1、2013届江西省赣州市十一县高三上学期期中联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 （ 为虚数单位）等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 考点：本小题主要考查复数的运算 . 点评：复数的运算每年必考，仔细计算即可 . 已知函数 是偶函数，当 时， 恒成立，设 ，则 的大小关系为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为当 时， 恒成立，所以根据函数单调性的定义可知该函数在 上单调递增，又因为函数 是偶函数，所以函数关于直线 对称，所以 ，所以 . 考点：本小题主要考查函数单调性和奇偶性的应用 . 点评：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等都是函数的比较重要的性质
2、，要灵活应用 . 已知定义在 上的奇函数 ，若 的导函数 满足则不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：令 ，因为 所以 ，所以 单调递减，因为函数 是定义在 上的奇函数，所以有 ，所以该不等式转化为 ，根据函数的单调性可知原不等式的解集为 . 考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和抽象不等式的解法 . 点评：解决本题的关键是构造新函数解不等式，解题时注意转化思想的应用 . 如图，已知抛物线 的焦点 F恰好是双曲线 的右焦点，且两条曲线的交点的连线过 F，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为两条曲线的交点的连线过 F，所以将 代入
3、双曲线方程知，将 代入抛物线方程知 ，又因为 ，所以考点：本小题主要考查双曲线离心率的求解，考查双曲线与抛物线的混合运算 . 点评：求圆锥曲线的离心率是一种常考的题型，解题时要注意到各种圆锥曲线离心率的取值范围 . 已知函数 ）的图象（部分）如图所示，则 的式是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为最大值为 2，最小值为 -2，所以 A=2，因为代入 可得 ，所以表达式为. 考点：本小题主要考查由函数的图象求函数的式 . 点评：由函数的图象求函数的式，一般是由最值求 A，由周期求 ，由特殊值求 . 若实数 满足 则 的最小值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：画出 表
4、示的可行域， 表示的是可行域内的点到原点的距离的平方，所以最小值为 考点：本小题主要考查利用线性规划知识求最值 . 点评：本小题中 可以转为为可行域内的点到原点的距离的平方，这是解题的关键 . 有下面四个判断： 命题： “设 、 ，若 ，则 ”是一个假命题 若 “p或 q”为真命题，则 p、 q均为真命题 命题 “ 、 ”的否定是： “ 、 ” 若函数 的图象关于原点对称，则 其中正确的个数共有（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： A 试题分析： 的逆否命题是 “若 且 则 ”，显然是一个真命题，所以原命题也是一个真命题，所以 不正确； “p或 q”为真命题， 可以推知 p、
5、q中至少有一个真命题，所以 不正确； “ ”的否定是 “ ”，所以 不正确；函数 的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，所以，所以 不正确 . 考点：本小题主要考查命题的关系判断、命题的真值表的利用，含有一个量词的命题的否定和函数性质的应用，考查学生的推理能力 . 点评：互为逆否命题的两个命题同真同假，原命题不好判断真假时，可以转为判断逆否命题的真假 . 函数 的零点一定位于的区间是 （ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 答案： C 试题分析：将 1,2,3分别代入计算，可得根据函数的零点存在定理可知，该函数的零点一定在区间（ 2， 3）内 . 考点：
6、本小题主要考查函数的零点存在定理的应用 . 点评：利用函数的零点存在定理时只要将各端点分别代入函数式，判断符号即可 . 等比数列 的前 项和为 ， ， 若 成等差数列，则 ( ) A 7 B 8 C 16 D 15 答案： D 试题分析：设等比数列 的公比为 q，因为 ， 成等差数列，所以 ，代入数据计算得 q=2,所以 考点：本小题主要考查等比数列和等差数列的混合运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：等差数列和等比数列是两类比较重要的数列，要牢固掌握，熟练应用 . 已知集合 ， ，则 为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，所以 为 . 考点：本小题主要考查函数的定义域、值域的
7、求解和集合的运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：集合的运算首先要看清集合中的元素是什么，其次计算时，有时要借助数轴辅助解决 . 填空题 已知存在实数 使得不等式 成立，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：由题意借助数轴， 可知， 存在实数 使得不等式 成立， ，解得实数的取值范围是 . 考点：本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查学生转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，故取 ，即小于等于左边的最大值即满足题意，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维
8、错误导致错误 记 当 时，观察下列等式： ， ， ， ， ， 可以推测， . 答案： 试题分析：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为 1；最高次项的系数为该项次数的倒数；所以 A= , 解得考点：本小题主要考查归纳推理 . 点评：本题考查通过观察、归纳猜想结论，并据猜想的结论解决问题，属于基础题 阅读右侧程序框图，输出的结果 的值为 _ _ 答案： 试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是，经计算可知，以 6为周期，而，所以 考点：本小题主要考查程序框图的执行、三角函数的计算和三角函数周期性的应用 . 点评：解决本题的关键是找出 ，以 6为周期 . 在平面上给定非零向量 满足 ，
9、 的夹角为 ，则的值为 答案： 试 题分析：因为 ， 的夹角为 ，所以 ，所以 ，所以 的值为 6. 考点：本小题主要考查向量的数量积的运算，和向量的模的运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：遇到求向量的模的问题，一般是先求向量的模的平方 . 某校共有学生 2 000名，各年级男、女学生人数如下表示，已知在全校学生中随机抽取 1名，抽到高二级女生的概率是 0.19，现用分层抽样的方法 (按年级分层 )在全校学生中抽取 64人，则应在高三级中抽取的学生人数为 _ _ 高一级 高二级 高三级 女生 385 a b 男生 375 360 c 答案： 试题分析：因为在全校学生中随机抽取 1名，抽到高
10、二级女生的概率是 0.19，所以 ，所以高一学生共 人，高二学生共有人，所以共有高三学生 ，所以根据分层抽样的抽取方法可知在高三中抽取的学生人数为 考点：本小题主要考查古典概型的概率计算和分层抽样的应用 . 点评：应用分层抽样的关键是确定分层抽样的层 . 解答题 若关于 的不等式 的解集是 ， 的定义域是 ，若 ，求实数 的取值范围 . 答案： 或 试题分析：由 得 ，即 ， 3 分 （ 1）若 ，即 时， ， 6 分 （ 2）若 ，即 时， ，不合题意： 8 分 （ 3）若 ，即 时， 11 分 综上，实数 的取值范围是 或 12 分 考点：本小题主要考查不等式的求解，对数函数定义域的求解和
11、集合关系的运算，考查学生的运算求解能力和分类讨论思想的应用 . 点评：分类讨论时，要注意分类标准应做到不重不漏 . 已知向量 ， ，函数 . （ 1）求函数 的最小正周期和单调增区间； （ 2）在 中， 分别是角 的对边， R为 外接圆的半径，且 ， ， ，且 ，求 的值 答案：（ 1） （ 2） ， 试题分析：（ 1） ， 3 分 4 分 . 6 分 （ 2） 是三角形内角， ， 即： 9 分 即： , 10 分 由 可得： 得： 解之得： ， 所以当 时， ； 当 ， ， ， . 12 分 考点：本小题主要考查向量的数量积计算，三角函数的化简和求值，三角函数图象和性质的应用，以及正弦定理余
12、弦定理的应用，考查学生的运算求解能力和综合运算公式解决问题的能力 . 点评：三角函数与平面向量问题是每年高考的必考题目，一般涉及到平面向量的运算，三角函数的化简求值和三角函数图象和性 质的应用，要牢固掌握三角函数中众多公式，灵活运用公式解决问题 . 已知函数 （ ） （ 1）若 的定义域和值域均是 ，求实数 的值； （ 2）若对任意的 ， ，总有 ，求实数 的取值范围 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1） （ ） , 在 上是减函数， 又定义域和值域均为 ， ， 即 ， 解得 4 分 （ 2）若 ，又 ，且， ， 6 分 对任意的 ， ，总有 ， ， 8 分 即 ， 解得 ， 又 ，
13、若 ， 10 分 显然成立， 综上 。 12 分 考点：本小题主要考查二次函数的单调性、最值的求解和应用，考查含绝对值的不等式的求解和应用，考查学生转化问题的能力和分类讨论思想的应用 . 点评：求解含绝对值的不等式，关键是想方设法去掉绝对值号，而去绝对值号的方法一般是分类讨论 . 已知数列 前 项和 满足 ，等差数列 满足 （ 1）求数列 的通项公式 （ 2）设 ，数列 的前 项和为 ，问 的最小正整数 n是多少？ 答案：（ 1） an 2n-1， bn 2n-1（ 2） 101 试题分析： (1)当 n 1时， a1 S1 2a1-1， a1 1. 当 n2时， an Sn-Sn-1 (2a
14、n-1)-(2an-1-1) 2an-2an-1，即 2. 2 分 数列 an是以 a1 1为首项， 2为公比的等比数列 an 2n-1， Sn 2n-1. 3 分 设 bn的公差为 d， b1 a1 1， b4 1 3d 7， d 2. bn 1 (n-1)2 2n-1. 6 分 (2) cn， Tn . 10 分 由 Tn，得 ，解得 n100.1. Tn的最小正整数 n是 101. 12 分 考点：本小题主要考查等比的判断和等差、等比数列的通项公式的求解，裂项法求数列是前 n项和，考查学生的运算求解能力 . 点评：判断等差或等比数列时，一是用定义，一是用通项，不论用哪种方法，都不要忘记验
15、证 n=1能否适合公式 . 在 中，两个定点 ， 的垂心 H（三角形三条高线的交点）是 AB边上高线 CD的中点。 （ 1）求动点 C的轨迹方程； （ 2）斜率为 2的直线 交动点 C的轨迹于 P、 Q 两点，求 面积的最大值（ O 是坐标原点）。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）设动点 C（ x,y）则 D(x,0)。 因为 H是 CD的中点，故 ， 因为 所以 故 整理得动点 C的轨迹方程 . 4 分 （ 2）设 并代入 得 ,即 , 6 分 又原点 O 到直线 l的距离为 , 8 分 11 分 当且仅当 即 时等号成立，故 面积的最大值为 。 13 分 考点：本小题主要考查轨
16、迹方程的求解，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，三角形面积公式以及基本不等式的应用，考查学生综合运用所学知识求解问题的能力 . 点评：求解轨迹方程时，要注意将不符合要求的点去掉，即将定义域求出；直线与圆联立方程组时，不要忘记验证 已知函数 ， 为 的导 数 . （ 1）当 时，求 的单调区间和极值； （ 2）设 ，是否存在实数 ，对于任意的 ，存在，使得 成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由 . 答案：（ 1） 在 单调递减，在 单调递增， 极大 = 极小 = （ 2）存在 符合要求 试题分析：（ 1）当 时， ， ， 令 得： 、 ， 2 分 所以 在 单调递减，在 单调递增， 4 分 所以 极大 = 极小 = 6 分 （ 2）在 上 是增函数，故对于 ， . 设 . ， 由 ，得 . 8 分 要使对于任意的 ，存在 使得 成立，只需在上， - ， 在 上 ；在 上 ， 所以 时， 有极小值 10 分 又 ， 因为在 上 只有一个极小值，故 的最小值为 12分 解得 . 14 分 考点：本小题主要考查用导数研究函数的单调性、极值、最值及探究性问题的求解 . 点评：导数是研究函数性质的主要依据，研究性质时一定不要忘记考虑函数的定义域 .
