1、2013届江西省赣县中学高三三模考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 （ ） A B C 且 D 答案： C 试题分析：根据题意，由于集合 ，结合数轴法可知 且 ，选 C. 考点：交集 点评：主要是考查了集合的交集的运用，属于基础题。 已知圆柱 底面半径为 1，高为 ， 是圆柱的一个轴截面动点从点 出发沿着圆柱的侧面到达点 ，其距离最短时在侧面留下的曲线 如图所示 现将轴截面 绕着轴 逆时针旋转 后，边 与曲线 相交于点 ，设 的长度为 ，则 的图象大致为（ ） 答案： A 试题分析：根据题意，由于圆柱 底面半径为 1，高为 ， 是圆柱的一个轴截面动点 从点 出发沿着圆
2、柱的侧面到达点 ，其距离最短时在侧面留下的曲线，那么可知轴截面 绕着轴 逆时针旋转 后，随着角 的增大可知 BP 的变化时匀速增大的，因此选 A. 考点：圆柱的展开图 点评：主要是考查了圆柱体侧面展开图的运用，属于基础题。 设 F1、 F2是椭圆 E： 的左、右焦点， P为直线 上一点， F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E的离心率为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据题意，由于 F1、 F2是椭圆 E： 的左、右焦点， P为直线 上一点，那么结合 F2PF1是底角为 30的等腰三角形，F2F1=F2P=2c, ，故可知答案：为 C. 考点：椭圆的性质 点评：主要是考查了
3、椭圆的方程和性质的运用，属于基础题。 已知函数 的零点依次为 a， b， c，则（ ） A a b c B c b a C c a b D b a c 答案： A 试题分析：根据题意，由于函数，故可知 -1a0,对于 0,b1 对于 ，当 x=e函数值为零，故可知 a b c ，选 A. 考点：函数零点 点评：主要是考查了函数零点的求解，属于基础题。 二项式 的展开式的第二项的系数为 ，则 的值为（ ） A B C 或 D 或 答案： C 试题分析：根据题意，由于二项式 的展开式的第二项的系数为 ，则可知为 ，故可知，故可知结论为 或 ，选 C. 考点：二项式定理 点评：主要是考查了二项式定理
4、的展开式通项公式的运用，属于基础题。 以下命题 错误 的是 ( ) A命题 “ ”的否定是 “ ” B已知随机变量 服从正态分布 ，则 C函数 的一个零点落在 D函数 的最小正周期是 答案： D 试题分析：根据题意，由于 A.命题 “ ”的否定是“ ”成立，正确。对于 B.已知随机变量 服从正态分布， 则 保证概率和为 1，对称性的运用，成立。对于 C.函数 的一个零点落在 ，由于f(1)f(2)0，故可知成立，对于 D.函数 的最小正周期是 ，应该是 ，故选 D. 考点：命题的真假 点评：主要是考查了命题真假的判定，属于基础题。 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ( ) A 8- B
5、8- C 8-2 D答案： A 试题分析：根据题意，由于三视图可知原几何体式正方体中放置一个倒立的圆锥，高为 2，半径为 1，正方体的边长为 2，则可知所求的体积为 2 -，故答案：为 A. 考点：三视图 点评：主要是考查了三视图还原几何体的运用，并求解体积，属于基础题。 10张奖券中只有 3张有奖， 5个人购买，每人 1张，至少有 1人中奖的概率是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，由于 10张奖券中只有 3张有奖，那么 5个人购买，每人1张，所有的情况为 ，那么对于没有人中奖的情况为 ,那么可知没有人中奖的概率为 ： =1:12，而至少有 1人中奖的概率，根据对立事件
6、的概率可知结论为 1- = ，故答案：为 B. 考点：古典概型 点评：主要是考查了古典概型概率的求解，属于基础题。 如图给出的是计算 的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于框图计算的是 那么增加的分式中分母等差数列，公差为 2在递增，故可知 i的该变量为 2，因此可知 ，故选 D. 考点：程序框图 点评：主要是考查了程序框图中循环结构的运用，属于基础题。 是虚数单位，若集合 = ，则（ ） A BC D 答案： A 试题分析：根据虚数单位的运算规律可知， ， ， ，那么 ，故可知正确的答案：为 A. 考点：元素与集合的关系 点评：
7、主要是考查了元素与集合关系的运用，属于基础题。 填空题 (1)设曲线 的参数方程为 ，直线 的极坐标方程为 ，则曲线 上到直线 的距离为 2的点有 个 . (2)若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 . 答案：（ 1） 3 ；（ 2） 试题分析：（ 1）根据题意，由于设曲线 的参数方程为，可知表示圆心为（ 2， -1），半径为 3的圆，直线的极坐标方程为 ，表示的为 3x+4y+3=0,那么可知圆心到直线的距离 d= ，那么可知圆的半径为 3，那么可知曲线 上到直线 的距离为 2的点有 3个。 （ 2）由于不等式 恒成立，而 |x-3|+|x+5|，利用数形结合思想可知，满足很成立的参数 a
8、的范围是 考点：参数方程与极坐标，不等式 点评：主要是考查了参数方程与极坐标方程以及绝对值不等式的求解，属于中档题。 已知点 是单位圆 上的动点，满足 且 ， 则 答案： 试题分析：根据题意，由于点 是单位圆 上的动点，满足且 ，则 ，根据弦长和圆的半径以及半 弦长的勾股定理可知， = ，故答案：为 。 考点：向量的数量积 点评：主要是考查了向量的数量积的运用，属于基础题。 已知等比数列 中， ， ，若数列 满足 ，则数列 的前 项和 _ 答案： 试题分析：根据题意，由于等比数列 中， ， ，则可知公比为，那么可知等比数列 中， ， ，故可知 ，那么可知数列 的前 项和 1 = ，故可知答案：
9、为 。 考点：等比数列 点评：主要是考查了等比数列的通项公式以及数列的求和的运用，属于基础题。 已知点 满足约束条件 ，点 则 （ 为原点）的最小值是 _. 答案： 试题分析：根据题意，由于点 满足约束条件 ，围成了三角形区域，由于点 则 （ 为原点）的最小值即为目标函数z=2x+y的最小值，利用平移法来得到过点（ -2,2）时取得最小值 -2. 考点：线性规划 点评：主要是考查了线性规划的最优解的运用，属于基础题。 4个家庭到某景点旅游，该景点有 4条路线可供游览，其中恰有 1条路线没有被这 4个家庭中的任何 1个游览的情况有 种 答案： 试题分析：根据题意， 4个家庭到某景点旅游，该景点有
10、 4条路线可供游览，那么所有的情况有 ，但是因为恰有 1条路线没有被这 4个家庭中的任何 1个游览则有 4种可能性，其余的选择 3种，故可知 ，那么所有的情况为4 ，故共有 144种。 考点：排列组合 点评：主要是考查了计数原理的运用，以及分类加法计数原理的运用，属于基础题。 解答题 已知函数 （ 1）求函数 的最小值和最小正周期； （ 2）设 的内角 的对边分别为 且 ， ，若，求 的值。 答案：（ 1） 的最小值是 ，最小正周期是 （ 2） ， 试题分析：（ 1） ， 3分 则 的最小值是 ， 最小正周期是 ； 6分 （ 2） ，则 ， 7分 , ,所以 ， 所以 ， ， 9分 因为 ，所
11、以由正弦定理得 ， 10分 由余弦定理得 ，即 11分 由 解得： ， 12分 考点：三角恒等变换，解三角形 点评：主要是考查了三角恒等变换以及解三角形中两个定理的运用，属于基础题。 为了响应学校 “学科文化节 ”活动，数学组举办了一场数学知识比赛，共分为甲、乙两组其中甲组得满分的有 1个女生和 3个男生，乙组得满分的有 2个女生和 4个男生现从得满分的学生中，每组各任选 2个学生，作为数学组的活动代言人 （ 1）求选出的 4个学生中恰有 1个女生的概率；（ 2）设 为选出的 4个学生中女生的人数，求 的分布列和数学期望 答案：（ 1） 7:15 （ 2） 的分布列为 0 1 2 3 P 的数
12、学期望 试题分析：解：（ 1）设 “从甲组内选出的 2个同学均为男同学；从乙组内选出的 2个同学中， 1个是男同学， 1个为女同学 ”为事件 ， “从乙组内选出的 2个同学均为男同学；从甲组内选出的 2个同学中 1个是男同学， 1个为女同学 ”为事件 ，由于事件 互斥，且 选出的 4个同学中恰有 1个女生的概率为 5分 （ 2） 可能的取值为 0， 1， 2， 3， 的分布列为 0 1 2 3 P 10分 的数学期望 12分 考点：排列组合，分布列 点评：主要是考查了分布列的求解以及古典概型概率的计算，属于中档题。 如图，四棱锥 中，底面 为正方形， ， 平面 ， 为棱 的中点 （ 1）求证：
13、平面 平面 ； （ 2）求二面角 的余弦值 （ 3）求点 到平面 的距离 答案：（ 1）要证明面面垂直，根据 平面 ，所以 以及得到 平面 从而得到证明。 （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）证明：因为 平面 ，所以 2分 因为四边形 为正方形，所以 ， 所以 平面 所以平面 平面 4分 （ 2）解：在平面 内过 作直线 因为平面 平面 ，所以 平面 由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 设 ，则 所以 ， 设平面 的法向量为 ，则有 所以 取 ，得 易知平面 的法向量为 所以 由图可知二面角 的平面角是钝角， 所以二面角 的余弦值为 8分 （ 3）根据等体积法可知 到平面 的距离 ,
14、则可以利用 ,那么结合底面积和高可知 12分 考点：二面角和距离 点评：主要是考查了空间中的面面垂直的判定定理和二面角以及点到面的距离的求解，属于中档题。 数列 的前 n项和为 ， ， （ 1）设 ，证明：数列 是等比数列； （ 2）求数列 的前 项和 ； 答案： (1)根据题意，由于 ，那么可知递推关系式，进而得到证明。 (2) 试题分析： (1) 因为 ， 所以 当 时， ，则 ， 1分 当 时， ， 2分 所以 ，即 ， 所以 ，而 ， 4分 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 6分 （ 2）由 (1)得 所以 ， ， 8分 - 得： ， 10分 . 12分 考点：错位相减法
15、，等比数列 点评：主要是考查了递推关系式和数列求和的运用，属于基础题。 已知椭圆 ： 的右焦点 在圆 上，直线 交椭圆于 、 两点 . (1)求椭圆 的方程； (2)若 ( 为坐标原点 )，求 的值； (3)设点 关于 轴的对称点为 （ 与 不重合），且直线 与 轴交于点 ，试问 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 故 的面积存在最大值 . 试题分析：解 (1)由题设知，圆 的圆心坐标是 ，半径为 ， 故圆 与 轴交与两点 ， . 1分 所以，在椭圆中 或 ，又 ， 所以， 或 (舍去， ), 于是，椭圆 的方程为. 4分 (
16、2)设 ， ；直线 与椭圆 方程联立 , 化简并整理得 . ， , ， . 6分 ， ,即 得 ， ，即 为定值 . 8分 (3) ， , 直线 的方程为 令 ，则 , 解法一： 13分 当且仅当 即 时等号成立 . 故 的面积存在最大值 . (或 : , 令 ， 则 当且仅当 时等号成立，此时 故 的面积存在最大值. 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆位置关系的运用，属于中档题。 已知函数 ， ， 求函数 的单调区间； 记函数 ，当 时， 在 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围； 记函数 ，证明：存在一条过原点的直线 与 的图象有两个切点 答案
17、：（ 1）当 时， 为单调增区间，当 时， 为单调减区间， 为单调增区间 （ 2） （ 3）在第二问的基础上，根据函数的单调性以及导数的几何意义来证明。 试题分析：（ 1）因为 ， 若 ，则 ， 在 上为增函数， 2分 若 ，令，得 ， 当 时， ；当 时， 所以 为单调减区间， 为单调增区间 综上可得，当 时，为单调增区间， 当 时， 为单调减区间， 为单调增区间 4分 （ 2） 时， ， ， 5分 在 上有且只有一个极值点，即 在 上有且只有一个根且不为重根， 由 得 ， （ i） ， ，满足题意； 6 分 （ ii） 时， ，即 ； 7 分 （ iii） 时， ，得 ，故 ； 综上得： 在 上有且只有一个极值点时， 8 分注：本题也可分离变量求得 （ 3）证明：由（ 1）可知： （ i）若 ，则 ， 在 上为单调增函数， 所以直线 与 的图象不可能有两个切点，不合题意 9分 （ ）若 ， 在 处取得极值 若 ， 时，由图象知不可能有两个切点 10分 故 ，设 图象与 轴的两个交点的横坐标为 （不妨设 ）， 则直线 与 的图象有两个切点即为直线 与 和的切点 ， ， 设切点分别为 ，则 ，且 ， ， ， 即 ,
