定理来证明，属于基础题。 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A 4 B 5 C 6 D 7 答案： B 试题分析：解：当输入的值为 n=12时， n不满足判断框中的条件， n=6， n不满足判断
7、框中的条件， n=3， n满足判断框中的条件， n=10， i=2， n不满足判断框中的条件， n=5， n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为 i=5，故答案：为： B 考点： 循环结构 点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题 已知 a， b是实数，则 “ ”是 “ ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：根据题意，由于 a， b是实数，则 “ ”，那么根据不等式的可加性得到， ，体积可以推出结论，反之，则不一定成立，故可知为充分不必要条件，选 A. 考点：充分条件 点评：此题
8、主要考查充分条件和必要条件的定义，是一道基础题； 填空题 （几何证明选讲选做题）如图， PAB、 PCD为 O的两条割线，若 PA=5， AB=7，CD=11， AC=2，则 BD等于 . 答案： 试题分析：解：设 PC=x，则根据割线定理得 PAPB=PCPD，即， 5（ 5+7） =x（ x+11），解之得 x=4（舍去 -15）， PC=4， PD=15， 四边形 ABDC是圆内接四边形， B= ACP， D= CAP，可得 PAC PDB， AC:DB=AP:DP,可得 bd=6，故答案：为 6. 考点：相似三角形和割线定理 点评：本题给出三角形被圆截得内接四边形，在已知一些线段长的情
9、况下求圆的一条弦长，着重考查了圆中的相似三角形和割线定理等知识，属于基础题 （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 xOy中， 已知曲线 ： , (为参数）与曲线 ： ,（ 为参数）相交于两个点 、 ，则线段 的长为 . 答案： 试题分析：根据题意，直线过点（ 2， 1），斜率为 -2，直线方程为 2x+y-5=0,同时圆的方程为 ，那么可以利用圆心到直线的距离来求解得到为,那么圆的半径为 3，则可知相交的弦长为 4，故可知答案：为 4. 考点：直线与圆的相交弦长 点评：解决的关键是根据直线参数方程中 t的几何意义来求解，属于基础题。 如图， F1， F2是双曲线 C： (a 0， b 0)
10、的左、右焦点，过 F1的直线与 的左、右两支分别交于 A， B两点若 | AB | : | BF2 | : | AF2 | 3 : 4 : 5，则双 曲线的离心率为 . 答案： 试题分析：根据双曲线的定义可求得 a=1， ABF2=90，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率 解： |AB|： |BF2|： |AF2|=3： 4： 5，不妨令 |AB|=3， |BF2|=4， |AF2|=5， |AB|2+|BF2|2=|AF2|2， ABF2=90，又由双曲线的定义得： |BF1|-|BF2|=2a， |AF2|-|AF1|=2a， |AF1|+3-4=5-|AF1
11、|， |AF1|=3 |BF1|-|BF2|=3+3-4=2a， a=1在 RtBF1F2中， |F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52， |F1F2|2=4c2， 4c2=52， c= ， 双曲线的离心率 ，故答案：为 。 考点：双曲线的简单性质 点评：本题考查双曲线的简单性质，考查转化思想与运算能力，求得 a与 c的值是关键，属于中档题 在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 C ， ，若 ABC的面积为 ，则 = 答案： 试题分析：根据题意，由于 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 C ， ，若 ABC的面积
12、为 ，则可知S= ，故答案：为 考点：解三角形 点评：解决的关键是根据三角形面积公式得到 a的值，然后借助于余弦定理得到 c的值，属于基础题。 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）： 合唱社 粤曲社 武术社 高一 45 30 高二 15 10 20 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 人，结果合唱社被抽出 人，则这三个社团人数共有 _. 答案： 试题分析：解：根据分层抽样的定义和方法可得 解得 a=30，故这三个社团人数共有 45+15+30+10+30+20=150 人，故答案：为 150 考点：分层抽样 点评：本题主要考查分层抽样
13、的定义和方法，利用了每个个体被抽到的概率都相等，属于基础题 在递增等比数列 an中， ，则公比 答案： 试题分析：解： an是递增等 比数列，且 a2=2，则公比 q 1，又 a4-a3=a2（ q2-q）=2（ q2-q） =4 即 q2-q-2=0，解得 q=2，或 q=-1（舍去），故此数列的公比 q=2，故答案：为： 2 考点：等比数列的通项公式 点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式及a2=2， a4-a3=4，构造出一个关于公比 q的方程，是解答本题的关键 函数 的导函数 答案： 试题分析：根据商的导数公式可知，由于 ， 因此可知 ，故可知答案：为
14、考点：导数的运算 点评：解决的关键是根据导数的运算法则来求解，属于基础题。 解答题 某中学校本课程共开设了 A， B， C， D共 4门选修课，每个学生必须且只能选修 1门选修课，现有该校的甲、乙、丙 3名学生： （ 1）求这 3名学生选修课所有选法的总数； （ 2）求恰有 2门选修课没有被这 3名学生选择的概率； （ 3）求 A选修课被这 3名学生选择的人数的数学期望 . 答案：（ 1） 64（ 2） （ 3） 试题分析： ( )每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数 N= 3分 ( ) 恰有 2门选修课这 3名学生都没选择的概率为 7分 ( ) 设 A选修课被这 3名学生选择的人数
15、为 ，则 0,1,2,3 P( 0) P( 1) P( 2) P( 3) 9分 的分布列是 0 1 2 3 P 10分 12分 考点：古典概型的概率 点评：主要是考查了分布列和数学期望值的求解，主要是解决运用古典概型的概率公式来求解概率值，属于基础题。 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形 （ 1）求证： ； （ 2）求证： ； （ 3）设 为 中点，在 边上找一点 ，使 平面 ,并求 的值 . 答案：（ 1）根据三视图还原几何体，并能结合向量的知识建立空间直角坐标系，借助于法向量来得到证明。 （ 2）对于线面的垂直的证明，一般通过线
16、线垂直的证明来得到线面垂直。 （ 3） 试题分析：解：（ 1）证明： 该几何体的正视图为矩形 ，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， 两两互相垂直。以 分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， 2分 ， ， ， ， ， 4分 （ 2） ， ，又 8分 （ 3）设 为 上一点， 为 的中点， ， ，设平面的一个法向量为 ，则有 ，则有 ，得 ， ， 10分 /平面 ， ，于是 解得： 12分 平面 ， /平面 ，此时 ， 14分 （注：此题用几何法参照酌情给分） 考点：空间中点线面的位置关系 点评：主要是考查了空间中的线面的平行和垂直的证明，熟练的掌握判定定理和性质定理是结题的关键，属于基
17、础题。 已知等差数列 的公差大于 0,且 是方程 的两根 ,数列 的前 n项的和为 ，且 ( ). （ 1） 求数列 ， 的通项公式； （ 2） 记 ,求证： . 答案：（ 1） （ 2）利用数列的单调性，结合定义法作差法来得到单调性的证明。 试题分析：解：（ ） 是方程 的两根，且数列 的公差， ，公差 ( ) 4分 又当 n=1时，有 b1=S1=1- 当 数列 bn是等比数列， ( ) 8分 （ ）由（ ）知 10分 12分 考点：数列的通项公式 点 评：解决的关键是能利用等差数列的概念和等比数列的通项公式来求解，属于基础题。 已知椭圆 ： ，左、右两个焦点分别为 、 ，上顶点 ，为正三
18、角形且周长为 6. （ 1）求椭圆 的标准方程及离心率； （ 2） 为坐标原点， 是直线 上的一个动点，求 的最小值，并求出此时点 的坐标 答案：（ 1） ， 离心率 （ 2） 试题分析：解：（ ）解：由题设得 2分 解得： ， 3分 故 的方程为 . 5分 离心率 6分 （ 2）直线 的方程为 ， 7分 设点 关于直线 对称的点为 ，则 （联立方程正确，可得分至 8分） 所以点 的坐标为 9分 ， ， 10分 的最小值为 11分 直线 的方程为 即 12分 由 ，所以此时点 的坐标为 14分 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：解决的关键是通过其简单几何性质以及直线于椭圆方程的联立方程组来求解
19、，属于基础题。 已知函数 ， . （ 1）如果函数 在 上是单调减函数，求 的取值范围； （ 2）是否存在实数 ，使得方程 在区间 内有且只有两个不相等的 实数根？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ 1）当 时， 在 上是单调增函数，不符合题意 1分 当 时， 的对称轴方程为 ，由于 在 上是单调增函数，不符合题意 当 时，函数 在 上是单调减函数， 则 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 4分 （ 2）把方程 整理为 ， 即为方程 . 5分 设 ，原方程在区间 ( )内有且只有两个不相等的实数根 , 即为函数 在区间 ( )内有且只有两个零点 . 6分 7分 令 ，因为 ，解得 或 （舍） 8分 当 时 , , 是减函数； 当 时 , ， 是增函数 . 10分 在 ( )内有且只有两个不相等的零点 , 只需 13分 即 解得 , 所以 的取值范围是 ( ) 14分 考点：导数的应用 点评：解 决的关键是通过导数的符号判定函数但典型，进而来解决方程根的问题，以及函数单调性的应用，属于基础题。
