1、2013届江西省景德镇市高三下学期第三次（期中）质检理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 ， ，则有（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，由于 = x|x1，=y| ,那么可知 =M，成立，对于 ,故选 B. 考点：集合的运算 点评：主要是考查了集合的并集和交集的运算，属于基础题。 如图，线段 AB=8，点 C 在线段 AB上，且 AC=2， P 为线段 CB上一动点，点 A绕着 C旋转后与点 B绕点 P旋转后重合于点 D，设 CP=x， CPD的面积为 f（ x）求 f（ x）的最大值（ ） A B 2 C 3 D 答案： A 试题分析：利用三角形的构成条件，建立不等式
2、，可求 x的取值范围；三角形的周长是一个定值 8，故其面积可用海伦公式表示出来，再利用基本不等式，即可求 f（ x）的最大值解：（ 1）由题意， DC=2， CP=x， DP=6-x，根据三角形的构成条件可得 x+6-x 2, 2+6-x x, 2+x 6-x，解得 2 x 4；三角形的周长是一个定值 8，故其面积可用海伦公式表示出来，即 f（ x） =当且仅当 4-x=-2+x，即 x=3时， f（ x）的最大值为 ,故选 A. 考点：函数类型 点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，本题中求函数式用到了海伦公式， 设 ， 是双曲线 的左右两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点 ，使 （ 为原
3、点）且 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：解： ， ， =0， OP=OF2=c=OF1， PF1 PF2， Rt PF1F2中， ， PF1F2=30由双曲线的定义得 PF1PF2=2a， PF2=， sin30= = = = ， 2a=c（ 1）， = +1， 故选 C 考点：双曲线的定义和双曲线的性质 点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中，判断 PF1F2是直角三角形是解题的关键 定义在 上的函数 ，满足 ， ，若且 ，则有（ ） A B C D不能确定 答案： A 试题分析：根据 确定函数的单调性，根据 f（ 1-x） =f（ x），
4、可得 f（ x）关于 x= 对称，进一步分类讨论 x1与在 x2的位置关系，即可得到 f（ x1） 时， f（ x） 0，函数单调增， x 时， f（ x） 0，函数单调减，故可知函数 f(1-x)=f(x)，可知函数在 x1在对称轴 x= 的右边或在对称轴上，由 x1 x2，易得 f（ x1） f（ x2）； x1在对称轴 x= 的左边，由 x1+x2 3易得 x2 ， x2在对称轴 x=的右边因为 |x2- - x1，即 |x2- | | -x1|， f（ x1） f（ x2）综合可得：f（ x1） f（ x2）故选 A 考点：函数的单调性 点评：本题考查函数的单调性，考查函数的对称性，正
5、确运用函数的单调性与对称性是关键 公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 是 与 的等比中项，且 ，则 =（ ） A 80 B 160 C 320 D 640 答案： C 试题分析：公差不为零的等差数列 an中，由 a4是 a3与 a7的等比中项， S10=60，利用等差数列的通项公式和前 n项和公式列方程组解得首项与公差，由此能求出 S20. 解： a4是 a3与 a7的等比中项， S10=60， (a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d) 10a1+45 d=60, 公差不为零， 解得 a1=-3， d=2， S20=20a1+ d=20（ -3）+1902=320故选 C 考点：等
6、差数列的前 n项和的公式 点评：本题考查学生灵活运用等差数列的前 n项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，考查学生的计算能力，属于中档题 函数 的值域为（ ） A -2 ,2 B - , C -1,1 D - , 答案： B 试题分析：根据题意，由于 =故可知正弦函数的值域为 -1,1，那么可知 的值域为 - , ，选 B 考点：三角函数的性质 点评：主要是考查了三角函数的性质运用，属于基础题。 设 是直线， ， 是两个不同的平面 ,下列命题正确的是（ ） A若 ， ，则 B若 ， ，则 C若 ， ，则 D若 , ，则 答案： B 试题分析：对于选项 A若 l ， l ，则平面 ， 可能相交
7、，此时交线与 l平行，故 A错误； 对于 B,若 ， ，则 ,则在平面 内有一条直线垂直平面 ，则根据面面垂直的判定定理得到成立，对于 C,由于 ， ，则 ，可能是平行，不能垂直。错误，对于 D，由于 , ，则 ，还可能斜交，故错误，选 B. 考点：空间中线面的位置关系 点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键 甲、乙两名运动员在某项测试中的 6次成绩的茎叶图如图所示， ， 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数， 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ） A B
8、C D 答案： D 试题分析：根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小 . 解：由茎叶图可看出甲的平均数是 乙的平均数是 两组数据的平均数相等甲的方差是乙的方差为 甲的标准差小于乙的标准差，故选 D 考点：数据的平均数和方差 点评：本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定 一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为 ( ) A长方形 B直角三角形 C圆 D椭圆 答案： C 试题分析：本题给出了主视图与左
9、视图，由所给的数据知凭据三视图的作法规则，来判断俯视图的形状，由于主视图中的长与左视图中的长不一致，抓住此特征即是判断俯视图形状的关键，由此标准对 项依次判断即可解：对于 A，俯视图是长方形是可能的，比如此几何体为一个长方体时，满足题意；对于 D，如果此几何体是一个椭圆柱，满足正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图可能是椭圆；对于 C，由于主视图中的长与左视图中的长不一致，故俯视图不可能是圆形；对于 B，如果此几何体是一个三棱柱，满足正视图中的长与左视图中的长不一致，故俯 视图可能是直角三角形， ,故选 C 考点：三视图 点评：本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三
10、个视图的能力，三视图的投影规则是： “主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等 ”三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视 关于复数的命题： （ 1）复数 ；（ 2）复数 的模为 ； （ 3）在复平面内 ,纯虚数与 轴上的点一一对应，其中真命题的个数是（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： B 试题分析：对于（ 1）复数 不能比较大小 ，错误；对于（ 2）复数的模为 ；成立。对于（ 3）在复平面内 ,纯虚数与 轴上的点一一对应，除去原点，故错误，故真命题的个数为 1,选 B. 考点：复数的基本概念 点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形
11、式的混合运算，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题 填空题 （ 1）设点 的极坐标为 ，直线 过点 且与极轴垂直，则直线的极坐标方程为 （ 2）已知函数 ,若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：如图所示，设 B为直线 l上的任意一点，在 Rt 0BC中， cos=，据此即可求出直线 l的方程如图所示，设 B为直线 l上的任意一点，在Rt 0BC中， cos= ， cos=2，即为直线 l的极坐标方程 （ 2）根据题意，由于函数 ,若关于 的不等式的解集为 ，则可知： |2x+1|+|x+2|-m 恒成
12、立可知（ |2x+1|+|x+2|-m）的最小值大于等于 2即可，那么结合分段函数 最值可知 考点：极坐标方程，绝对值不等式 点评：本题考查了极坐标方程，把 与 放在一个直角三角形中是常用的方法考查绝对值不等式 的应用问题，题中涉及到分类讨论的思想，考查学生的灵活应用能力，属于中档题目 如图，将正 分割成 16个全等的小正三角形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于同一直线上的点放置的数（当数的个数不少于 3时）都分别依次成等差数列，若顶点 处的三个数互不相同且和为 1，则所有顶点的数之和 答案： 试题分析：根据等差中项法分别求解 n=2， 3， 4时的值，由此归纳出 f（ n）的值即可解：
13、由题意可得，（各点放的数用该点的坐标表示）当 n=2时，根据等差数列的性质可得， A+B=2D， A+C=2E， B+C=2F，且 A+B+C=1， 2（ D+E+F） =2（ A+B+C） =2， D+E+F=1， f（ 2） =2= ，当 n=3时，根据等差数列的性质可得， A+B=D+E， A+C=I+H， B+C=F+G，且 A+B+C=1，从而可得 D+E+H+I+F+F=2（ A+B+C） =2，同样根据等差中项可得， M的数为 ，所以 ，依次可知结论为 ，那么可知顶点处的三个数互不相同且和为 1，则 n=5时，所有顶点的数之和 5，故答案：为 5. 考点：数列的通项公式 点评：本
14、题目主要考查了数列的通项公式的求解在实际问题中的应用，解题的关键是灵活利用等差中项，进行求解考查了考试发现问题、解决问题的能力 在二项式 的展开式中，含 的项的系数是 答案： 试题分析：根据题意，由于二项式 的展开式中，当 10-3r=4，可知 r=2，故可知对应的含 的项的系数是 10，故答案：为 10. 考点：二项式定理 点评：主要是考查了二项式定理的展开式的通项公式的运用，属于基础题。 下列程序框图输出的结果 ，答案： .256. 试题分析：根据题意，由于 x=1,y=2,那么可知 z=2， x=2,y=2;接着得到 z=4，x=2,y=4; z=8， x=4,y=8; z=32， x=
15、8,y=32; z=256， x=32,y=256;此时终止循环得到， x=32,y=256.故答案：为 x=32,y=256 考点：循环结构的运用 点评：主要是考查了识别框图，理解循环结构的准确运用，属于基础题。 已知向量 则 的最大值为 答案： 试题分析：根据题意，由于向量 则可知 =，那么可知当取得最小值时，即可知当 =-1时，满足题意，最大值为 3，故可知答案：为 3. 考点：向量的数量积 点评：主要是考查了向量的数量积的运算，属于基础题。 解答题 已知 的内角 所对边分别为 ，且 . （ 1）求角 的大小； （ 2）若 ，求边长 的最小值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（
16、1） ， 6分 （ 2） 边长 的最小值为 12分 考点：解三角形 点评：主要是考查了余弦定理和正弦定理的运用，属于基础题。 已知直角梯形 中， ， ， ，是等边三角形，平面 平面 . （ 1）求二面角 的余弦值； （ 2）求 到平面 的距离 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ 1）过 作 ，垂足为 ，则 ，过 作交 于 ，交 于 为等腰直角三角形， ， ， 6分 （ 2） ， ， 12分 考点：空间中的角和距离的求解 点评：主要是考查了运用向量法来求解空间中的角和距离的求解，属于中档题。 某医院将一专家门诊已诊的 1000例病人的病情及诊断所用时间（单位：分钟）进行了统计，如下表若视
17、频率为概率，请用有关知识解决下列问题 病症及代号 普通病症 复诊病症 常见病症 疑难病症 特殊病症 人数 100 300 200 300 100 每人就诊时间（单位：分钟） 3 4 5 6 7 用 表示某病人诊断所需时间，求 的数学期望 并以此估计专家一上午（按 3小时计算）可诊断多少病人； 某病人按序号排在第三号就诊，设他等待的时间为 ，求 ； 求专家诊断完三个病人恰好用了一刻钟的概率 答案：（ 1） 36，大约可诊断 36人 （ 2） 0.8（ 3） 0.182 试题分析：解：（ 1） ， ， ， ，专家一上午大约可诊断 36人 4分 （ 2） 8分 （ 3） 12分 考点：独立事件的概率
18、 点评：主要是考查了分布列的求解以及数学期望的运用，以及独立事件的概率的和互斥事件的概率公式的运用，属于中档题。 已知 是数列 的前 项和，且对任意 ，有 ， 求 的通项公式； 求数列 的前 项和 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ 1）当 时， 得 当 时 由 得 得 即 化为 数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， 6分 （ 2）由（ 1）得： 考点：等差数列和等比数列 点评：主要是考查了等差数列和等比数列的求和运用，属于基础题。 设 求 及 的单调区间 设 ， 两点连线的斜率为 ，问是否存在常数 ，且，当 时有 ，当 时有 ；若存在，求出，并证明之，若不存在说明理由 . 答案：（ 1） 在 上单调递增， 在 上单调递减 （ 2） = 为所求 试题分析：解 ;(1) ，当 时 当 时 在 上单调递增， 在 上单调递减 5分 （ 2） 设 在 上单调递减 令 解得 则当 时， 即 当 时， 即 8分 现在证明： 考察： 设 ，当 时， ， 递减 所以，当 时， ， 即 即 12分 再考察： 设 ，当 时， ， 递增 所以，当 时， ， 得 ，取 为所求 14分 考点：导数的运用 点评：主要是考查了函数单调性，以及函数最值的运用和不等式的证明，属于难度题。
