1、2013届河北省保定市唐县一中高三下学期第二次摸底考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，故选 B。 考点：本题主要考查复数的对数运算。 点评：简单题，除式化分式， “分母实数化 ”。 在平面直角坐标系中 ,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过 个整点，则称函数 为 阶整点函数。有下列函数： ； ， 其中是一阶整点函数的是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：对于函数 f（ x） =sin2x，它只通过一个整点（ 0， 0），故它是一阶整点函数； 对于函数 g（ x） =x3，当 x Z时，一定有 g（ x） =x
2、3 Z，即函数 g（ x） =x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数； 对于函数 当 x=0， -1， -2，时， h（ x）都是整数，故函数 h（ x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数； 对于函数 （ x） =lnx，它只通过一个整点（ 1， 0），故它是一阶整点函数故答案：为 选 C。 考点：本题主要考查常见函数的图象和性质。 点评：新定义问题，关键在于理解 “新定义 ”的意义。 已知圆 的图象分别交于 的值为 （ ） 答案： C 试题分析：因为 互为反函数，所以 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）两点关于直线 y=x对称，故 x1=y2， x2=y1， A点坐标为（ x1，
3、x2），而点 A在圆 C上， 即 x12+x22=4故选 C 考点：本题主要考查互为反函数的函数图象关系。 点评：简单题，互为反函数的图象关于直线 y=x对称。 已知 为非零向量，命题 ，命题 的夹角为锐角，则命题 是命题 的 ( ) A充分不必要的条件 B既不充分也不必要的条件 C充要条件 D必要不充分的条件 答案： D 试题分析：若 ，则 的夹角为锐角是假命题，因为， cos0=10,； 但反之， 的夹角为锐角，一定有 ，即命题 是命题 的必要不充分的条件，故选 D。 考点：本题主要考查充要条件的概念，向量的夹角及其计算。 点评：简单题，涉及向量的夹角问题，一定要注意角的范围 。 某次文艺
4、汇演，要将 A、 B、 C、 D、 E、 F这六个不同节目编排成节目单，如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 节目 如果 A、 B两个节目要相邻，且都不排在第 3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ） A 192种 B 144种 C 96种 D 72种 答案： B 试题分析： A、 B两个节目要相邻，可用 “捆绑法 ”，有 种方法，但不能排在3号位置，所以有 3种选择： 1， 2； 4,5； 5,6.，其余节目可在其它 3个位置任意排列，有 种方法，故由分步乘法原理得节目单上不同的排序方式有 3=144种，故选 B。 考点：本题主要考查解答排列组合问题。 点评：简单题，涉及特殊元素特殊位置
5、问题，一般要从特殊元素、特殊位置入手。 设 满足约束条件 ，则 取值范围是 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 z= =1+2 ， 表示（ x， y），与（ -1， -1）连线的斜率， 画出可行域，由图得当过 A（ 0， 4）时， z有最大值 11， 当过 B在直线 y=x上时， z有最小值 3 故选 A。 考点：本题主要考查简单线性规划问题，直线的斜率。 点评：小综合题，解题过程中，将 转化成 1+2 ，利用直线的斜率进一步解题。 有以下四个命题： 其中真命题的序号是 （ ） 若 且 ，则 ； 若 且 ，则 ； 若 且 ，则 ； 若 且 ，则 答案： D 试题分析：若 ， ，
6、则 ；不正确，还有可能 ； 不正确；排除 A,C。 由 知 且 ，则 ；正确；故选 D。 考点：本题主要考查立体几何的平行关系、垂直关系。 点评：简单题，这类题目已成为考查到重要题型，牢记定理、法则是关键。结合选项是技巧。 的值为 ( ) A 0 B 1 CD 答案： C 试题分析： 。故选 C。 考点：本题主要考查函数的极限。 点评：简单题，函数极限计算中，注意约去 “零因子 ”。 填空题 一种计算装置，有一个数据入口 和一个运算出口 ，执行某种运算程序 （ 1）当从 口输入自然数 时，从 口得到实数 ，记为 ； （ 2）当从 口输入自然数 时，在 口得到的结果 是前一结果倍 当从 口输入
7、时，从 口得到 ；要想从 口得到 ，则应从 口输入自然数 . 答案： ， 24 试题分析：记 a1= ，则 a2= = ， a3= = a n= ，当 an= 时，解得 n=24，故答案：为：， 24 考点：本题主要考查算法的功能。 点评：算法是高考的必考内容，难度不大，应高度重视本题易于忽略的是：不能准确理解算法的功能。 顺义二中对文明班的评选设计了 五个方面的多元评价指标，并通过经验公式 来计算各班的综合得分， 的值越高则评价效果越好若某班在自测过程中各项指标显示出 ，则下阶段要把其中一个指标的值增加 个单位，而使得 的值增加最多，那么该指标应为 （填入 中的某个字母） 答案： c 试题分
8、析：因 a， b， c d e 都为正数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大，而在分子都增加 1的前提下，分母越小时， S 的值增长越多，由于 0 c d e b a，分母中 d最小，所以 c 增大 1 个单位会使得 S 的值增加最多 故填 c。 考点：本题主要考查合情推理。 点评：简单题，利用分式的性质中寻找 S 值的变化规律，因 a， b， c d e 都为正数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大。 在 中， 分别为三个内角 A、 B、 C所对的边 ,设向量，若向量 ，则角 A 的大小为 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，即 b(b-c)+(c-a)(c+a)=0，所以，角 A 的
9、大小为 。 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量垂直的条件，余弦定理的应用。 点评：小综合题，解答思路明确，由 可得 ，得到 a， b， c 的关系，利用余弦定理求角。 如图，棱长为 的正方体 中， 为 中点，则直线与平面 所成角的正切值为 ；若正方体的八个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 . 答案： 试题分析：因为 ，所以连 DM，则角 是直线 与平面 所成角，其正切为 正方体外接球的直径就是正方体的体对角线，即 2r= ，所以球的表面积为 。 考点：本题主要考查正方体的几何特征，球得表面积公式。 点评：简单题，立体几何中的焦点计算问题，要注意 “一作、二证、三算 ”。 若 为等差
10、数列 中的第 8项，则二项式 展开式中常数项是第 项 答案： 试题分析： 为等差数列 中的第 8项，即 -4+（ 8-1） （ -2） -（ -4） =10； 展开式中的通项为 ，令得， r=8，故展开式中常数项是第 9 项 . 考点：本题主要考查等差数列的通项公式，二项式展开式的通项公式。 点评：小综合题，解的思路明确，先 n，再利用二项式展开式的通项公式，求解。 双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 _ 答案： 试题分析： 的渐近线方程为 ，焦点（ 5,0），由点到直线的距离可得，一个焦点到一条渐近线的距离为 。 考点：本题主要考查双曲线的标准方程及其几何性质，点到直线的距离公式。 点评
11、：简单题，任选渐近线方程之一、焦点之一计算即可。 解答 题 (1)、已知函数 若角（ 2）函数 的图象按向量 平移后 ,得到一个函数 g(x)的图象，求 g(x)的式 . 答案：（ 1） （ 2） . 试题分析：（ 1）、由已知条件，得 2分 所以 6分 9分 10分 （ 2）、 13分 考点：本题主要考查三角函数的和差倍半公式，三角函数的同角公式。 点评：典型题，本题根据给定图象平移，确定得到三角函数式，为研究三角函数的图象和性质，由利用三角函数和差倍半公式等，将函数 “化一 ”，这是常考题型。首先运用 “三角公式 ”进行化简，为进一步解题奠定了基础。 如图，直角三角形 的顶点坐标 ，直角顶
12、点 ，顶点在 轴上，点 为线段 的中点 （ ）求 边所在直线方程； （ ） 为直角三角形 外接圆的圆心，求圆 的方程； （ ）若动圆 过点 且与圆 内切，求动圆 的圆心 的轨迹方程 答案：（ ） （ ） （ ） 试题分析：（ ） 1分 3分 5分 （ ）在上式中，令 得： 6分 圆心 7分 又 8分 外接圆的方程为 9分 （ ） 圆 过点 ， 是该圆的半径， 又 动圆 与圆 内切， 即 点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 3的椭圆 11分 ， 12分 轨迹方程为 考点：本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆的定义及其标准方程。 点评：中档题，本题解答思路明确，在确定轨迹方程过程中，利用了椭圆的定义
13、。求轨迹方程的方法主要有：定义法，代入法，参数法等。本题较为容易。 如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2的正方形，且 ， 为 中点 . （ ）求证： 平面 ； （ ）求二面角 的大小； （ ）在线段 上是否存在点 ，使得点 到平 面 的距离为 ？若存在，确定点 的位置； 若不存在，请说明理由 . 答案：解法一： （ ）证明： 底面 为正方形， ，又 ， 平面 ， . 2分 同理 ， 4分 平面 5分 （ ）解：设 为 中点，连结 ， 又 为 中点， 可得 ，从而 底面 过 作 的垂线 ，垂足为 ,连结 由三垂线定理有 ， 为二面角 的平面角 . 7分 在 中，可求得 9分 二面角 的大小为 1
14、0分 （ ）解：由 为 中点可知 , 要使得点 到平面 的距离为 ， 即要点 到平面 的距离为 . 过 作 的垂线 ，垂足为 , 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， 即 为点 到平面 的距离 . ， 12分 设 试题分析：解法一： （ ）证明： 底面 为正方形， ，又 ， 平面 ， . 2分 同理 ， 4分 平面 5分 （ ）解：设 为 中点，连结 ， 又 为 中点， 可得 ，从而 底面 过 作 的垂线 ，垂足为 ,连结 由三垂线定理有 ， 为二面角 的平面角 . 7分 在 中，可求得 9分 二面角 的大小为 10分 （ ）解：由 为 中点可知 , 要使得点 到平面 的距离为 ， 即要点 到平
15、面 的距离为 . 过 作 的垂线 ，垂足为 , 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， 即 为点 到平面 的距离 . ， 12分 设 相关试题 2013届河北省保定市唐县一中高三下学期第二次摸底考试数学试卷（带） 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在 下落的过程中，将 3次遇到黑色障碍物，最后落入 袋或 袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 （ ）求小球落入 袋中的概率 ； （ ）在容器入口处依次放入 4个小球，记 为落入 袋中的小球个数，试求的概率和 的数学期望 答案：（ ） ； （ ） 试题分析：（ ）记 “小球落入 袋中 ”为事件
16、 ， “小球落入 袋中 ”为事件 ，则事件 的对立事件为 ，而小球落入 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故 ， 从而 ； 5分 （ ）显然，随机变量 ，故 ， 13分 考点：本题主要考查互斥事件概率的加法公式，对立事件概率计算公式，二项分布。 点评：中档题，统计中的抽样方法，频率直方图，平均数、方差计算，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。古典概型概率的计算问题，关键是明确基本事件数，往往借助于 “树图法 ”，做到不重不漏。概率的计算方法及公式要牢记。利用对立事件概率计算公式，往往看简化解题过程。 对任意 都有 （ ）求 和 的值 （ ）数列 满足： = + ，数列是等差数
17、列吗？请给予证明； （ ）令 试比较 与的大小 答案：（ ） （ ） （ ） ，利用 “放缩法 ”。 试题分析：（ ）因为 所以 2分 令 ，得 ，即 4分 （ ） 又 5分 两式相加 所以 ， 7分 又 故数列 是等差数列 9分 （ ） 10分 12分 所以 14分 考点：本题主要考查抽象函数问题，等差数列的证明， “放缩法 ”证明不等式，“裂项相消法 ”。 点评：中档题，本题具有较强的综合性，本解答从确定数列相邻项的关系入手，认识到数列的特征，利用 “错位相消法 ”达到求和目的。 “分组求和法 ”“裂项相消法 ”“错位相减法 ”是高考常常考到数列求和方法。（ III）先将和式通过放缩利用“
18、裂项相消法 ”实现求和，达到证明目的。 已知：在函数 的图象上，以 为切点的切线的倾斜角为 （ ）求 ， 的值； （ ）是否存在最小的正整数 ，使得不等式 对于 恒成立？如果存在，请求出最小的正整数 ；如果不存在，请说明理由； （ ）求证： （ ， ） 答案：（ ） . （ ）存在最小 的正整数 ，使得不等式 对于恒成立 . （ ） （ ， ） . 试题分析：（ ） ，依题意，得 ，即 ，. 2分 ， . 3分 （ ）令 ，得 . 4分 当 时， ； 当 时， ； 当 时， . 又 ， ， ， . 因此，当 时， . 7分 要使得不等式 对于 恒成立，则 . 所以，存在最小的正整数 ，使得不等式 对于 恒成立 . 9分 （ ）方法一： . 11分 又 ， ， . . 13分 综上可得， （ ， ） . 14分 方法二：由（ ）知，函数 在 -1， 上是增函数；在 , 上是减函数；在 ， 1上是增函数 . 又 ， ， ， . 所以，当 x -1， 1时， ，即 . ， -1， 1， ， . . 11分 又 ， ，且函数 在 相关试题 2013届河北省保定市唐县一中高三下学期第二次摸底考试数学试卷（带）
