1、2013届浙江省桐乡一中高一上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，且 ， ，则 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ，又 ，所以。 考点：集合的运算。 点评：直接考查集合的运算，属于基础题型。 定义函数 ，其中 ，且对于 中的任意一个 都与集合 中的 对应， 中的任意一个 都与集合 中的 对应，则 的值为（ ） A B C 中较小的数 D 中较大的数 答案： D 试题分析：由题意易知： ，所以 ，所以= ，所以的值为 中较大的数。 考点：分段函数的有关问题。 点评：此题为新定义题，为常考题型。解决此题的关键是迅速理解新定义，根据新定义写出 的式。
2、函数 的定义域为 ，值域为 ，则点 表示的图形可以是 ( ) 答案： B 试题分析：易知当 ，所以 ，所以点 表示的图形可以是 B。 考点：指数函数的性质；函数的图像；线性规划的有关知识。 点评：根据值域为 求函数函数 的定义域的可能性是解决此题的关键。 函数 满足 ，且 ， ，则下列等式不成立的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为函数 满足 ，所以，令； 令 ，所以选项 A： 正确； ，所以 ，选项 B错误。 ，所以 ，选项 C正确； 所以 ，选项 D正确。 考点：抽象函数的问题。 点评：解决抽象函数的只要方法是赋值法。正确、快速赋值是解决此题的关键。本题尤其要注意 f（ x
3、）不是常函数，应该把 f（ 0） =0舍去。 不等式 对 恒成立，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 对 恒成立，即 对 恒成立，令 ，只需 ，所以 。 考点：指数函数的性质；一元二次不等式的解法；一元二次方程跟的分布。 点评：做此题的关键是把不等式 对 恒成立，转化为对 恒成立。一定要注意 这个条件。 若函数 是定义在 上的偶函数，在 上是减函数，且 ，则使得 的 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为函数 是定义在 上的偶函数，且在 上是减函数，所以在 上是减函数，在 上是增函数，且 ；。 所以由 得： ，即 ，所以 。 考点：函数的
4、奇偶性；函数的单调性；不等式的解法。 点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，数学结合是解决此题的最好方法。 已知函数 ，且 ，则实数 的值为（ ） A B C 或 D 或 或 答案： C 试题分析：当 ；当 。 综上知：实数 的值为 或 。 考点：分段函数。 点评：对于解决分段函数的问题，常用的数学思想是分类讨论。 函数 的图像大致为（ ）答案： A 试题分析：易知 的定义域为 R，且 ，所以 是偶函数，因此 B、 C、 D排除。 考点：函数的图像；图像的变换。 点评：判断一个函数的图像，通常用定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊值或特殊点来进行排除。 若 ，则 （ ） A B C
5、D 答案： B 试题分析：令 ，所以 =， 。所以 。 考点：函数求值；函数式的求法。 点评：用换元法求函数的式，一定要注意新元的取值范围。 下列函数中是偶函数且在 上单调递增的是 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： A. 是非奇非偶函数； B. 在 上单调递减； C. 是非奇非偶函数； D. 是偶函数，在 上也是单调递增的。 考点：函数的奇偶性；函数的单调性。 点评：熟练掌握判断一个函数的奇偶性，属于基础题型。 填空题 对于以下 4个说法： 若函数 在 上单调递减，则实数 ； 若函数 是偶函数，则实数 ； 若函数 在区间 上有最大值 9，最小值，则 ； 的图象关于点 对称。其中正
6、确的序号有 。 答案： 试题分析： 若函数 在 上单调递减，则，所以实数 ，所以 错误； 若函数是偶函数，则实数 ，此命题错误，因为偶函数的定义域必须关于原点对称，所以 是非奇非偶函数； 因为，所以函数 在区间 上单调递增，所以 ，解得 。所以函数 在区间 上有最大值 9，最小值 ，则 ； 因为 ，所以 的图象关于点 对称。 考点：指数函数的单调性；函数的奇偶性；二次函数在某闭区间上的最值；函数的对称性。 点评：此题较为综合，考到的知识点较多。这就要求我们平常对每个知识点都要掌握熟练，属于中档题。 判断函数的奇偶性有两步：一求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称；二判断 与 的关系。若定义域
7、不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。 若 ，则 。 答案： 试题分析：因为 ，所以 1000. 考点：分段函数求函数值。 点评：对于分段函数求函数值，要分段代入。 函数 的值域是 。 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，所以，所以 。 考点：函数值域的求法；指数函数的性质。 点评：求函数的值域，最基本的方法是直接法。 若集合 是单元素集，则 。 答案： 试题分析：因为集合 是单元素集，所以 当 时， = ，不满足题意； 当 时，要满足题意需 : ,所以 。 考点：集合的表示方法：描述法；一元二次不等式的解法。 点评：解一元二次不等式的时候，若二次项系数不确定，一定要想着讨论二次项系数是否为
8、 0。 函数 的定义域是 。 答案： 试题分析：由 得： x0，所以函数的定义域为 。 考点：函数定义域的求法。 点评：对于求函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式。 已知 ，若有 ， ，则 的取值范围是 。 答案： 试题分析：因为 ， ，所以 ，即 。 考点：集合的性质。 点评：注意 的灵活应用，即 。 化简 的结果为 。 答案： 试题分析： = 。 考点：指数幂的运算；指数幂的运算法则。 点评：此题主要考查指数幂的运算法则，我们要熟练掌握指数幂的运算法则。 解答题 （本题 9分）已知集合 ， ，。 （ ）求集合 、 、 、 ； （ ）若 ，求 的取值范围。 答案：（ ） ； ； ； 。
9、（ ） 。 试题分析：（ ） ； ； ； 。 4分 （ ）因为 当 时， ，此时符合题意； 2分 当 时， 。 2分 综上， 。 1分 考点：集合的运算；集合间的关系。 点评：此题的第二问为易错题，其错误的主要原因为忘记了对 时的讨论。 （本题 9分）函数 是定义在 上的奇函数，当 时且 。 （ ）求 的值； （ ）求 的式。 答案：（ ） ， ；（ ） 。 试题分析：（ ）因为 是奇函数，所以 ， 2分 又 。 2分 （ ）设 ，则 1分 又因为 是奇函数， 所以 。 3分 所以 。 1分 考点：函数式的求法；函数的奇偶性。 点评：利用函数的奇偶性求函数的式，此类问题的一般做法是： “求谁设
10、谁 ”即在哪个区间求式， x就设在哪个区间内； 要利用已知区间的式进行代入； 利用 f(x)的奇偶性写出 -f(x)或 f(-x)，从而解出 f(x)。 （本题 9分）函数 （ ）判断并证明 的奇偶性； （ ）求证：在定义域内 恒为正。 答案：（ ） 是偶函数。（ ）根据奇偶性，只需证明 时，函数。 试题分析：（ ）判断： 是偶函数。 1分 证明： 的定义域为 关于原点对称 1分 对于任意 有 ，所以 是偶函数。 3分 （ ）当 时， 且 ，所以 2分 又因为 是偶函数， 所以当 时， 也成立。 2分 综上，在定义域内 恒为正。 考点：函数的性质：奇偶性。 点评：判断一个函数的奇偶性有两步：
11、求函数的定义域，判断函数的定义域关于原点对称； 判断 与 的关系。尤其是做大题时不要忘记求函数的定义域。 （本题 9分）已知函数 。 （ ）若 在 上的最小值是 ，试解不等式 ； （ ）若 在 上单调递增，试求实数 的取值范围。 答案：（ ） ；（ ） 。 试题分析：（ ）由已知得 在 上单调递增，所以 ， 2分 又 ，所以 ， 2分 所以 ，即不等式解集为 。 1分 （ ）因为 在 上单调递增， 所以 2分 或 2分 综上， 。 考点：二次函数的单调性；二次函数的最值；不等式的解法；函数的图像。 点评：数学结合是解决此类的常用方法。我们应熟练掌握函数 的画法：把 的图像 x轴下方的关于 x轴
12、翻到 x轴上方去即可得 的图像。 （本题 13分）已知函数 。 （ ）若 ，试判断并证明 的单调性； （ ）若函数 在 上单调，且存在 使 成立，求 的取值范围； （ ）当 时，求函数 的最大值的表达式 。 答案：（ ）用定义证明函数的单调性；（ ） ；（ ）。 试题分析：（ ）当 时， 在 上单调递增 1分 证明： 1分 则 2分 ， 在 上单调递增。 （ ）当 时， 由于 则 则当 时， ， 单调增； 当 时， ， 单调减。 所以，当 时， 在 上单调增； 2分 又存在 使 成立 所以 。 2分 综上， 的取值范围为 。 （ ）当 时， 由（ ）知 在区间 上单调递增， 1分 由（ ）知， 当 时， 在 上单调增， 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 又因为 在 上是连续函数 所以， 当 时， 在 上单调增，则 ； 当 时， 在 上单调增，在 上单调减，在 上单调增， 2分 则 综上， 的最大值的表达式 。 2分 考点：函数的单调性；函数的最值；基本不等式。 点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路 1： 在 上恒成立 相关试题 2013届浙江省桐乡一中高一上学期期中考试数学试卷（带）
