1、2013届新疆乌鲁木齐地区高三第一次诊断性测验文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 U 1， 2， 3， 4， 5， 6， A 1， 4， 5， B 2， 3， 4，则 A 4， B U 1， 5， C U 1， 5，6， D U 1， 4， 5，6 答案： D 试题分析： . 考点：集合的运算。 点评：直接考查集合的运算，属于基础题型。 中，若 ，则 的值为 A 2 B 4 C D 2 答案： B 试题分析：设 中， 分别是 所对的边，由 得 . 即 ， . ，即 ， 考点：余弦定理；平面向量的数量积。 点评：在 中，注意向量 的夹角为 ，而不是角 A，此为易错点，我们一定要注意。
2、看向量的夹角时，一定要把向量的起点放到同一点上。 如图，椭圆的中心在坐标原点 0，顶点分别是 A1, A2, B1, B2，焦点分别为F1 ,F2，延长 B1F2 与 A2B2交于 P点，若 为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 A（ 0， ） B（ ， 1） C（ 0， ） D（ ， 1） 答案： D 试题分析：易知直线 的方程为 ，直线 的方程 为 ，联立可得 ，又 ， ， ， 为钝角 ，即 ，化简得 ，即，故 ，即 ， 或 ，而，所以 . 考点：椭圆的简单性质。 点评：求圆锥曲线的离心率（或离心率的范围）是常见题型，常用方法： 直接利用公式 ； 利用变形公式： （椭圆）和（双曲线） 根据
3、条件列出关于 a、 b、 c的关系式，两边同除以 a,利用方程的思想，解出 。 设平面区域 D是由双曲线 的两条渐近线和抛物线 y2 =-8x 的准线所围成的三角形 (含边界与内部） .若点（ x， y) D,则 x+ y的最小值为 A -1 B 0 C 1 D 3 答案： B 试题分析：双曲线的渐近线为 ，抛物线的准线为 ，设 ，当直线 过点 时， . 考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质；简单的线性规划问题。 点评：双曲线 的渐近线方程为 ；双曲线 的渐近线方程为 。 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E、 F是 AB的三等分点， G、 H是 CD的三等分点， M、 N分别
4、是 BC、 EH的中点，则四棱锥 A1 -FMGN的 侧视图为答案： C 试题分析： A1在面 A1B1C1D1上的投影为点 D1， N在面 A1B1C1D1上的投影为点H,F在面 A1B1C1D1上的投影为点 G,M在面 A1B1C1D1上的投影为点 C,因此侧视图为选项 C的图形。 考点：三视图。 点评：解决这类题的关键是准确分析出几何体的结构特征，发挥自己的空间想象力，把立体图形和平面图形进行对照，找出几何体中的数量关系。 执行右边的程序框图，若输出的 S是 127，则条件 可以为 A n5 B n6 C n7 D n8 答案： B 试题分析：依题意 ，有 ，故 . 考点：程序框图。 点
5、评：程序框图是课改之后的新增内容，在考试中应该是必考内容。一般情况下是以一道小题的形式出现，属于较容易题目。一般的时候，如果循环次数较少，我们可以一一写出，若循环次数较多，我们需要寻找规律。 函数 的部分图象如图所示，其 中 A， B两点之间的距离为 5，则 f(x)的递增区间是 A 6k-1,6k 2（ k Z） B 6k-4,6k-1（ k Z） C 3k-1,4k 2（ k Z） D 3k-4,3k-1（ k Z） 答案： B 试题分析： ，所以 ，即 ，所以 ，由 过点 ，即 ， ， 解得 ，函数为 ，由 ， 解得 ，故函数单调递增区间为 . 考点：函数 的式；函数 单调性。 点评：做
6、此题的关键是根据图像求出函数的式。已知函数的图像求式，是常见题型。一般的时候，（ 1）先求 A；根据最值；（ 2）在求：根据周期；（ 3）最后求 ：找到代入。 设 为等差数列 的前 n项和，若 ，则 k的值为 A 8 B 7 C 6 D 5 答案： A 试题分析：由 ， ，解得 ，再由： ，解得 . 考点：等差数列的性质；等差数列的前 n项和。 点评：注意公式 的灵活应用。用此公式要注意讨论的情况。属于基础题型。 已知函数 ，则使函数 g（ x） f（ x） x-m有零点的实数m的取值范围是 A B C D 答案： D 试题分析：函数 的零点就是方程 的根， 作出 的图象，观察它与直线 的交点
7、，得知当时，或 时有交点，即函数 有零点 . 考点：函数的零点。 点评：本题充分体现了数形结合的数学思想。函数的零点、方程的根、函数图像与 x轴的交点，做题时注意三者之间的等价转化。 函数 ，则 f（ x） -g（ x）是 A奇函数 B偶函数 C既不是奇函数又不是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 答案： A 试题分析： 的定义域为 记 ，则，故 是奇函数 . 考点：函数的奇偶性；对数的运算。 点评：判断函数的奇偶性有两步：一求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称；二判断 与 的关系。若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。 “ x 1”是 “ 0”的 A充分不必要条件 B必要不充分条
8、件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析： ， . 考点：充分、必要、充要条件的判断；绝对值不等式的解法；对数的性质。 点评：利用集合间的包含关系进行判断充分、必要、充要条件：若 ，则的充分条件；若 ，则 的必要条件；若 ，则 的充要条件。 复数 的共轭复数是 a + bi(a， b R)， i是 数单位，则点（ a， b)为 A (1， 2) B (2， -i) C (2,1) D (1， -2) 答案： C 试题分析： ，其共轭复数为 ，即 ，所以 . 考点：复数的运算；共轭复数的概念。 点评：复数在考试中一般是必出的一道小题，放在较靠前的位置，属于简单题，要求学生必须
9、得分。因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握。同时，也要熟记一些常用公式： 。 填空题 设 A、 B为在双曲线 上两点， O为坐标原点 .若 0,则AOB面积的最小值为 _ 答案： 试题分析：设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ， 则点 满足 故 ， ，同理 ， 故 （当且仅当 时，取等号） ，故 的最小值为 . 考点：双曲线的简单性质；平面向量的数量积；基本不等式；直线与双曲线的综合应用。 点评：本题 主要考查直线与双曲线的综合应用，这类综合应用题的特点是：计算过程特别复杂、繁琐。因为我们在计算的过程中一定要耐心、认真、细致。尽量做到能得分的绝不因为计算错误而失分。 点 A(x， y)在单
10、位圆上从 出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每 12秒运动一周 .则经过时间 t后， y关于 t的函数式 为 _ 答案： 试题分析： ，点 每秒旋转 ，所以秒旋转 ， ，则 . 考点：三角函数 模型的简单应用。 点评：面对实际问题，能够迅速的建立数学模型是一种重要的基本技能。比如此题，在读题时把题目中提供的 “条件 ”逐条的翻译成 “数学语言 ”，这个过程就是数学建模的过程。早高考中，将实际问题转化为三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的式；画出函数的图像以及利用函数的性质进行解题。 如图，单位正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P在平面 A1BC1上，则三棱锥 P-ACD1的体
11、积为 _ 答案： 试题分析：平面 平面 ， 到平面 的距离等于平面 与平面 间的距离，等于 ，而 ， 三棱锥 的体积为 . 考点：三棱锥的体积；正方体的结构特征。 点评：我们在平常做题时应善于总结正方体的一些结构特征。比如。在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 正好把对角线 三等分。 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5次试验 .根据 收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为 _ . 答案： 试题分析：设遮住部分的数据为 ， ， 由 过 得 ，故 考点：回归直线方程。 点评：回归直线方程一定过样本点的中
12、心： ，这一条在考试中经常考到，我们一定要熟记。属于基础题型。 解答题 (本题满分 10分 )选修 4 -4 ：坐标系与参数方程 将圆 上各点的纵坐标压缩至原来的 ，所得曲线记作 C;将直线 3x-2y-8=0 绕原点逆时针旋转 90所得直线记作 l .(I)求直线 l与曲线 C的方程； (II)求 C上的点到直线 l的最大距离 . 答案： .(I) 曲线 C： ；直线 l ： ； (II) 。 试题分析：（ ）设曲线 上任一点为 ，则 在圆 上， 于是 即 . 直线 的极坐标方程为 ，将其记作 ， 设直线上任一点为 ，则点 在 上， 于是 ，即： ， 故直线的方程为 ； 5 分 （ ）设曲线
13、 上任一点为 ， 它到直线的距离为 ， 其中 满足： . 当 时， . 10 分 考点：直线的极坐标方程；直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程。 点评：本题主要考查了直线与椭圆的极坐标方程的灵活应用。考查了学生分析问题的能力及数学化归思想 (本小题满分 10分 )选修 4-1:几何证明选讲 如图， AB是 的直径， AC是弦，直线 CE和 切于点 C， ADACE，垂足为 D. (I) 求证 :AC平分 ； (II) 若 AB=4AD，求 的大小 . 答案： (I) ， ，又 . 。 (II) 。 试题分析：（ ）连接 ， 是 的直径， . . ， ， 是弦，且直线 和 切于点 ， . ，即
14、平分 ； 5 分 （ ）由（ ）知 ， ，由此得 ， ，于是 ， 故 的大小为 10 分 考点：弦切角；圆的切线的性质。 点评：做第二问的关键是证明出 ，考查了学生分析问题、解决问题的能力。属于基础题型。 (本小题满分 12分） 已知函数 的零点的集合为 0， 1，且 是 f（ x）的一个极值点。 （ 1）求 的值； （ 2）试讨论过点 P（ m， 0）与曲线 y f（ x）相切的直线的条数。 答案：（ 1） ；（ 2）当 或 时， ，方程 有两等根或 ，此时，过点 或 与曲线 相切的直线有两条； 当 时， ，方程 无解，此时过点 与曲线 相切的直线仅有一条； 当 或 时， ，方程 有两个不同
15、的实根，此时过点 与曲线 相切的直线有三条 . 试题分析：（ ）函数 的零点的集合为 ，则方程 的解可以为 ，或 . 或 . 若 ，则 . 当 ，或 时， ，函数 为增函数；当 ， ，函数 为减函数； ， 为函数的极值点与题意不符 若 ，则 当 ，或 时， ，函数 为增函数；当 ， ，函数 为减函数； ， 为函数的极值点 综上，函数 ，即 ， 而 ，故 ， 6 分 （ ）设过点 的直线与曲线 切于点 ， 由（ ）知 ， 曲线 在点 处的切线方程为 ， 满足此方程，故 ，又 即 ， . ，或 ，关于 的方程 的判别式当 或 时， ，方程 有两等根 或 ，此时，过点或 与曲线 相切的直线有两条；
16、当 时， ，方程 无解，此时过点 与曲线 相切的直线仅有一条； 当 或 时， ，方程 有两个不同的实根，此时过点 与曲线 相切的直线有三条 . 12 分 考点：函数的零点；函数的极值点；导数的几何意义；曲线的切线方程。 点评：利用导数求曲线的切线方程，我们一定要分清是 “在某点处的切线 ”还是“过某点的切线 ”。对于 “在某点处的切线 ”的问题，这一点就是切点，直接根据导数的几何意义写出切线方程即可。对于 “过某点的切线 ”问题，我们一般要把切点坐标设出来解决。 (本小题满分 12分） 已知点 F( 1， 0)， 与直线 4x+3y + 1 0相切，动圆 M与 及 y轴都相切 . (I )求点
17、 M的轨迹 C的方程； (II)过点 F任作直线 l，交曲线 C于 A， B两 点，由点 A， B分别向 各引一条切线，切点 分别为 P， Q，记 .求证 是定值 . 答案： (I ) ； (II) 当不与 轴垂直时，直线的方程为，由 得 ，设 ， ， 当与 轴垂直时，也可得 。 试题分析：（ ） 的半径为 ， 的方程为 ， 作 轴于 ，则 ，即 ，则 （是过 作直线 的垂线的垂足），则点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线 点 的轨迹 的方程为 ； 6 分 （ ）当不与 轴垂直时，直线的方程为 ，由 得 ，设 ，则 ， 当与 轴垂直时，也可得 ， 综上，有 12 分 考点：轨迹方程的求法；
18、抛物线的简单性质；直线方程的点斜式；直线与抛物线的综合应用。 点评：（ 1）在设直线方程的点斜式时，要注意讨论斜率是否存在；（ 2）做第二问的关键是：把 的值用两根之和或两根之积表述出，从而达到应用韦达定理的目的。 (本小题满分 12分） 在正四棱锥 V - ABCD中， P， Q分别为棱 VB， VD的中点， 点 M在边 BC上，且 BM: BC = 1 ： 3， AB =2 ， VA = 6. (I )求证 CQ 平面 PAN; (II)求证： CQ AP. 答案： (I )只需证平面 平面 ； (II)只需证 。 试题分析：（ ）连接 ，设 ，则 平面 ， 连接 ，设 ，由 ， ， 得
19、为 的中点，而 为 的中点，故 在 上取一点 ，使 ， 同理 ，于是 在正方形 中 ， 平面 平面 ，又 平面 平面 ； 6 分 （ ）延长 至 使 ，连接 ,则 且 延长 至 使 ，连接 ,，则 且 相交直线 与 所成的不大于 的角即为异面直线 与 所成的角 连接 ，在 中， ， ，即 12 分 考点：线面平行的判断；先线垂直的判断；正四棱锥的结构特征。 点评： 本题主要考查了空间的线面平行，线线垂直的证明，充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力。 我们要熟练掌握正棱柱、直棱柱、正棱锥的结构特征。正棱柱：底面是正多边形，侧棱垂直底面；直棱柱：侧棱垂直底面；正棱锥：底面是正多边
20、形，顶点在底面的投影是底面的中心。 (本小题满分 12分） PM2. 5是指大气中直径小于或等于 2. 5微米的颗粒物，也称为 可人肺颗粒物 .我国 PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限 值，即 PM2.5日均值在 35微克 /立方米以下空气质量为一级； 在 35微克 /立方米 75微克 /立方米之间空气质量为二级；在 75微克 /立方米以上空气质量为超标 . 某市环保局从市区 2012年全年每天的 PM2.5监测数据中 随机抽取 15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为 茎，个位为叶） (I)从这 9天的数据中任取 2天的数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率； (II) 以这
21、9天的 PM2. 5日均值来估计供暖期间的空气质量情况，则供暖期间 (按150天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级 . 答案： (I) ； (II)50天。 试题分析：（ ）记 “从 天的 PM2.5日均监测数据中，随机抽出 天，恰有一天空气质量达到一级 ”为事件 ， 从 天的 PM2.5日均监测数据中，随机抽出 天，有， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种情形，其中恰有一天空气质量达到一级的有 ， ， ， ，共 种情形， ； 6 分 （ ）依题意可知，这 天中空气质量达到一级的有 天，那么供暖期间估计（按 天计算）有 天的空气质量达到一级 . 12 分 考点：茎叶图；随机事件的概率；
22、古典概型；用样本的频率分布估计总体的频率分布。 点评：本题只要考查用样本的频率分布估计总体的频率分布和古典概型。用古典概型求概率要求出基本事件的总数和事件 A包含的基本事件的个数。计算基本事件总数的常用方法：树形法、列表法、用排列组合求、另外还可以用坐标系中的的表示基本事件，进而计算基本事件的总数。 (本小题满分 12分） 已知数列 an、 bn分别是首项均为 2的各项均为正数的等比数列和等差数列，且 (I) 求数列 an、 bn的通项公式； (II )求使 0.001成立的最小的 n值 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） 6. 试题分析：（ ）设 的公比为 ， 的公差为 ，依题意解得 ，或
23、（舍） ， ； 6 分 （ ）由（ ）得 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 最小的 值为 6. 12 分 考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式；等比数列的性质；等比数列的通项公式。 点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基本运算。通过列方程（组）所有问题可迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差和等比的有关公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于应用整体代换思想简化运算的过程。 (本 题满分 10分 )选修 4 - 5 ：不等式选讲 设函数， . (I)求证 ； (II)若 成立，求 x的取值范围 . 答案： (I) ； (II) 。 试题分析：（ ） 5 分 （ ） ， 要使 成立，需且只需 . 即 ，或 ，或 ，解得 ，或故 的取值范围是 . 10 分 考点：绝对值不等式的解法；基本不等式；绝对值三角不等式。 点评：解绝对值不等式不等式的主要思路是：（ 1）通过 “零点分段法 ”进行分类讨论去掉绝对值符号。在分类讨论时，要注意不重不漏。（ 2）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想。
