1、2013届江苏省扬州中学高三 3月月考数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 ， ，则 _ 答案： 试题分析： =，所以 。 考点：本题主要考查集合的运算，指数函数的性质。 点评：基础题，高考中，此类问题经常出现，在考查几何知识的同时，与其它知识综合在一起进行考查。确定集合中元素的特征是关键。 已知连续 个正整数总和为 ，且这些数中后 个数的平方和与前 个数的平方和之差为 若 ，则 的值为 答案： 试题分析：设中间数为 m，由等差数列的求和公式得 m+2mn=a，后 n个数的平方和就是 ，前 n个数的平方和为因为 所以后 个数的平方和与前 个数的平方和之差为 ， 由 得 n=5。 考点：本
2、题主要考查等差数列的求和公式。 点评：中档题，解答本题的关键是能灵活的假设中间数 m，并将前 n个数、后n个数 m表示，利用方程思想建立 m的方程。 已知函数 ，下列命题正确的是 。（写出所有正确命题的序号） 是奇函数； 对定义域内任意 x， 0时，若方程 |=k有且仅有两个不同的实数解 cos =-sin 。 答案： 试题分析： 的定义域为 x|x 0.因为 f（ -x） =f(x),所以其为偶函数； 错； 因为 |sinx| 1，且当 0 x 时， sinx0时，若方程 | |=k有且仅有两个不同的实数解 ，由于（ 0，）上 f(x)0,(， 2)上 f(x)0，所以 （导数为零）， 结合
3、图象知 cos =-sin 。 综上知，答案：为 考点：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用导数研究函数的单调性、求极值，数形结合思想。 点评：中档题，本题综合性较强，解答过程中，时而运用函数图象，时而运用导数知识，体现应用数学知识的灵活性。 如图，已知椭圆 的左、右准线分别为 ，且分别交轴于 两点，从 上一点 发出一条光线经过椭圆的左焦点 被 轴反射后与 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆的离心率等于 答案： 试题分析：由题意知 |AC|=|CF|=-c-(- )= ， |AF|= ， |BF|= cot30= |BD|=|DF|=c+ ， |BF|= (c+ )= ， ，整理得 e4-4e2+
4、1=0 解得 e2=2- 或 e2=2+ （舍去）， e= 。 考点：本题主要考查椭圆的几何性质。 点评：典型题，椭圆的几何性质是重要考点之一，常常将 a,b,c,e关系与椭圆的标准方程结合在一起进行考查。本题利用函数方程思想，通过建立 e的方程，达到解题目的。 若正数 满足 ，则 的最大值为 . 答案： 试题分析：因为 ，所以 ， ，= ，令 t= ，则 = 在 是增函数，所以 t= 时， 的最大值为 。 考点：本题主要考查平方公式，基本不等式的应用，二次函数的图象和性质。 点评：典型题，基本不等式是高考考查的重点内容之一，应用基本不等式，要注意 “一正、二定、三相等 ”。 在 ABC中 ,
5、角 A,B,C的对边分别 a,b,c,若 .则直线被圆 所截得的弦长为 答案： 试题分析：由半径、弦的一半、圆心距所确定的 “特征直角三角形 ”及得， 直线 被圆 所截得的弦长为 2 = 。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式。 点评：典型题，涉及直线被圆截得弦长问题，往往要借助于半径、弦的一半、圆心距所确定的 “特征直角三角形 ”。 若数列 的通项公式 ，记 ，试通过计算 、 、 的值，推测出 答案： 试题分析：根据题意， a1= ， f(1)=2（ 1- ） = ， a2= ， f(2)=2（ 1- ）（ 1- ） = ， a3= ， f(3)=2（ 1- ）（ 1-
6、 ）（ 1- ） = ， 归纳可得 . 考点：本题主要考查归纳推理的概念 . 点评：简单题，本题解法明确，逐项计算，发现规律，写出结论。 将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 ，则方程有实根的概率为 答案： 试题分析：将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 b， c，共有 36种结果：（ 1， 1），（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 1， 5），（ 1， 6），（ 2，1），（ 2， 2），（ 2， 3），（ 2， 4），（ 2， 5）， （ 2， 6），（ 3， 1），（ 3， 2），（ 3， 3），（ 3， 4），（ 3， 5），（ 3， 6），（ 4， 1），
7、（ 4， 2）， （ 4， 3），（ 4， 4），（ 4， 5），（ 4， 6），（ 5， 1），（ 5， 2），（ 5， 3），（ 5， 4），（ 5， 5）， （ 5， 6），（ 6， 1），（ 6， 2），（ 6， 3） ，（ 6， 4），（ 6， 5），（ 6， 6），属于古典概型 记 “方程 x2+bx+c=0有实根 ”为事件 A，则 =b2-4c0即 b2 ， A包含的结果有：（ 2， 1），（ 3， 1）（ 4， 1），（ 5， 1），（ 6， 1），（ 3， 2），（ 4，2），（ 5， 2），（ 6， 2），（ 4， 3），（ 5， 3）， （ 6， 3），（ 4， 4），（
8、 5， 4），（ 6， 4），（ 5， 5），（ 6， 5），（ 5， 6），（ 6， 6）共 19种结果，由古典概率的计算公式可得， P（ A） = 。 考点：本题主要考查古典概型概率的计算。 点评：中档题，此类型题的求解有两点： 首先清 楚古典概率模型的特征：结果有限且每种结果等可能出现 古典概率的计算公式： P（ A） =m/n（其中 n是试验的所有结果， m是基本事件的结果数）难点在确定 “结果数 ”。 正四面体 ABCD 中， AO 平面 BCD，垂足为 ，设 是线段 上一点，且 是直角，则 的值为 . 答案： 试题分析：延长 BO，交 CD于点 N，可得 BN CD且 N为 CD中
9、点 设正四面体 ABCD棱长为 1，得等边 ABC中， BN= ， BC= AO 平面 BCD， O为等边 ABC的中心，得 BO= ， BN= ， Rt ABO中， AO= = 设 MO=x，则 Rt BOM中， BM= = BMC=90，得 BMC是等腰直角三角形， BM=AM= BC，即 = ，解之得 x= 由此可得 AM=AO-MO= ，所以 MO=AM= ，从而 =1. 考点：本题主要考查正四面体的几何性质，垂直关系。 点评：中档题，本题充分借助于正四面体的几何性质，通过发现等腰三角形，灵活利用勾股定理，达到解题目的。本题解法充分体现了立体几何问题转化成平面几何问题的基本思路。 如果
10、复数 的实部与虚部互为相反数 ,则 = . 答案： . 试题分析：因为 的实部与虚部互为相反数，所以 =0，解得 =1. 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的概念。 点评：简单题，高考必考题型，往往比较简单。细心计算即可。 一组数据 ， ， ， ， 的平均数是 ，则这组数据的方差是_ 答案： 试题分析：因为 ， ， ， ， 的平均数是 ，即 ，所以 x=10； 数据的方差为 。 考点：本题主要考查平均数、方差的概念及计算。 点评：简单题，注意理解平均数、方差的概念，掌握它们的计算公式。 的值为 答案： 试题分析： =-2. 考点：本题主要考查对数的运算法则，二倍角公式，特殊角的三角函数值。
11、 点评：简单题，利用对数乘法法则，进一步计算三角函数值。 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为 1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在 300500小时的数量是 _个 答案： 试题分析：电子元件的寿命在 300500小时的数量是（ 100+ 100）1000=650. 考点：本题主要考查频率、频数的概念及其关系，频率分布直方图。 点评：简单题，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于 1频率、频数的关系：频率 =频数 数据总和。 已知 ，若 是 的充分条件，则实数a的取值范围是 答案： . 试题分析： 所以 ， ；而 是 的充分条件，所以对
12、应集合是 对应集合的子集，即 ，解得 ，故答案：为 。 考点：本题主要考查充要条件的概念，简单不等式解法。 点评：基础题，充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合。充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。本题运用的是集合关系法。 解答题 在平面直角坐标系 中，抛物线 C的顶点在原点，焦点 F的坐标为（ 1，0）。 （ 1）求抛物线 C的标准方程； （ 2）设 M、 N是抛物线 C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为 ，直线 MO、 NO与抛物线的交点分别为点 A、 B，求证：动直线 AB恒过一个定点。 答案： (1)设抛物线的标
13、准方程为 ，则 ， 所以抛物线方程为 （ 2）直线 MO的方程： ，与 联立解得 A点坐标 ， B点坐标 ，得出直线 AB的方程为： ，说明直线AB恒过定点（ 1,0）。 试题分析： (1)设抛物线的标准方程为 ，则 ， 所以抛物线方程为 （ 2）抛物线 C的准线方程为 ，设 ，其中 ， 直线 MO的方程： ，将 与 联立解得 A点坐标。 同理可得 B点坐标 ，则直线 AB的方程为： 整理得 ，故直线 AB恒过定点（ 1,0）。 考点：本题主要考查直线方程，抛物线标准方程，直线与抛物线的位置关系。 点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求抛物线标准
14、方程时，主要运用了抛物线的几何性质。（ 2）证明直线过定点问题时，巧妙地假设，并应用假设字母表示点的坐标，值得学习。 已知圆的极坐标方程为： 将极坐标方程化为普通方程； 若点 P(x， y)在该圆上，求 x y的最大值和最小值 答案： ； x y最大值为 6，最小值为 2 试题分析： ； 圆的参数方程为 所以 ，那么 x y最大值为 6，最小值为 2 考点：本题主要考查极坐标、参数方程。 点评：中档题，极 坐标、参数方程作为选考内容，命题难度也不太大。极坐标主要停留在简单曲线方程的互化，而参数方程的应用，则显得更为突出。本题应用参数方程，将求二元函数的最值问题，转化成了三角函数问题，也很好体现
15、了 “换元思想 ”。 已知矩阵 A ，若矩阵 A属于特征值 6的一个特征向量为 1 ，属于特征值 1的一个特征向量为 2 求矩阵 A，并写出 A的逆矩阵 答案： A ， A的逆矩阵是 试题分析：由矩阵 A属于特征值 6的一个特征向量为 1 可得， 6 ， 即 c d 6；由矩阵 A属于特征值 1的一个特征向量为 2 ，可得 ，即 3c-2d -2，解得 即 A ， A的逆矩阵是 考点：本题主要考查矩阵的概念，逆矩阵的求法。 点评：中档题，矩阵作为选考内容，一般出题难度不大。就本题而言利用函数方程思想，通过建立方程，确定得到逆矩阵。 （本小题满分 16分） 已知 ， ，且直线 与曲线相切 （ 1
16、）若对 内的一切实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （ 2）当 时，求最大的正整数 ，使得对 （ 是自然对数的底数）内的任意 个实数 都有成立； （ 3）求证： 答案：（ 1）设点 为直线 与曲线 的切点，则有 （ *） ， （ *） 由（ *）、（ *）两式，解得 ， 由 整理，得 ， ， 要使不等式 恒成立，必须 恒成立 设 ， ， ， 当 时， ，则 是增函数， ， 是增函数， ， 因此，实数 的取值范围是 （ 2）当 时， ， 在 上是增函数， 在 上的最大值为 要对 内的任意 个实数 都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值， 当 时不等式左边取得最大值，
17、 时不等式右边取得最小值 ，解得 因此， 的最大值为 （ 3）证明：当 时，得出 令 ， 化简得 ， 得出 试题分析：（ 1）设点 为直线 与曲线 的切点，则有 （ *） ， （ *） 由（ *）、（ *）两式，解得 ， 由 整理，得 ， ， 要使不等式 恒成立，必须 恒成立 设 ， ， ， 当 时， ，则 是增函数， ， 是增函数， ， 因此，实数 的取值范围是 （ 2）当 时， ， 在 上是增函数， 在 上的最大值为 要对 内的任意 个实数 都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值， 当 时不等式左边取得最大值， 时不等式右边取得最小值 ，解得 因此， 的最大值为 （ 3
18、）证明：当 时，根据（ 1）的推导有， 时， ， 即 令 ，得 ， 化简得 ， 考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性及极值，证明不等式。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，像涉及恒成立问题，往往通过研究函数的最值达到解题目的。证明不等式问题，往往通过构造新函数，研究其单调性及最值，而达到目的。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。 （本题满分 16分） 已知有穷数列 共有 项（整数 ），首项 ，设该数列的前 项和为 ，且 其中常数 求 的通项公式； 若 ，数列 满足 求证： ； 若 中数列 满足不等式： ，求的最大值 答案： 整数 的最大值为 7。 试题分析
19、： 两式相减得 当 时 则，数列 的通项公式为 把数列 的通项公式代入数列 的通项公式，可得 数列 单调递增，且 则原不等式左边即为 由 可得 因此整数 的最大值为 7。 考点：本题主要考查数列的的基础知识，简单不等式的解法。 点评：中档题，本解答从研究 的关系入手，确定得到通项公式 ，从而进一步明确 证明了 。 “分组求和法 ”、 “裂项相消法 ”、 “错位相消法 ”是高考常常考到数列求和方法。 （本小题满分 15分） 给定椭圆 C： ，称圆心在原点 O、半径是 的圆为椭圆 C的 “准圆 ”已知椭圆 C的一个焦点为 ，其短轴的一个端点到点的距离为 （ 1）求椭圆 C和其 “准圆 ”的方程；
20、（ 2）若点 是椭圆 C的 “准圆 ”与 轴正半轴的交点， 是椭圆 C上的两相异点，且 轴，求 的取值范围； （ 3）在椭圆 C的 “准圆 ”上任取一点 ，过点 作直线 ，使得 与椭圆 C都只有一个交点，试判断 是否垂直？并说明理由 答案：（ 1） （ 2） （ 3）对于椭圆 上的任意点 ，都有 试题分析：（ 1）由题意知 ，且 ，可得 ， 故椭圆 C的方程为 ，其 “准圆 ”方程为 （ 2）由题意，可设 ，则有 ， 又 A点坐标为 ，故 ， 故 , 又 ，故 ， 所以 的取值范围是 （ 3）设 ，则 当 时， ，则 其中之一斜率不存在，另一斜率为 0，显然有 当 时，设过 且与椭圆有一个公共
21、点的直线 的斜率为 ， 则 的方程为 ，代入椭圆 方程可得 ，即 ， 由 ， 可得 ，其中 ， 设 的斜率分别为 ，则 是上述方程的两个根， 故 ，即 综上可知，对于椭圆 上的任意点 ，都有 考点：本题主要考查圆的方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算。 点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题新定义了 “准圆 ”，解答时要注意审题，明确其特征。本题易漏 “ 其中之一斜率不存在，另一斜率为 0， 的情况。 （本小题满分 15分） 如图，某小区有一边长为 2（单位：百米）的正方形地块 OABC，其中 OAE是一个游泳池，计划在地块 OABC内修
22、一条与池边 AE相切的直路 （宽度不计），切点为 M，并把该地块分为两部分现以点 O为坐标原点，以线段 OC所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系，若池边 AE满足函数 ）的图象，且点 M到边 OA距离为 （ 1）当 时，求直路 所在的直线方程； （ 2）当 t为何值时，地块 OABC在直路 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？ 答案：（ 1） ；（ 2） ， 。 试题分析：（ 1） （ 2） ，过切点 M的切线 即 ，令 得 ，故切线 与 AB交于点 ； 令 ，得 ，又 在 递减，所以 故切线 与 OC交于点 。 地块 OABC在切线 右上部分区域为直角梯形， 面积 ，等号 ， 。 考点
23、：本题主要考查函数模型，导数的几何意义，导数的应用，均值定理的应用。 点评：中档题，注意仔细审题。运用导数的几何意义，求切线方程属于简单题，解题的关键是建立面积的表达式后，通过构造，创造了应用均值定理的条件，“一正、二定、三相等 ”。 (本小题满分 14分 ) 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， 为 的中点 求证：（ 1） 平面 ； （ 2） 平面 答案：证明：（ 1）取 中点 ，连结 ， ，利用三角形中位线定理 且 = 推出 进一步证出 平面 . （ 2）先推证 平面 得出 由 ， 为 的中点，得到从而 平面 . 试题分析：证明：（ 1）取 中点 ，连结 ， ， 为 中点， 且 = 且
24、 ， 且 = 四边形 为平行四边形 平面 ， 平面 ， 平面 . （ 2） ， ， ， 平面 平面 ， ， 为 的中点， ， 平面 . 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中，往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。适当添加辅助线是关键。 （本小题满分 14分） 在 中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且（ 1）求角 C的大小； （ 2）求 的最大值 答案：（ 1） A B ， C （ 2） A 时， 取最大值 2 试题分析：（ 1） sinA cosA 2s
25、inB即 2sin(A ) 2sinB，则 sin(A ) sinB 因为 0 A， B p，又 ab进而 AB， 所以 A p-B，故 A B ， C （ 2）由正弦定理及（ ）得 sinA sin(A ) sinA cosA 2sin(A ) 当 A 时， 取最大值 2 考点：本题主要考查三角函数恒等变换，正弦定理的应用。 点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，往往需要将函数 “化一 ”。本题由正弦定理建立了 的表达式，通过 “化一 ”，利用三角函数性质，求得最大值。 已知集合 ，其中 ， 表示 的所有不同值的个数 （ 1）已知集合 ， ，分别求 ， ； （ 2）求 的最小值 答案：（
26、 1） l(P) 5 ， l(Q) 6 （ 2）对这样的集合 A， l(A) 2n-3，所以 l(A)的最小值为 2n-3 试题分析：（ 1）由 2 4 6， 2 6 8， 2 8 10， 4 6 10， 4 8 12， 68 14， 得 l(P) 5 由 2 4 6， 2 8 10， 2 16 18， 4 8 12， 4 16 20， 8 16 24， 得 l(Q) 6 （ 2）不妨设 a1 a2 a3 an，可得 a1 a2 a1 a3 a1 an a2 an a3 an an-1 an， 故 ai aj (1i jn)中至少有 2n-3个不同的数，即 l(A)2n-3 事实上，设 a1， a2， a3， ， an成等差数列，考虑 ai aj (1i jn)，根据等差数列的性质，当 i jn时， ai aj a1 ai j-1；当 i j n时， ai aj ai j-n an； 因此每个和 ai aj(1i jn)等于 a1 ak(2kn)中的一个，或者等于 al an(2ln-1)中的一个故对这样的集合 A， l(A) 2n-3，所以 l(A)的最小值为 2n-3 考点：本题主要考查集合的意义，等差数列的性质。 点评：新定义问题，利用新定义 集合确定 ， 属于简单问题。而求 的最小值的方法，则具有一定难度，特别是假设 “排序 ”难以想到，这是解决问题的关键所在。
