1、2013届河南省南阳市一中高三第八次周考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知复数 , 是 的共轭复数 ,则 等于 A 16 B 4 C 1 D答案： C 试题分析： , 考点：复数运算 点评： 的共轭复数是 设定义在 R上的函数 是最小正周期为 的偶函数， 是 的导函数，当 时， ；当 且 时， ，则函数 在 上的零点个数为 A 2 B 4 C 5 D 8 答案： B 试题分析：由 得 时函数递增， 时函数递减；函数的零点个数可看作 与 的交点个数，结合是最小正周期为 的偶函数作出它的图像与 图像，由图像观察可知两函数图像有 4个交点，即 在 上有 4个零点 考点：函数零点及周期性奇偶性
2、图像 点评：本题利用数形结合法求解函数零点省去了大量的计算 已知函数 对任意 都有 ，若 的图象关于直线 对称，且 ，则 A 2 B 3 C 4 D 0 答案： A 试题分析： 的图象关于直线 对称 关于 y轴对称，为偶函数 ，由 得， ，累和得，在函数式 中令 得考点：函数周期性奇偶性等 点评：本题是对函数综合性质的考查，其中用到了数列中累和的方法 已知 是椭圆 上的一动点，且 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积最小值为 ，则椭圆离心率为 A B C D 答案： B 试题分析：由题意可知 P位于短轴顶点处满足斜率乘积为 ，考点：椭圆的离心率 点评：求离心率关键是找到关于 的齐次方程或不等式 已知
3、命题 ：抛物线 的准线方程为 ；命题 ：若函数为偶函数，则 关于 对称则下列命题是真命题的是 A B C D 答案： D 试题分析：命题 ：抛物线 的准线方程为 是假命题；命题 ：若函数 为偶函数，则 关于 对称是真命题。所以 是真命题 考点：符合命题真假的判定 点评： 为真只需至少一个为真， 为真需同时为真 等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 则 “ ”是 “ 的最小值为 ，且 无最大值 ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 答案： A 试题分析：由 可知 ，数列是递增数列，所以 的最小值为 ，且无最大值；反之当数列为常数列且各项均为正数时 的最小
4、值为 ，且无最大值，但 不成立，所以前者是后者的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件 点评：若 则 是 的充分条件， 是 的必要条件 已知平面向量 的夹角为 且 ，在 中， ， 为 中点，则 A 2 B 4 C 6 D 8 答案： A 试题分析： ， 考点：向量加法数乘运算 点评：求向量模利用 转化成向量运算 一动圆圆心在抛物线 上 ,且动圆恒与直线 相切 ,则动圆必过定点 A B C D 答案： B 试题分析：动圆与直线 相切，直线是抛物线的准线，所以圆心到直线的距离等于到焦点的距离，都为圆的半径，所以圆过定点 考点： 抛物线定义及直线与圆相切的位置关系 点评：抛物线定义：抛物线上的点到
5、焦点的距离等于到准线的距离 函数 = R) 的部分图像如图所示，如果，且 ，则 A B C D 1 答案： C 试题分析：由图像可知 代入 得 考点：由图像求式 点评：由图像求解 式时，由振幅求 A，观察周期求 ，代入特殊点求 已知曲线方程 f(x) sin2x 2ax(a R)，若对任意实数 m，直线 l： x y m 0都不是曲线 y f(x)的切线，则 a的取值范围是 A (- ， -1) (-1,0) B (- ， -1) (0， ) C (-1,0) (0， ) D a R且 a0， a-1 答案： B 试题分析：由已知可得 ，直线 l不可能是曲线的切线，所以 无解 或或 考点：函数
6、导数的几何意义 点评：函数在某一点处的导数等于该点处的切线斜率 一个几何体的三视图如图 3所示，其中主视图中 是边长为 的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为 A B C 1 D答案： A 试题分析：有三视图可知该几何体是正六棱锥，底面正六边形边长为 1侧棱长为 2，棱锥高为 ，左视图三角形底面边长为 ，所以面积为 考点：几何体三视图 点评：先由三视图还原直观图，再在直观图中找到相应长度计算 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围 A B C D 答案： D 试题分析： 考点：集合运算 点评： 则 集合含有 A的元素 填空题 现有下列命题： 设 为正实数，若 ，则 ； 则
7、 是等腰三角形； 数列 ； 设函数 则关于 有 4个解； 若 ，则 的最大值是 。 其中的真命题有 _。（写出所有真命题的编号） . 答案： 试题分析： 正确； 得 或,三角形为等腰或直角三角形； 由通项公式求导可知数列先增后减，计算数据的 ，所以第四项最大； ，当 时 ，当 时 共 5个解； 当 时取得最大值考点：解三角形及函数性质 点评：此类题目学生需依次判定各个命题真假，容易出现漏选错选问题 已知点 P的坐标 ，过点 P的直线 l与圆相交于 A、 B两点，则 的最小值为 答案： 试题分析：由线性约束条件可知点 P在由 构成的三角形三边及内部，要满足 最小，需满足 最大，所以 ，考点：线性
8、规划与直线与圆相交弦长最值 点评：线性规划问题取最值的位置一般位于可行域边界或顶点处 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第 个等式为 。 答案： 试题分析：观察已知式子的规律可知：第 个式子开头为 ，共 项相加，结果等于 考点：观察类比能力 点评：此类题目主要是比较给定式子的特点，找到一般规律，而后写出所求关系式 已知半径为 的球 中有一内接圆柱 ,当圆柱的侧面积最大时 ,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 _ 答案： 试题分析：设圆柱的底面圆半径为 r，则高为 ，侧面积当且仅当 即时取最大值，所以侧面积最大值为 ，球的
9、表面积为 ，所以之差为 考点：球与圆柱的组合体的表面积 点评：本题先要想象出球与圆柱的联系，再分别求其表面积 解答题 （ 12分）数列 前 项和为 ， （ 1）求证：数列 为等比数列； （ 2）设 ，数列 前 项和为 ，求证： 答案：（ 1） （ 2） ， 试题分析：（ 1） 2 分 又 4分 故数列 是首项为 3，公比为 3的等比数列 6分 （ 2）由（ 1） 9分 11 分 12分 考点：数列求通项求前 n项和 点评：由前 n项求通项注意分 和 两种情况 （ 12分）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设直线 与椭圆 交
10、于 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ， 求 面积的最大值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ ）因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为， 所以 ， 1分 又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ， 2分 所以 ， . 4分 所以 ，椭圆 的方程为 . 5分 （ ）不妨设 的方程 ，则 的方程为 . 由 得 ， 6分 设 ， ，因为 ，所以 ， 7分 同理可得 ， 8分 所以 ， ， 10分 ， 12分 设 ，则 ， 13分 当且仅当 时取等号，所以 面积的最大值为 . 考点：椭圆方程及其性质，直线与椭圆相交问题 点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路 （ 12分
11、）设 为实数，函数 , . （ 1）求 的单调区间与极值； （ 2）求证：当 且 时， . 答案：（ 1）单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，极小值为 （ 2）设 ，于是， 取最小值为 在 R内单调递增，有 ，而 ，有 故试题分析：（ ）解：由 知 。 2分 令 ，得 。于是，当 变化时， 和 的变化情况如下表： 0 + 单调递减 单调递增 4 分 故 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 。 在处取得极小值。极小值为 6 分 （ ）证明：设 ，于是。 由（ ）知当 时 取最小值为 于是对任意 ,都有 ，所以 在 R内单调递增。 8 分 于是，当 时，对任意 ，都有 ，而10 分 从而对任意 ，
12、都有 。即 故12分 考点：函数单调区间极值及利用单调性最值证明不等式 点评：证明不等式恒成立问题常转化为求函数最值问题 （ 10分）如图， A， B， C， D四点在同一圆上， AD的延长线与 BC 的延长线交于 E点，且 EC=ED。 （ 1）证明： CD/AB；（ 2）延长 CD到 F，延长 DC 到 G，使得 EF=EG，证明：A， B， G， F四点共圆。 答案：（ 1） EC=ED， EDC= ECD， A， B， C， D四点共圆， EDC= EBA， CD AB （ 2） AE=BE， EF=EG，故 EFD= EGC， FED= GEC， EFA EGB，故 FAE= GBE， CD AB， FAB= GBA，所以 AFG+ GBA=180故 A，B G， F四点共圆 试题分析：（ I）因为 EC=ED， 所以 EDC= ECD 因为 A， B， C， D四点在同一圆上， 所以 EDC= EBA 故 ECD= EBA， 所以 CD AB （ ）由（ I）知， AE=BE， 因为 EF=EG，故 EFD= EGC 从而 FED= GEC 连接 AF， BG， EFA EGB，故 FAE= GBE 又 CD AB， FAB= GBA， 所以 AFG+ GBA=180 故 A， B G， F四点共圆 考点：平面几何证明 点评：四点共圆则四边形对角互补
