1、2013届广东省广州市高三 3月毕业班综合测试（一）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ，集合 ， ，则 A B C D 答案： D 试题分析： , , , 考点：集合的交并补运算 点评：集合的交集即相同的元素构成的集合，并集即所有的元素构成的集合，补集即全集中除去集合中的元素，剩余的元素构成的集合 如图，一条河的两岸平行，河的宽度 m，一艘客船从码头 出发匀速驶往河对岸的码头 .已知 km，水流速度为 km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中的速度大小为 A km/h B km/h C km/h D km/h 答案： B 试题分析：河宽 0.6km, km，船
2、航行的和速度为 ，和速度在垂直河岸的方向上的分速度为 ,沿河岸方向的分速度为 ,因为水速为 2，所以穿在静水中的速度 考点：解三角形的应用题 点评：正确理解本 题中船的航行方向即速度方向是前提条件，然后将速度分解到河流方向与垂直河岸方向，因此就能得到静水中沿河流方向与垂直河流方向的分速度各为多少，从而求得静水中的航速，学生对本题的题意理解有一定困难。 已知 e是自然对数的底数，函数 e的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列不等式中成立的是 A B C D 答案： A 试题分析：函数 e的零点可看作函数 的交点横坐标；函数的零点可看作 交点的 横坐标，做出三个函数图像可知 是增函数 考点：函数零点
3、与利用函数单调性比较大小 点评：本题的难点在于通过函数图像找到 的零点（两函数图象交点的横坐标）借助图像比较 的大小关系，进而结合 单调性得到的大小关系 函数 是 A奇函数且在 上单调递增 B奇函数且在 上单调递增 C偶函数且在 上单调递增 D偶函数且在 上单调递增 答案： C 试题分析：函数 化简得 ，所以函数是偶函数，当 时 ， 是减函数，排除 C项，所以选 D 考点：三角函数性质 点评：本题考查到了三角函数奇偶性单调性，判断奇偶性的前提条件是看定义域是否对称，若不 对称则为非奇非偶函数，三角函数中 是奇函数， 是偶函数 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1，则该几何体的体积是 A B C
4、D 答案： A 试题分析：由三视图可知该几何体是直三棱柱，底面为直角三角形，两直角边为 1和 2，侧棱长为 2，所以体积为 考点：三视图与几何体体积 点评：先由三视图特征还原出几何体，再代入相应的体积公式求解，三视图是新课标高考必考内容 直线 截圆 所得劣弧所对的圆心角是 A B C D 答案： D 试题分析：圆 的圆心 到直线 的距离 ，圆的半径 ，所以弦长与两半径围成的三角形是等腰三角形，一底角为 ，所以顶角为 ，即劣弧所对的圆心角是 考点：直线与圆相交问题 点评：直线与圆相交时圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成的直角三角形三边关系是常用的知识点 已知变量 满足约束条件 则 的最大
5、值为 A B C D 答案： C 试题分析：作出线性约束条件下的可行域是三角形区域，三个顶点分别是，当直线 过点 时 取得最大值 1 考点：线性规划问题 点评：线性规划问题的最值点一般出现在可行域的边界或顶点处，因此将顶点边界值点坐标代入比较即可得到 的最大值 已知 ，其中 是实数， i是虚数单位，则 i A i B i C i D i 答案： B 试题分析： 变形为 考点：复数运算 点评：复数相等则实部和虚部分别对应相等，复数运算中注意关系式 填空 题 （几何证明选讲选做题） 如图 3，是 的直径， 是 的切线， 与 交于点 ，若 ， ，则的长为 答案： 试题分析：设 AB长为 ，在直角三角
6、形 中有 ，由圆的切割线定理可知代入整理得 考点：平面几何求线段长度 点评：本题利用的主要性质是直线与圆相交相切的切割线定理找到与所求长度有关的等式关系 （坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，定点 ，点 在直线 上运动，当线段最短时，点 的极坐标为 答案： 试题分析：直线 化普通方程为 ，定点 在直角坐标系下为 ，当线段最短时与直线垂直，化为极坐标为 考点：极坐标与直角坐标的互化 点评：一点在直角坐标系下坐标为 ，在极坐标下为 ，则有 ，已知经过同一点的 N 个平面，任意三个平面不经过同一条直线 .若这 个平面将空间分成 个部分，则 ， . 答案： , 试题分析：的值即 3个平面将空间分成
7、几部分，取 3个两两垂直的平面，满足题干要求，此时将空间分成 8部分， ；当 时，每增加一个面，这个面就要与前面 个面都相交，因为过同一点，两平面如果有一个公共点就有一条公共直线，这样就会把前面平面划分的空间一分为二，即 ,累加得 考点：空间几何体的想象能力 点评：本题的关键点在所有的平面都过同一点，这样新 增加的平面与之前的所有平面都相交，将原来平面划分的空间一分为二，本题难度较大，学生不易找到入手点 已知 ，函数 若函数 在 上的最大值比最小值大 ，则 的值为 . 答案： 或 试题分析：当 时，最大值为 ，当 即时最小值是，所以，此时不成立，当 即 时最小值为 1， ；当时，最大值为 ，最
8、小值为 考点：分段函数性质及求最值 点评：本题的难点在于 两种情况下最大值最小值的确定，将函数图象画出后可帮助确定最值，本题难度较大 某工厂的某种型号的机器的使用年限 和所支出的维修费用 (万元 )有下表的统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为 10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数） 答案： .38 试题分析： ，中心点 代入回归方程得 ， 当 时 考点：回归方程 点评：回归直线过中心点 ，其中 是 x的平均值， 是 y的平均值 d . 答案： 试题分析： 考点：定积分 点评：定积分公式 其中 ，求
9、定积分主要是找到被积函数的原函数 不等式 的解集是 . 答案： 试题分析：原不等式化为 解集为 考点：绝对值不等式 点评：求解绝对值不等式关键是把绝对值符号去掉，本题中隐含条件 ，因此不等式两边可同时平方去掉绝对值，简化了分情况讨论的方法 解答题 （本小题满分 12分） 已知函数 （其中 ， ， ）的最大值为 2，最小正周 期为 . （ 1）求函数 的式； （ 2）若函数 图象上的两点 的横坐标依次为 ， 为坐标原点，求 的 面积 . 答案： （ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）解： 的最大值为 2，且 ， . 的最小正周期为， ，得 . . （ 2）解法 1： ， ， . . . . 的面
10、积为 . 解法 2： ， ， . . . . 的面积为 . 解法 3： ， ， . 直线 的方程为 ，即 . 点 到直线 的距离为 . ， 的面积为 . 考点：求三角函数式及解三角形 点评：式中 A值与最值有关， 值与周期有关 ；第二问解三角形一般用正余弦定理寻找边角间的关系，正弦定理： ，余弦定理 , ， （本小题满分 12分） 甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的 概率为 ，乙，丙做对的概率分别为 ， ( )，且三位学生是否做对相互独立 .记 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为： 0 1 2 3 （ 1) 求至少有一位学生做对该题的概率； （ 2) 求 ， 的值； （ 3)
11、求 的数学期望 . 答案：（ 1) （ 2) ， （ 3) 试题分析：设 “甲做对 ”为事件 ， “乙做对 ”为事件 ， “丙做对 ”为事件 ，由题意知， . （ 1）由于事件 “至少有一位学生做对该题 ”与事件 “”是对立的， 所以至少有一位学生做对该题的概率是 . （ 2）由题意知 ， ， 整理得 ， . 由 ，解得 ， . （ 3）由题意知 ， = ， 的数学期望为 = . 考点：相互独立事件概率及离散型随机变量分布列期望 点评：在求解关于分布列题目的时候，首要分析清楚随机变量取各值时对应的事件，再代入相应的计算公式求解，本题还考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必
12、然的数学思想 （本小题满分 14分） 如图 4，在三棱柱 中， 是边长为 的等边三角形， 平面 ， ， 分别是 ，的中点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）若 为 上的动点，当 与平面 所成最大角的正切值为 时， 求平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值 . 答案：（ 1）延长 交 的延长线于点，连接 ，且 为的中点 . . 平面 （ 2） 试题分析：解法一： （ 1）证明：延长 交 的延长线于点，连接 . ，且 ， 为的中点 . 为的中点， . 平面 ， 平面 ， 平面 . （ 2）解： 平面 ， 平面 ， . 是边长为 的等边三角形， 是的中点， ， . 平面 ， 平面 ， ， 平面
13、 . 为 与平面 所成的角 . ， 在 Rt 中， ， 当 最短时， 的值最大，则 最大 . 当 时， 最大 . 此时， . . ， 平面 ， 平面 . 平面 ， 平面 ， ， . （本小题满分 14分） 已知数列 的前 项和为 ，且 N . （ 1） 求数列 的通项公式； （ 2）若 是三个互不相等的正整数，且 成等差数列，试判断 是否成等比数列？并说明理由 . 答案：（ 1） （ 2） 不是等比数列，假设成等比数列，则 ， 即 ， 化简得： . （ *） ， ，这与（ *）式矛盾，故假设不成立 试题分析： (1) 解： ， 当 时，有 解得 . 由 , 得 , - 得 : . 以下提供两种
14、方法： 法 1：由 式得： ， 即 ; ， ， 数列 是以 4为首项 ,2为 公比的等比数列 . ,即 . 当 时 , ， 又 也满足上式 , . 法 2：由 式得： ， 得 . 当 时 , , - 得： . 由 ，得 ， . 数列 是以 为首项， 2为公比的等比数列 . . （ 2）解： 成等差数列， . 假设 成等比数列， 则 ， 即 ， 化简得： . （ *） ， ，这与（ *）式矛盾，故假 设不成立 . 13分 不是等比数列 . 考点：数列的通项公式、数列的前 项和 点评：本题需要构造新数列，难度很大，求解中用到的关系式 第二问中的反证法的应用比综合法分析法更简单实用；本题还考查了合情
15、推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力 （本小题满分 14分） 已知椭圆 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，抛物线 在点处的切线分别为 ，且 与 交于点 . (1) 求椭圆 的方程； (2) 是否存在满足 的点 若存在，指出这样的点 有几个（不必求出点 的坐标） ; 若不存在，说明理由 . 答案： (1) (2) 满足条件的点 有两个 试题分析： (1) 解法 1：设椭圆 的方程为 , 依题意 : 解得 : 椭圆 的方程为 . 解法 2：设椭圆 的方程为 ， 根据椭圆的定义得 ，即， ，
16、 . 椭圆 的方程为 . (2)解法 1：设点 , ，则 ， ， 三点共线 , . , 化简得： . 由 ,即 得 . 抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，即 . 同理，抛物线 在点处的切线 的方程为 . 设点 ，由 得： ， 而 ，则 . 代入 得 ， 则 ， 代入 得 ，即点 的轨迹方程为 . 若 ，则点 在椭圆 上，而点 又在直线 上， 直线 经过椭圆 内一点 , 直线 与椭圆 交于两点 . 满足条件 的点 有两个 . 解法 2：设点 , ， ， 由 ,即 得 . 抛物线 在点 处的切线 的方程为 ， 即 . 相关试题 2013届广东省广州市高三 3月毕业班综合测试（一）理科数学试卷（带
17、） （本小题满分 14分） 已知二次函数 ，关于 的不等式的解集为 ，其中 为非零常数 .设 . （ 1）求 的值； （ 2） R 如何取值时，函数 存在极值点，并求出极值点； （ 3）若 ，且 ，求证： N 答案：（ 1） （ 2）当 时， 取任意实数 , 函数 有极小值点 ； 当 时， ，函数 有极小值点 ，有极大值点 . (其中 , ) （ 3） 当 时，左边，右边 ，不等式成立； 假设当N 时，不等式成立，即 ， 则 . 也就是说，当 时，不等式也成立 . 由 可得，对 N ， 都成立 . 试题分析：（ 1）解： 关于 的不等式的解集为 ， 即不等式的解集为 ， . . . . (2)解法 1:由 (1)得 . 的定义域为 . . 方程 （ *）的判别式 . 时， ，方程（ *）的两个实根为 则 时， ； 时， . 函数 在 上单调递减，在 上单调递增 . 函数 有极小值点 . 当 时，由 ,得 或 ， 若 ，则 故 时， ， 函数 在上单调递增 . 函数 没有极值点 . 若 时， 则 时， ； 时， ； 时， . 函数 在上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增 . 函数 有极小值点 ，有极大值点 . 综上所述 , 当 时， 取任意实数 , 函数 有极小值点 ； 当 时， ，函数
