1、2013届河南省高三高考适应性考试理科数学试卷与答案（一）（带解析） 选择题 已知全集 U=R，集合 A=1， 2， 3， 4， 5， B= ，下图中阴影部分所表示的集合为 A 0， 1， 2 B 1， 2 C 1 C 0， 1 答案： C 试题分析：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合 中，但不在集合 中 又 , 则右图中阴影部分表示的集合是： . 考点： Venn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算 点评：本小题主要考查了 图表达集合的关系及运算、 图的应用等基础知识，考 查了数形结合思想，属基础题 . 过双曲线 的右顶点 A作斜率为一 1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交
2、点分别为 B， C，若 A， B， C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为 A B C D 答案： C 试题分析：过 A斜率为一 1的直线方程 ，渐近线方程为 ，交点 横坐标分别为 ， 点的横坐标为 ， A， B， C三点的横坐标成等比数列， 所以 ，所以 ，所以 ，故 . 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质 点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用 已知函数 ，如果存在实数 x1，使得对任意的实数 x，都有 成立，则 的最小值为 A B C D 答案： B 试题分析： ,对任意的实数 ，都有 成立
3、，所以 ， 分别为函数的最小值和最 大值 .要使得 最小，只要周期最大，当 ,即 时，周期最大， 此时 . 考点：两角和与差的正弦函数 正弦函数的单调性 点评：本题目主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，三角函数的性质的应用，周期公式 的应用，解题的关键是要由 成立得到 ，分别为函数的最小值和最大值，属于中档题 在二项式（ 的展开式中，各项系数之和为 M，各项二项式系数之和为 N，且 M+N=72，则展开式中常数项的值为 A 18 B 12 C 9 D 6 答案： C 试题分析：由二项展开式的性质可得 ，所以所以 ，因为 的展开式的通项为 ， 令 可得 ，所以常数项为 考点：二项式系数的性质
4、点评：本题考查了二项展开式的通项在求解二项展开式的指定项中的应用，解题的关键是利用二项式的性质得出 , 的值 . 已知 A， B， C， D是同一球面上的四个点，其中 ABC是正三角形，AD 平面 ABC， AD=2AB=6则该球的表面积为 A 16 B 24 C 32 D 48 答案： C 试题分析： 由题意画出几何体的图形如图： 把 扩展为三棱锥， 上下地面中心连线的中点与 A的距离为球的半径， 是正三角形， 所以 , 所以球的体积为 . 考点：球的体积和表面积 棱锥的结构特征 球内接多面体 点评：本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出的半
5、径是解题的关键 . 已知 a， b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足（ a-c） （ b一 c） =0，则 |c|的最大值是 A 1 B C 2 D 答案： D 试题分析：因为 ，又 ，所以 的最大值为 考点：平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角 点评：本题的关键是充分利用已知条件和数量积的性质，借助向量模的性质得到要求向量模的最大值 . 如图是计算函数 的值的程序框图，在 、 、 处分别应填入的是 A y=ln（一 x）， y=0， y=2x B y=0， y=2x， y=In（一 x） C y=ln（一 x）， y=2z， y=0 D y=0， y=ln（一 x）， y=2x
6、答案： B 试题分析：由条件结构及分段函数式知， 填 ， 填 填. 考点：条件结构 点评：本题根据条件结构的执行顺序，结合分段函数的定义可以迅速解题，属基础题 . 已知 ABC中， C=45， ， sin2A=sin2B一 sin A sin B，则 = A B C D 答案： B 试题分析：因为 ， 由余弦定理得 ， 所以 . 考点：正弦定理 余弦定理 点评：本题考查利用正弦定理进行边角互化，属基础题 . 某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A B C D 答案： A 试题分析：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直底面， 三棱锥的高是： ，它的体积： . 考点
7、：由三视图求面积、体积 点评：本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力，属基础题 . 已知命题 使得 命题 ，下列命题为真的是 A p q B（ C D ） 答案： A 试题分析：对于命题 ：当 如 ，则 ，所以命题 是真命题，则 是假命题，对于 ， ，所以不等式 解集为 ,所以 命题 是真命题，命题 是假命题，所以 为真命题，选 A. 考点：复合命题的真假 点评：本题借助不等式知识考查命题真假性，关键是判断已知不等式是否成立，属基础题 . 若 ，则 tan = A B C D 答案： D 试题分析：因为 ,所以，又 ，所以 . 又 .所以 ，所以 . 考点：同角函数基本关系式 点评：巧
8、妙的运用 是解决本题的关键，另外三角函数的符号也是本类题型的易错点，要熟练掌握 . 复数 ，在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： C 试题分析：因为 所以 对应的点的坐标为 ，在第三象限 . 考点：复数的乘除运算 点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意复数分母实数化，考查计算能力 填空题 如图所示，在边长为 1的正方形 OABC中任取一点 M则点 M恰好取自阴影部分的概率是 答案： 试题分析：根据题意，正方形 的面积为 而阴影部分由函数 与 围成，其面积为， 则正方形 中任取一点 ,点 取自阴影部分的概率为 . 则正方形中任取一点，点取自
9、阴影部分的概率为 考点：定积分在求面积中的应用 几何概型 点评 :本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积 . 已知函数 上的奇函数，且 的图象关于直线 x=1对称，当 时， 答案： 试题分析：因为 的图象关于直线 x=1对称，所以 ， 所以 ,又 ，所以 所以 ，所以 ，故 . 所以 考点：函数的奇偶性 周期性 对称性 点评：解决本题的关键是从对称性入手，逐步代换得出函数的周期，从而达到求值的目的 . 已知圆 过坐标原点，则圆心 C到直线距离的最小值等于 答案： 试题分析：因为圆 过坐标原点， 所以 ，所以 ，又因为圆 到直线 即直线 的距离 ，所以
10、圆心 C到直线距离的最小值等于 . 考点：点到直线的距离公式 圆的标准方程 点评：本题考查的知识点是点到直线的距离公式，圆的标准方程，其中熟练掌握点到直线距离公式，是解答本题的关键 . 已知函数 的最大值是 。 答案： -1 试题分析： 先画出可行域，作 ，平移 经过可行域 点处， 最大，最大值为 考点：简单线性规划的应用 点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解 解答题 在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 （ t为参数）在极坐标系（与直
11、角坐标系 xOy取相同的长度单位。且以原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴）中，圆 C的方程为 （ I）求圆 C的直角坐标方程； （ ）设圆 C与直线 l交于点 A， B若点 P的坐标为（ 1,2） ,求 的最小值 答案：（ I） （ ） 试题分析：由 得 ，化为直角坐标方程为 ， 即 . （ ）将 的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得 . 由 ，故可设 是上述方程的两根， 所以 又直线 过点 ，故结合 t的几何意义得 = 所以 的最小值为 考点：点的极坐标和直角坐标的互化；极坐标系 点评：本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想
12、、分类与整合思想，属于基础题 在 ABC的边 AB， BC， CA上分别取 D， E， F使得 DE=BE， FE=CE，又点 O是 ADF的外心。 （ ）证明： D， E， F， O四点共圆； （ ）证明： O在 DEF的平分线上 答案：（ ）由角间的关系可以证明 （ ）由角相等来证明 已知函数 （ 1）求 的式及减区间； （ 2）若 的最小值。 答案：（ 1） ， （ ） （ 2）最小值为 . 试题分析：（ ）令 得 ， ，所以 ， ， ， 由 得 ， 的减区间为（ ） . （ ）由题意 ， ， 设 ， . 当 时， 恒成立， 无最大值； 当 时，由 得 ， 得 . 在 上为增函数，在 上
13、为减函数 . ， ， ， 设 ， ， 由 得 ， 得 ， ，所以 的最小值为 . 考点：导数 函数的性质 点评：本题关键是先利用代入法求出 ，第二问中关键是合理构造函数，利用函数单调性求出函数的最值 . 已知椭圆 C的方程为 左、右焦点分别为 F1、 F2，焦距为 4，点 M是椭圆 C上一点，满足 （ ）求椭圆 C的方程； （ ）过点 P（ 0， 2）分别作直线 PA， PB交椭圆 C于 A， B两点，设直线 PA，PB的斜率分别为 k1， k2， ，求证：直线 AB过定点，并求出直线AB的斜率 k的取值范围。 答案：（ ） （ ） 或 . 试题分析：（ ）在 中 ,设 , ,由余弦定理得，
14、即 ，即 ，得 . 又因为 ， ， ， 又因为 所以 ， 所以所求椭圆的方程为 . （ ）显然直线 的斜率 存在，设直线方程为 ， ， 由 得 ，即 ， ， ， 由 得， ，又 ， ， 则 ， ， ， 那么 ， 则直线 过定点 . 因为 ， ， ， ， ， ，所以 或 . 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题此类题综合性强，要求学生要有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用 如图。在直三棱柱 ABCA 1B1C1中， AB=BC=2AA1， ABC=90， M是BC中点。 （ I）求证： A1B 平面 AMC1；
15、（ II）求直线 CC1与平面 AMC1所成角的正弦值； （ ）试问：在棱 A1B1上是否存在点 N，使 AN与 MC1成角 60？若存在，确定点 N的位置；若不存在，请说明理由。 答案：（ I）由线线平行证得线面平行 （ II） （ ） .在棱 上存在棱 的中点 ，使 与 成角 . 试题分析：（ ）连接 交 于 ,连接 .在三角形 中， 是三角形 的中位线， 所以 , 又因 平面 ， 所以 平面 . （ ）（法一）设直线 与平面 所成角为 ， 点到平面 的距离为 ，不妨设 ，则 ， 因为 , ， 所以 . 因为 ， 所以 , . . ， ， . （法二）如图以 所在的直线为 轴 , 以 所在
16、的直线为 轴 , 以 所在的直线为 轴，以 的长度为单位长度建立空间直角坐标系 . 则 , , , ， , , .设直线 与平面 所成角为 ，平面 的法向量为 .则有 , ， 令 ,得 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 则 . （ ）假设直线 上存在点 ，使 与 成角为 . 设 ，则 ， . 设其夹角为 ， 所以， ， 相关试题 2013届河南省高三高考适应性考试理科数学试卷（一）（带） 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取 60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成 6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息，回答下列问题 ( )求分数在 70， 80）内的频率，并补全这个频率分
17、布直方图； ( )根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分 ； ( )若从 60名学生中随机抽取 2人，抽到的学生成绩在 40， 70）记 0分，记70， 100记 1分，用 X表示抽取结束后的总记分，求 X的分布列和数学期望。 答案： ( )0.3 ( )71 ( ) X的分布列为： X 0 1 2 P EX 0 1 2 试题分析：（ ）设分数在 内的频率为 x，根据频率分布直方图， 则有 ，可得 x=0.3. 所以频率分布直方图如图所示： （ ）平均分为： （ ）学生成绩在 40,70)的有 0.460=24人，在 70,100的有 0.660=36人， 且 X的可能取值是 0， 1， 2
18、 则 ， ， 所以 X的分布列为： X 0 1 2 P 所以 EX 0 1 2 考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数 点评：本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识，属于中档题 已知数列 中 （ I）设 ，求证数列 是等比数列； （ ）求数列 的通项公式 答案：（ I） 是首项为 3，公比为 的等比数列 （ ） 试题分析：（ ）递推公式可化为 ，即 . 又 ， 所以数列 是首项为 3，公比为 的等比数列 . （ ）由（ ）可知， ，所以 考点：等比关系的确定；数列递推式 点评：本题主要考查等比数列的证明和求数列的通项公式，考查基础知识的综合运用 选修 45 ：不等式选讲 设函数 = （ I）求函数 的最小值 m； （ II）若不等式 恒成立，求实数 a的取值范围 答案：（ I） （ II） 或 试题分析：（ ） 显然，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以函数 的最小值 （ ）由（ ）知 ， 恒成立， 由于 ， 等号当且仅当 时成立，故 ，解之得 或 所以实数 的取值范围为 或 考点：函数的最值 不等式恒成立 点评：利用绝对值的性质化简函数，是求函数最值得关键 ,属中档题 .
