1、2013届江苏省泰州中学高三上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 ，若 ，则实数 a= 答案： 试题分析：因为 ，所以 。 考点：集合的运算。直接考查集合的运算，属于基础题型。 点评： 已知定义在 上的函数 满足 ， ，则不等式的解集为 _ . 答案： 试题分析：令 ，因为 ，所以当 x0时， ，又所以 ，所以不等式 的解集为 。 考点：函数性质的综合应用；利用导数研究函数的单调性；抽象不等式的解法。 点评：此题是个中档题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用函数的单调性解决实际问题的能力做本题的关键是构造函数 。 数列 中 , ，则数列 的前 项的和为 . 答案： 试
2、题分析：因为 ，所以 ，所以数列 是首项为 2，公差为 1的等差数列， 所以 ， 所以 。 考点：数列的综合应用；数列通项公式的求法；数列前 n项和的求法。 点评：此题主要考查数列通项公式的求法（取倒数）和数列前 n项和的求法（裂项法）。常见的裂项公式： ， ， ， 。 已知点 O为 ABC的外心，且 ， ，则 的值等于 答案： 试题分析：过 O作 OE AC于 E，作 OF AB于 F 因为点 O为 ABC的外心，所以 E、 F分别为 AC、 AB的中点 因此， cos OAB 因为 Rt AOF中， cos OAB= ，所以 ， 同理可得 ， 所以 。 考点：平面向量数量积的运算。 点评：
3、本题给出三角形 ABC的外心为 O，在已知 AB、 AC长的情况下求的值，着重考查了三角形外心的性质和平面向量数量积的运算等知识，属于中档题 给出下列命题： 存在实数 ，使得 ； 函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象； 函数 是偶函数； 已知 是锐角三角形 ABC的两个内角，则 。 其中正确的命题的个数为 答案：个 试题分析： 因为 ，所以 的最大值为 ，又 ，所以存在实数 ，使得 ，所以此命题正确； 函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象，所以此命题错误； 函数 ，所以是偶函数； 已知 是锐角三角形 ABC的两个内角，所以 ，所以此命题正确。 考点：三角函数的最值；三角函数图像的变
4、换；诱导公式；三角函数的奇偶性； 点评：此题考查的知识点较多，这就要求我们要熟练掌握每一个知识点。左右平移变换的原则是 “左加右减 ”，但 x前的系数不为 1时，要 记得先提取系数再进行加减。 已知函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：因为 ，又函数 在区间上是增函数，所以 在 上恒成立， 所以 ， 所以实数 的取值范围是 。 考点：复合函数单调性的判断；对数函数的单调性；二次函数的性质。 点评：本题主要考查复合函数的单调性及二次函数的性质。把 “函数在区间 上是增函数 ”转化为 “ 在上恒成立 ”是解题的关键。 若向量 ，且 的夹角为钝角，则 的取值范围是 答
5、案： 试题分析：因为 的夹角为钝角，所以 ，所以 的取值范围是。 考点：平面向量的数量积；向量的夹角。 点评：此题是易错题。很多同学认为 “ 的夹角为钝角 ”，这种想法是错误的，忽略了夹角为平角的情况。实质上， 的夹角为钝角；同理， 的夹角为锐角 。 设数列 是首相大于零的等比数列 ,则 “ ”是 “数列 是递增数列 ”的 _条件 答案：充要 试题分析：因为数列 是首相大于零的等比数列 ,又 ，所以 ，所以数列 是递增数列；若有数列 是递增数列，则 ，所以 。 考点：等比数列的性质；递增数列。 点评：设数列 是等比数列 ,若 ，则数列 是单调递增数列；若，则数列 是单调递减数列；若 ，则数列
6、是单调摆动数列。 已知 f(x)是偶函数，它在 0， )上是 增函数，若 f(lgx) f(1)，则 x的取值范围是 答案： 试题分析：因为 f(x)是偶函数，且在 0， )上是 增函数，所以是减函数，所以由 f(lgx) f(1)，得： 。 考点：函数的奇偶性；函数的单调性；抽象函数的应用。 点评：（ 1）偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同。（ 2）本题利用数学结合的数学思想。 函数 的定义域为 A，若 ，则 的取值范围为 答案 ： ， 又由题意应有 p真 q假或 p假 q真 6分 若 p真 q假，则 ， a无解 若 p假 q真，则 ， a3或
7、 a . 6分 故 a的取值范围是 a| a3或 a 14分 考点：指数函数的单调性；二次方程根的分布问题；复合命题真假的判断。 点评： 本题主要考查一个一元二次方程根的分布问题在二次项系数不确定的情况下，一定要分二次项系数分为 0和不为 0两种情况讨论 设一元二次方程 （ ）的两个实根为 ， ，且 。 ， (两个正根 ) ； ， (两个负根 ) ； (一个正根一个负根 ) 。 设数列 、 满足 ， ， ， （ 1）证明： ， （ ）； （ 2）设 ，求数列 的通项公式； （ 3）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前项和为 ，求证： 答案：（ 1） ， 两式相乘得 ，为常数列， ； ； （ 2） ；（ 3）由 可以知道， 又 ，故 ， 所以 试题分析：（ 1） ， 两式相乘得 ，为常数列， ；（ 2分） ； （若 ，则 ，从而可得 为常数列与 矛盾）； 4分 （ 2） ， 又因为 ， 为等比数列， 8分 （ 3）由 可以知道， ， 令 ，数列 的前 项和为 ，很显然只要证明 ， 因为 ， 所以 所以 14分 又 ，故 ， 所以 16分 考点：数列与不等式的综合应用；数列通项公式的求法；数列前 n 项和的求法；数列的递推式。 点评：本题考查不等式的证明和数列的通项公式的求法，综合性强，难度大，是高考重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化
