1、2013届江西南昌 10所省重点中学高三第二次模拟冲刺理科数学试卷与答案（六）（带解析） 选择题 在复平面内，复数 （ 是虚数单位）所对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 试题分析：因为 = ，所以复数 （ 是虚数单位）所对应的点位于第二象限，选 B。 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的概念，复数的几何意义。 点评：简单题，高考必考题型，往往比较简单。先计算 z，在求其对应点所在象限。 如图，已知正方体 的棱长为 1，动点 P在此正方体的表面上运动，且，记点 P的轨迹的长度为 ，则函数的图像 可能是（ ） 答案： B 试题分析： P的轨迹为以
2、A为球心， PA为半径的球面与正方体的交线。所以在时，轨迹长度直线增加，而 时，轨迹长度由减小到增加，之后逐渐减小，故选 B。 考点：本题主要考查正方体、球的几何特征，轨迹的概念。 点评：中档题，解题的关键是认识到 P的轨迹为以 A为球心， PA为半径的球面与正方体的交线。 定性分析 “交线 ”的长度变化规律。 抛物线 的焦点为，点 在抛物线上，且 ，弦 中点 在准线上的射影为的最大值为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：设 AF=a， BF=b，由抛物线定义， 2MM=a+b 而余弦定理， = ， 再由 a+b2 ，得到 |AB| （ a+b） 所以的最大值为 ，故选 B。 考点
3、：本题主要考查抛物线的定义，余弦定理的应用，均值定理的应用。 点评：小综合题， 涉及焦点弦问题，一般要考虑应用抛物线的定义，涉及最值问题，可以在建立函数关系的基础上，应用导数、基本不等式等。数形结合思想的应用。 用 表示有限集合 的子集个数，定义在实数集 上的函数若 ，集合 ， 的值域为（ ) A B C D 答案： A 试题分析：由 ，集合 得， =1， 2， 3。由得， ,所以， 的值域为 ，选 A。 考点： 点评： 在平面直角 坐标系 中 ,圆 的方程为 ,若直线 上至少存在一点 ,使得以该点为圆心 ,1为半径的圆与圆 有公共点 ,则 的取值范围是（ ） A B 或 C D 或 答案：
4、A 试题分析：圆 的方程为 ,即 ，其圆心 C（ 4， 0），半径 r=1， 直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆 C有公共点， 只需圆 C：与 有公共点， 圆心（ 4， 0）到直线 y=kx-2的距离 d= 2， 解得， ，故选 A 考点：本题主要考查圆的方程，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式。 点评：中档题，圆的标准方程明确了圆心、半径，为进 一步解题提供了优利德条件，因此，涉及圆的问题，往往要转化成标准方程。本题解答关键在将问题转化成只需 圆 C：与 有公共点。 已知函数 ，则方程 所有根的和为 ( ) A 0 B C D 答案： C 试题分
5、析：在同一平面直角坐标系内，画出 的图象，经估计选C。 考点：主要考查函数零点的概念，函数的图象。 点评：简单题，利用数形结合法，通过画出两个函数的图象，根据交点横坐标，结合选项加以判断。 观察这列数： 1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4 ，则第 2013个数是（ ） A 403 B 404 C 405 D 406 答案： C 试题分析：将这列数 5个为一组进行分组可以发现，每一组第一个数依次为1,2,3,4， ，故 402组时，已出现 5402=2010个数，所以第 2013个数在第 403组中。第 403组数为 403,404,405,404,4
6、03。因此第 2013个数是 405，选 C。 考点：本题主要考查归纳推理。 点评：简单题，进行分组后规律更为明确，通过观察这列数的规律，写出第 2013个数。 “ ”是 “函数 与函数 的图像重合 ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：因为 时， = ，所以函数图象重合；反之，根据诱导公式可知，函数 与函数 的图像重合时，故 “ ”是 “函数 与函数 的图像重合 ”的充分而不必要条件，选 A。 考点：本题主要考查充要条件的概念，三角函数图象的变换。 点评：基础题，充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可
7、以和任何知识点相结合。 两个变量 x， y与其线性相关系数 r有下列说法 （ 1）若 r0，则 x增大时， y也相应增大； （ 2）若 r0时，说明 x， y正相关，所以 “（ 1）若 r0，则 x增大时， y也相应增大 ”正确； r0时，说明 x， y负相关，所以 “（ 2）若 r0，则 x增大时， y也相应增大 ”不正确； r 1或 r -1，说明 x与 y具有函数关系，所以 “（ 3）若 r 1或 r -1，则 x与 y的关系完全对应 ( 有函数关系 )，在散点图上各个散点均在一条直线上 .”正确，故选 C。 考点：本题主要考查两个变量 x， y与其线 性相关系数 r的概念及其关系。 点
8、评：简单题，关键是理解相应概念及关系。 设集合 , ，则 等于 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 = ， =x|x1，所以 = ，故选 C。 考点：本题主要考查集合的运算，简单一元二次不等式、指数不等式解法。 点评：简单题，欲求集合的交集、并集、补集等，首先需要明确集合中的元素。 填空题 （坐标系与参数方程选做题）化极坐标方程 为直角坐标方程为 . (不等式选择题）不等式 对任意 恒成立的实数的取值范围为 _ 答案： (1) ， (2) 试题分析：（ 1） 即，所以 或 =0，化为直角坐标方程为 。 （ 2）为使不等式 对任意 恒成立，只需，由绝对值的几何意义， =6+3=9
9、，故实数的取值范围为 。 考点：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，绝对值不等式的性质。 点评：中档题，（ 2）是恒成立问题，这类题目的一般解法是转化成求函数的最值问题。 在 ABC中， ，则 _。 答案： 试题分析： 即 1-cosA= sinA，所以 ，所以 A= 。又， 所以 sinBcosC=3cosBsinC 由正弦定理和余弦定理得 ，所以 , 即，解得， = ，故 = 。 考点：本题主要考查三角函数和差倍半公式，正弦定理、余弦定理的应用。 点评：中档题，本题综合性较强，综合考查三角函数和差倍半公式，正 弦定理、余弦定理的应用。特别是应用函数方程思想，整体解出 。 经过原点 做函数 的
10、切线，则切线方程为 。 答案： . 试题分析：经过原点 做函数 的切线，应包括两种情况，即原点为切点、不为切点。当原点 为切点是会，易得切线方程为 y=0； 当原点不为切点时，设切点为（ a， b）（ ） ,则由 得，切点为（ ， ），所以曲线方程为 ，综上知所求切线方程为。 考点：本题主要考查导数的几何意义，直线方程的点斜式。 点评：中档题，本题易错，经过原点的切线应包括两种情况，即原点为切点、不为切点。 若多面体的三视图如图所示，此多面体的体积是 。答案： . 试题分析：该几何体是如图所示的拟柱体，经割补后可得到一长方体，底面正方形边长为 2，高为 1，所以几何体体积为 4. 考点：本题主
11、要考查三视图，几何体特征，几何体体积计算。 点评：基础题，认识几何体的特征是解答此类题的关键。 “割补法 ”是计算体积的常用方法，往往会化难为易。 为了 “城市品位、方便出行、促进发展 ”，南昌市拟修建穿江隧道，市某部门问卷调查了 n个 市民 ,其中赞成修建穿江隧道的市民占 80，在赞成修建穿江隧道的市民中又 按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在 岁的有 400人，岁的有 m人，则 n= , m= 答案：， 1120 试题分析：由图知，； 。故答案：为 4000， 1120 考点：本题主要考查频率分布直方图。 点评：简单题，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于 1频率、频
12、数的关系：频率 =频数 数据总和。 解答题 已知向量 （ 1）求 的增区间； （ 2）已知 ABC内接于半径为 6的圆，内角 A、 B、 C的对边分别 为 ，若 ,求边长 答案：（ 1) （ 2） 。 试题分析：（ 1) 3分 （ 2）由 可得 8分 由 10分 12分 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，正弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质。 点评：中档题， 本题综合性较强，关键是准确进行向量的坐标运算，并运用三角公式对三角函数式进行化简，这是这类题目的一般解答思路。 已知数列 的前 项和为 （ 1）求证：数列 是等比数列； （ 2）设数列 的前 项和为 ,求 。
13、答案：（ 1）证明： 得 当 2时，根据， 整理得 （ 2），证得数列 是首项及公比均为 的等比数列。 （ 2） 试题分析：（ 1）证明： 得 当 2时，由 得 ， 于是 ， 整理得 （ 2）， 所以数列 是首项及公比均为 的等比数列。 6分 （ 2）由（ 1）得 。 于是 ， 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的的基础知识， “裂项相消法 ”求和。 点评：中档题，本题具有较强的综合性，本解答从确定通项公式入手，认识到数列的特征，利用 “裂项相消法 ”达到求和目的。 “分组求和法 ”“裂项相消法 ”“错位相减法 ”是高考常常考到数列求和方法。 如图，在四边形 中， ， ，点 为线段上的一点
14、.现将 沿线段 翻折到 （点与点 重合），使得平面 平面 ，连接 ， . ( )证明： 平面 ； ( )若 ，且点 为线段的中点，求二面角 的大小 . 答案： ( )连接 ， 交于点 ,在四边形 中， 证得 ，推出 ,从而 ，得到 平面 。 ( )二面角 的大小为 . 试题分析： ( )连接 ， 交于点 ,在四边形 中， ， ， , 又 平面 平面 ，且平面 平面 = 平面 6分 ( )如图，以 为原点，直线 ， 分别为 轴， 轴，平面 内过 且垂直于直线 的直线为 轴建立空间直角坐标系，可设点 又 ， ， ， ，且由 ， 有 ，解得 ， 分 则有 ，设平面 的法向量为 ， 由 ，即 ，故可取
15、 分 又易取得平面 的法向量为 ，并设二面角 的大小为 ， ， 二面角 的大小为 . 分 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关 系、角、距离的计算。证明过程中，往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了繁琐的证明过程，实现了 “以算代证 ”，对计算能力要求较高。 某校高三年级组为了缓解学生的学习压力，举办元宵猜灯谜活动。规定每人最多猜 3道，在 A区猜对一道灯谜获 3元奖品；在 B区猜对一道灯谜获 2元奖品，如果前两次猜题后所获奖品总额超过
16、 3元即停止猜题，否则猜第三道题。假设某同学猜对 A区的任意一道灯谜的概率为 0.25，猜对 B区的任意一道灯谜的概率为 0.8，用 表示该同学猜灯谜结束后所得奖品的总金额。 (1)若该同学选择先在 A区猜一题，以后都在 B区猜题，求随机变量 的数学期望 ; (2)试比较该同学选择都在 B区猜题所获奖品总额超过 3元与选择（ 1）中方式所获奖品总额超过 3元的概率的大小。 答案： (1）随机变量 的分布列为 0 2 3 4 5 P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 （ 2）选择（ 1）中方式所获奖品总额超过 3元的概率 所以该同学选择都在 B区猜题所获奖品总额超过 3元比选择（
17、 1）中方式所获奖品总额超过 3元的概率要大。 试题分析： (1）随机变量 的分布列为 0 2 3 4 5 P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 （ 2）该同学选择都在 B区猜题所获奖品总额超过 3元的概率 选择（ 1）中方式所获奖品总额超过 3元的概率 所以该同学选择都在 B区猜题所获奖品总额超过 3元比选择（ 1）中方式所获奖品总额超过 3元的概率要大。 考点：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望。 点评：典型题，这种类型是近几年高考题中经常出现 的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题的计算能力要求较高。作为应用题，难度表示太大，理解题意
18、是关键。 如图，直角坐标系 中，一直角三角形 ， ， B、 D在 轴上且关于原点 对称， 在边 上， BD=3DC， ABC的周长为 12若一双曲线 以 B、 C为焦点，且经过 A、 D两点 求双曲线 的方程； 若一过点 （ 为非零常数）的直线 与双曲线 相交于不同于双曲线顶点的两点、 ，且，问在 轴上是否存在定点 ，使 ？若存在，求出所有这样定点 的坐标；若不存在，请说明理由 答案： (1) (2)在 轴上存在定点 ，使 试题分析： (1) 设双曲线 的方程为 ，则 由 ，得 ，即 3分 解之得 ， 双曲线 的方程为 5分 (2) 设在 轴上存在定点 ，使 设直线 的方程为 ， 由，得 即
19、6分 ， ， 即 8分 把 代入 ，得 9分 把 代入 并整理得 其中 且 ，即 且 10分 代入 ，得 ，化简得 当 时，上式恒成立 因此，在 轴上存在定点 ，使 13分 考点：本题主要考查双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，平面向量的坐标运算。 点评：难题，曲线关系 问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（ 1）求双曲线方程时，应用了双曲线的定义及其几何性质，难度不大，较为典型。（ 2）则在应用韦达定理的基础上，通过平面向量的坐标运算，达到证明目的。 已知函数 （其中为常数） . ( )当 时，求函数的单调区间； ( ) 当 时，设函数 的 3个极值点为 ，且 .
20、 证明： . 答案： ( )单调减区间为 , ;增区间为 . ( )利用导数研究得到 ，所以 ， 当 时， ， ， 函数 的递增区间有 和 ，递减区间有 ， ， ， 此时，函数 有 3个极值点，且 ； 当 时， 通过构造函数 ，证得当 时， . 试题分析： ( ) 令 可得 .列表如下 : - - 0 + 减 减 极小值 增 单调减区间为 , ;增区间为 . 5分 ( )由题， 对于函数 ，有 函数 在上单调递减，在 上单调递增 函数 有 3个极值点， 从而 ，所以 ， 当 时， ， ， 函数 的递增区间有 和 ，递减区间有 ， ， ， 此时，函数 有 3个极值点，且 ； 当 时， 是函数 的两个零点， 9分 即有 ，消去有 令 ，
