1、2013届江西南昌高三第二次模拟突破冲刺理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ， ，那么集合A B C D 答案： A 试题分析： ， 考点：集合的交并补运算 点评：集合的交集运算即由两集合的相同的元素构成的集合，求交并补运算常借助于数轴 已知方程 在 有两个不同的解 （ ），则下面结论正确的是： A B C D 答案： C 试题分析：设 ， ， 有两个交点 只有当第二个交点与 的正半轴第二个波峰一段曲线相切才只有两个交点，否则肯定大于或小于两个交点。于是： ，是 的切线， ，设切点 则，有 考点：直线和曲线相切及数形结合法 点评：本题首先要结合函数图像找到两个不同的解 的位
2、置，再结合导数的几何意义从切点入手可得结论，本题有一定的难度 已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆以 为焦点且经过点 ，记椭圆 的离心率为 ，则函数 的大致图像是（ ）答案： A 试题分析：作点 A关于直线 的对称点 C，由椭圆定义可知，结合图形可知 有最小值 （ 共线 ） ,此时离心率有最 大值，当 P离 B,C越远时，离心率越小 考点：椭圆定义离心率及数形结合法 点评：椭圆定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和等于定值 ；本题主要通过数形结合法利用椭圆定义可得到 的最小值 已知函数 是等差数列， 的值 A恒为正数 B恒为负数 C恒为 O D可正可负 答案： A 试题分析： 恒成立，函数
3、 在 R上是增函数， 又函数 是奇函数，图像关于原点对称，结合图像可知 所以 恒为正数 考点：函数性质及等差数列的考查 点评：本题的两个关键点：结合函数单调性奇偶性得到 ，结合函数图象等差数列性质得到 如图，一条河的两岸平行，河的宽度 m，一艘客船从码头 出发匀速驶往河对岸的码头 . 已知 km，水流速度为 km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为 分钟，则客船在静水中的速度大小为 A km/h B km/h C km/h D km/h 答案： B 试题分析：河宽 0.6km, km，船航行的和速度为 ，和速度在垂直河岸的方向上的分速度为 ,沿河岸方向的分速度为,因为水速为 2所以船在静水中
4、的速度 考点：解三角形的应用题 点评：正确理解本题中船的航行方向即速度方向是前提条件，然后将速 度分解到河流方向与垂直河岸方向，因此就能得到静水中沿河流方向与垂直河流方向的分速度各为多少，从而求得静水中的航速，学生对本题的题意理解有一定困难 函数 是 A奇函数且在 上单调递增 B奇函数且在 上单调递增 C偶函数且在 上单调递增 D偶函数且在 上单调递增 答案： C 试题分析： 当 时 ，函数是增函数，当 时函数是减函数，是偶函数，所以 y函数也是偶函数 考点：三角函数奇偶性单调性 点评：对于函数 ，若有 则函数是偶函数，若有则函数是奇函数， 求减区间只需令，进而求得 x的取值范围 某空间几何体
5、的三视图及尺寸如图 1，则该几何体的体积是 A B CD 答案： A 试题分析：由三视图可知该几何体是三棱柱，其中两底面在左右两侧，底面是直角三角形，边长为 1,2棱柱的高为 2，所以体积为 2 考点：三视图及几何体体积计算 点评：本题先由三视图得到几何体的特征，还原几何体形状，代入相应体积公式计算 “ ”是 “方程 表示焦点在 y轴上的椭圆 ”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：方程 化为 ，当 时有 ，所以焦点在 轴上，当 焦点在 y轴上时有 考点：充分条件与必要条件 点评：若命题 成立在，则 是 的充分条件， 是 的必要条
6、件 直线 截圆 所得劣弧所对的圆心角是 A B C D 答案： D 试题分析：圆心 到直线的距离为 ，所以弦长 ，弦长与半径围成三边长度为 的三角形，所以劣弧所对的圆心角为 考点：直线与圆相交问题 点评：直线与圆相交时，弦长的一半，圆心到直线的距离及圆的半径构成直角三角形 设 为实数，若复数 ，则 A B C D 答案： D 试题分析：考点：复数运算 点评：复数运算中常用 填空题 （ 2）（不等式选做题）不等式 的解集是 . 答案： 试题分析：不等式 中 ，两边平方得 ，不等式的解为 考点：解绝对值不等式 点评：绝对值不等式首要的是去掉绝对值符号，通常分情况讨论绝对值符号内的正负 （ 1）（坐
7、标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点 ，点 在直线 上运动，当线段 最短时，点 的极坐标为 答案： 试题分析：定点 的直角坐标为 ，直线 方程化为 ，当线段 最短时， 与直线垂直，此时 极坐标考点：极坐标方程 点评：极坐标方程与直角坐标方程的互化：极坐标 对应的直角坐标满足 函数 的定义域为 D，若对任意的 、 ，当 时，都有，则称函数 在 D上为 “非减函数 ”设函数 在 上为“非减函数 ”，且满足以下三个条件：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）,则 、 答案： 试题分析： 中令 时得 ， 结合函数单调性得 考点：信息给予题 点评：求解本题的关键是根据已知中的三个条件正确的对 x赋值代入计
8、算，本题技巧性较强 已知函数 ，则函数 图像与直线 围成的封闭图形的面积是 _。 答案： 试题分析：函数 图像与直线 围成的图形分布在第一第三象限，在第一象限的部分面积 ，在第三象限的部分面积所以面积和 考点：定积分求曲边型面积 点评：利用定积分的几何意义：当函数 图像在 x轴上方，则定积分的值等于直线 轴与函数 曲线围成的曲边形的面积 若二项式 的展开式中，第 4项与第 7项的二项式系数相等，则展开式中 的系数为 (用数字作答 ) 答案： 试题分析：由题意可知 展开式的通项，令 系数为 9 考点：二项式定理 点评：二项式定理中 展开式的通项 应用广泛，可求出展开式中的任意一项 运行如图所示的
9、程序框图，若输入 ，则输出 的值为 . 答案： 试题分析：程序执行过程中数据的变化如下： 考点：程序框图 点评：程序框图题关键是找准循环体执行的次数 解答题 在 中， 分别是角 的对边， ， . （ 1）求 的值； （ 2）若 ，求边 的长 . 答案：（ 1） （ 2） 5 试题分析：（ 1） ， ， . ， ， . （ 2） ， ；又由正弦定理 ，得 ，解得 ， ， ， ， 即边 的长为 5. 考点：解三角形及三角函数公式 点评：三角函数公式属于基本知识点，需要识记准确；解三角形主要应用余弦定理正弦定理 如图，在梯形 ABCD中， AB/CD， AD=DC-=CB=1， ABC=60。，四边
10、形 ACFE为矩形，平面 ACFE上平面 ABCD， CF=1 （ 1）求证： BC 平面 ACFE； （ 2）若 M 为线段 EF 的中点，设平面 MAB 与平面 FCB 所成角为 ，求 答案：（ 1）在梯形 中平面 平面 平面 （ 2） 试题分析：（ 1）证明：在梯形 中， ， ， ， 平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 平面 。 （ 2）由（ 1）可建立分别以直线 为 轴， 轴， 轴的空间直角坐标系，则 ， 设 是平面 的一个法向量， 由 ，得 ，取 ，得 ， 是平面 的一个法向量， 考点：空间线面垂直的判定及二面角大小 点评：利用空间向量的方法求解立体几何问题时思路简单，主要步骤：建立
11、空间坐标系，找到相关点的坐标及向量，代入相应的公式计算即可 在平面 内，不等式 确定的平面区域为 ，不等式组确定的平面区域为 . （ 1）定义横、纵坐标为整数的点为 “整点 ”. 在区域 中任取 3个 “整点 ”，求这些 “整点 ”中恰好有 2个 “整点 ”落在区域 中的概率； （ 2）在区域 中每次任取一个点，连续取 3次，得到 3个点，记这 3个点落在区域 中的个数为 ，求 的分布列和数学期望 答案：（ 1） （ 2） 的分布列为 0 1 2 3 的数学期望： . 试题分析：（ 1）依题可知平面区域 的整点为：共有 13个，上述整点在平面区域 内的为： 共有 3个， . （ 2）依题可得，
12、平面区域 的面积为 ，设扇形区域中心角为 ，则得 ，平面区域 与平面区域 相交部分的面积为. 在区域 任取 1 个点，则该点在区域 的概率为 ，随机变量 的可能取值为：. ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 的数学期望： . 考点：古典概型概率及分布列期望 点评：古典概型概率的求解先要找到所有基本事件总数及满足题意要求的基本事件种数，然后求其比值；分布列的题目要根据题目所描述的问题找到随机变量可取的值，再依次求出各值对应的概率列表即可 已知数列 满足： （其中常数） （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）当 时，数列 中是否存在不同的三项组成一个等比数列；若存在，求出满足条件的三项，若
13、不存在，说明理由。 答案：（ 1） （ 2）不存在这样的三项使其组成等比数列 试题分析：（ 1）当 时， ， 当 时，因为 所以： 两式相减得到： ，即 ，又 ， 所以数列 的通项公式是 ； （ 2）当 时， ，假设存在 成等比数列， 则 整理得 由奇偶性知 r t-2s 0 所以 ，即 ，这与 矛盾， 故不存在这样的正整数 ，使得 成等比数列 考点：数列求通项及等比数列 点评：第一小题是由数列的前 n项和求通项，需注意分 两种情况讨论，第二小题探索性题目，先假设满足题意要求的项存在，看是否能推得矛盾，若无矛盾则假设成 立，反之假设不成立 已知椭圆 ： ( )过点 ，其左、右焦点分别为，且 .
14、 (1)求椭圆 的方程； (2)若 是直线 上的两个动点，且 ，则以 为直径的圆是否过定点？请说明理由 答案： (1) (2) 圆必过定点 和 试题分析：（ 1）设点 的坐标分别为 ，则，故 ，可得， 所以 ， ， ，所以椭圆 的方程为 （ 2）设 的坐标分别为 ，则 ， . 由，可得 ，即 ， 又圆 的圆心为 半径为 ，故圆 的方程为，即 ，也就是，令 ，可得 或 ， 故圆 必过定点 和 考点：椭圆与圆的方程及性质 点评：第一小题利用向量的坐标运算及椭圆定义可求得方程；第二小题判定曲线是否过定点只需看曲线方程中能否转化出与参数无关的关系式 对于定义在实数集 上的两个函数 ，若存在一次函数使得
15、，对任意的 ，都有 ，则把函数 的图像叫函数的 “分界线 ”。现已知 （ ， 为自然对数的底数）， （ 1）求 的递增区间； （ 2）当 时，函数 是否存在过点 的 “分界线 ”？若存在，求出函数 的式，若不存在，请说明理由。 答案：（ 1）若 递增区间为 ，若 递增区间为，若 ，则递增区间为 若 递增区间为（ 2）存在函数 的图像是函数 过点的 “分界线 ”。 试题分析：（ 1） ， 由 得 若 ，则 ，此时 的递增区间为 ； 若 ，则 或 ，此时 的递增区间为 ； 若 ，则 的递增区间为 ； 若 ，则 或 ，此时 的递增区间为 。 （ 2）当 时， ，假设存在实数 ，使不等式对 恒成立， 由 得到 对 恒成立， 则 ，得 ， 下面证明 对 恒成立。 设 ， ， ， 且 时， ， ， 时， ， 所以 ，即 对 恒成立。 综上，存在函数 的图像是函数 过点 的 “分界线 ”。 考点：函数单调区间及不等式恒成立 点评：第一小题求单调区间针对于不同的 值对应不同的极值点，因此需对值分情况讨论以求单调性；第二问在正确理解给定信息的基础上将问题转化为不等式恒成立问题，进而转化为函数最值，可利用导数这一工具求解
