1、2013届浙江省东阳市黎明补校高三 12月月考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 ， ，则 等于( ) B C D 答案： B 试题分析：由题意可知 ，所以 = . 考点：本小题主要考查集合的运算 . 点评：解集合的运算题目时，要注意集合中元素的范围，如本题中 B中的元素. 若不等式 在 上恒成立 ,则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为不等式 在 上恒成立，所以且 ，因为 ，所以，所以 的取值范围是 . 考点：本小题主要考查利用基本不等式、对数函数和二次函数求函数的最值，考查学生的转化能力和运算求解能力 . 点评：恒成立问题一般转化成最值问题解决，而此小
2、题求最值时，一定要注意变量的范围，当用基本不等式取不到等号时，要转化成对号函数求解 . 已知 是坐标原点，点 ，若点 为平面区域 上的一个动点， 则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ,画出可行域，再画出目标函数，可得在 处取到最小值 ，在 处 取到最大值 ，所以取值范围是 . 考点：本小题主要考查向量点乘积的坐标运算和利用线性规划求线性目标函数的最值，考查学生画图用图的能力 . 点评：解决此小题，关键是把 转化成 ，从而利用线性规划求解 . 已知 ，则 的最小值是（ ） A B CD 答案： B 试题分析：因为 ，所以，所以，解得 或 （舍） . 考点：本小题主要考
3、查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力 . 点评：应用基本不等式求最值时，要注意 “一正二定三相等 ”三个条件缺一不可 . 数列 满足 ，且对任意的 都有：等于 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：令 ，则 ，所以 ，所以 ， ，以上 个式子相加，得整理得 ，所以， 所以 考点：本小题主要考查累加法求数列的通项公式、裂项相消法求数列的前 n项和，考查学生的转化能力和运算求解能力 . 点评：由数列的递推公式求通项公式需要掌握累加、累乘和构造新数列三种方法，而求数列的前 n 项和主要有公式法、分组法、裂项相消法和错位相减法等，其中裂项相消法和错位相减法是考查的重点 .
4、定义在 R上的可导函数 ，在闭区间 上有最大值 15，最小值 -1，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：对 求导可得 令 ，可得所以，根据二次函数的图象和性质，可知所以 的取值范围是 . 考点：本小题主要考查函数的求导、二次函数的图象和性质，考查学生的转化能力和计算求解能力以及数形结合思想方法的应用 . 点评：求出 后，函数化为二次函数，解决二次函数的最值问题，一定要画出二次函数的图象，结合函数的图象进行求解 . 已知函数 的最大值是 , 最小值是 , 最小正周期是 , 直线 是其图象的一条对称轴 , 则下面各式中符合条件的式是（ ） A B C D 答案： D 试题
5、分析：因为最大值是 , 最小值是 ,所以又最小正周期是 ，所以 ，又因为对称轴过函数的最值点，将 代入 C,D中验证，可以得出 D符合要求 . 考点：本小题主要考查根据三角函数的图象和性质求函数的式，考查学生数形结合数学思想的应用 . 点评：牢固掌握三角函数的图象和性质并能熟练应用是解决此类问题的关键 . 在复平面内，复数 (1 i)2对应的点位于 ( ) A第一象限 B第四象限 C第三象限 D第二象限 答案： D 试题分析：所以对应的点位于第二象限 . 考点：本小题主要考查复数的计算 . 点评：复数是一个常考的考点，但一般只考查复数的运算，难度较低 . 若向量 ，且 ，则锐角 为 ( ) A
6、 B C D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，所以 即因为 为锐角，所以 考点：本小题主要考查向量共线的坐标运算及二倍角公式的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：向量共线与垂直是高考经常考查的两种关系，尤其是它们的坐标运算，要掌握公式，灵活应用 . 下面四个条件中 ,使 成立的充分而不必要条件是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： ，但 ，不一定有 ，所以 是的充分不必要条件； B中 是 的必要不充分条件； C中是 的既不充分也不必要条件； D中 是 的充要条件 . 考点：本小题主要考查充分条件、必要条件的判断，考查学生的推理能力 . 点评：解决此类问题，关键是分清谁是条
7、件，谁是结论，推理时一定要严谨 . 填空题 设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 8，则 的最小值为 答案： 试题分析：画出可行域和目标函数，由图象可知，在 处取到最大值，所以，所以 考点：本小题主要考查线性规划和基本不等式的综合应用，考查学生 画图用图的能力 . 点评：利用线性规划知识解题时，关键是准确画出可行域和目标函数 . 已知等比数列 满足： ，若存在两项 ，使得则 的最小值为 答案： 试题分析：设等比数列的公比为 ，则 或（舍），由 可得所以 ，所以考点：本小题主要考查等比数列性质的应用和等比数列中基本量的运算以及利用基本不等式求最值，考查 学生综合运算所学知识分析问题、解决问
8、题的能力和运算求解能力 . 点评：等差数列和等比数列是两类最重要的数列，它们的基本量的运算和性质的应用要熟练掌握，灵活应 用 . 锐角三角形 中，若 ，则 的范围是 ； 答案： ( 试题分析：因为 ， 为锐角三角形， 所以 根据正弦定理， 根据余弦函数的图象，可知考点：本小题主要考查正弦定理、二倍角公式以及三角函数图象的性质和应用，考查学生的转化能力和数 形结合思想的应用 . 点评：解决此题时，容易漏掉 ，从而产生错误结论，所以解题时一定要严谨 . 设 , ， ， ， 为坐标原点，若三点共线，则 的最小值为 答案： 试题分析： ， ，因为 三点共线，所以 共线，所以考点：本小题主要考查向量共线
9、的坐标运算和用 “1”的整体代换求最值，考查学生的转化能力和运算求 解能力 . 点评：三点共线，通常转化成两个向量共线来解决，而 “1”的整体代换是利用基本不等式求最值的常用 方法 . 在由正数组成的等比数列 中，若 ，则的 值为 答案： 试题分析： ，所以 ，所以 考点：本小题主要考查等比数列性质的应用和对数的运算以及求三角函数值等问题，考查学生的运算求解 能力 . 点评：解决此类问题关键是灵活正确的运用等比数列的性质 . 已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则； 答案： 试题分析：因为在点 处的切线方程是 ，所以， 所以 . 考点：本小题主要考查导数的几何意义的应用 . 点评：函数在某
10、点处的导数是在这点处的切线的斜率，这是高考中常考的一个知识点，解与导数的几何意 义相关的题目时，还要注意在某点处的切线和过某点的切线是不同的 . 已知 ，且 ，则 的值为 答案： 试题分析： , 因为 ，所以， 所以 ，又因为 ，所以 ，所以 考点：本小题主要考查三角函数的化简和求值，考查学生综合运算三角函数公式的能力和运算求解能力 . 点评：三角函数公式众多，解题时要恰当选择公式，灵活应用 . 解答题 (本题满分 14分 )在 中， 分别是角 , , 的对边，且 . （ I）若函数 求 的单调增区间； （ II）若 ，求 面积的最大值 答案：（ I） （ ）（ II） 试题分析：（ I）由条
11、件及二倍角公式有： ， 解得 ， 3 分 因为 是三角形的内角，所以 ，则 ， 4 分 所以 的单调增区间为 （ ） . 7 分 （ II）由余弦定理： , ,所以 ，所以 . 10 分 , 当且仅当 取得最大值 . 14 分 考点：本小题主要考查二倍角公式的应用、三角函数的图象和性质以及余弦定理和三角形面积公式的应用， 考查了学生的数形结合能力和运算求解能力 . 点评：三角函数的图象和性质是每年高考必考的题目，涉及到的公式很多，要恰当选择公式，灵活应用 . （本题满分 14 分）若向量 ， 其中 ，记函数 ，若函数 的图像与直线 （ 为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为 的等差数列。
12、（ 1）求 的表达式及 的值； （ 2）将函数 的图像向左平移 ，得到 的图像，当时， 的交点横坐标成等比数列，求钝角 的值。 答案：（ 1） ， （ 2） 试题分析： 1）解： ， ， 4 分 由题意可知其周期为 ，故 ，则 ， . 7 分 （ 2）将 的图像向左平移 ，得到 ， 9 分 由其对称性，可设交点横坐标分别为 ， 有 ,所以 . 14 分 考点：本小题主要考查向量的坐标运算、三角函数的化简、三角函数的图象和性质以及等比数列的计算， 考查学生的运算求解能力 . 点评：三角函数的图象平移符合 “左加右减 ”的原则，但是要注意到加或减都是相对于 说的，而不是相 对于 说的 . （本题满
13、分 14分）数列 的前 项和为 ， ， ，等差数列 满足 ， （ I）分别求数列 ， 的通项公式； （ II）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围 答案：（ I） , （ II） 试题分析：（ I）由 - 得 - ， 得 ， ； 3 分 由 得 , 4 分 . 5 分 ； 7 分 （ II） ， 8 分 对 恒成立， 对 恒成立， 10分 令 ， ， 当 时， ，当 时， ， 12 分 ， 14 分 考点：本小题主要考查等比数列的判定和通项公式的求解、等差数列的计算以及等比数列前 n项和的求解， 和恒成立问题的求解，考查了学生的推理能力和转化能力以及运算求解能力 . 点评：用定义判定等差
14、数列或等比数列时，一定要看清楚是否 漏掉了第一项，如果漏掉了，则需要单独验 证，这是特别容易忽略的地方，一定要仔细 . （本小题满分 15分）已知函数 , (1)若 ，且 的取值范围 （ 2）当 时， 恒成立，且 的取值范围 答案： (1) (2) 试题分析： (1) , 即 , 3 分 因 当且仅当 时等号成立 4 分 即 ，所以 7 分 (2)当 时， ， 且 ， 即 满足不等式组的点 构成图中的阴影部分， 10 分 由图可知，经过 与 的直线的斜率的取值范围是 ， 所以 的取值范围是 . 15 分 考点：本小题主要考查利用基本不等式求最值、利用线性规划知识求最值、两点间斜率公式的应用等知
15、识， 考查学生综合运用知识解决问题的能力 . 点评：利用线性规划知识可以解决非线性目标函数的最值问题，一般要转化成求两点间连线的斜率、两点 间的距离等 . （本小题满分 15分）设 ， （ 1）当 时，求曲线 在 处的切线的斜率； （ 2）如果存在 ，使得 成立，求满足上述条件的最大整数 ； （ 3）如果对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）当 时， ，故 . 3 分 （ 2）存在 ，使得 成立等价于 ， ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 6 分 ， ， ， 满足的最大整数 为 4； 8 分 (3)对于任意 ，都有 成立，等价于 由（ 2）知，在 上， ， 在 上， 恒成立，等价于 恒成立， 记 ，则 且 ， 当 时， ；当 时， ， 函数 在 上单调递增，在 上单调递减， . 15 分 考点：本小题主要考查导数的几何意义的应用和利用导数解决单调性、最值和恒成立等问题，考查学生综 合运算所学知识分析问题、解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：恒成立问题是高考中一个常考的考点，恒成立问题一般转化成最值问题来解决 .导数是研究函数性 质尤其是单调性、最值问题的有力工具，要灵活运算，但是不要忘记定义域 .
