1、2013届海南省琼海市嘉积中学高三下学期第一次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 P 3， log2a， Q a， b，若 PQ 0，则 P Q=( ) A 3,0 B 3,0,1 C 3,0,2 D 3, 0,1,2 答案： B 试题分析：因为 ,所以 ，所以 ，故 . 所以 , ,故 . 考点：集合的运算 点评：解决本题的关键是能根据两集合的交集元素，分析出两集合的元素，属基础题 . 已知点 P是双曲线 C： 左支上一点， F1， F2是双曲线的左、右两个焦点，且 PF1 PF2， PF2与两条渐近线相交于 M， N两点（如图），点 N恰好平分线段 PF2，则双曲线的离心率是
2、 ( ) A B 2 C D 答案： A 试题分析：在三角形 中，点 N恰好平分线段 PF2，点 O恰好平分线段F1F2， ON PF1，又 ON的斜率为 ， tan PF1F2= ， 在三角形 中，设 PF2=bt PF1=at， 根据双曲线的定义可知 |PF2|-|PF1|=2a， bt-at=2a， 在直角三角形 F1F2P中， |PF2|2+|PF1|2=4c2， b2t2+a2t2=4c2， 由 消去 t，得 ，又 c2=a2+b2， a2=（ b-a） 2，即 b=2a， 双曲线的离心率 .选 A. 考点：双曲线的简单性质 点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定
3、义和基本知识的掌握，属于基础题 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由已知中正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形， 可得该几何体是有一个侧面 PAC垂直于底面，高为 ，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图 则这个几何体的外接球的球心 O在高线 PD上，且是等边三角形 PAC的中心， 这个几何体的外接球的半径 R= 则这个几何体的外接球的表面积为 .选 C. 考点：由三视图求面积 体积 点评：本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征是
4、解答本题的关键 关于函数 的四个结论： P1：最大值为 ； P2：最小正周期为 ； P3：单调递增区间为 Z； P4：图象的对称中心为 Z .其中正确的有 ( ) A 1 个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： C 试题分析： , 所以最大值为 ，最小正周期为 .所以 P1错， P2正确 .令，则 ，故 P3正确，令，所以 ，所以对称中心为 ， .故 正确 .故选 C. 考点：正弦函数的单调性；正弦函数的对称性；三角函数的最值 点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质，牢记基本知识，基本性质是解好数学题目的关键 函数 的导函数 的图象与 x轴所围 成的封闭图形的面积为 ( ) A 1n2
5、B 1n2 C 1n2 D 1n2 答案： A 试题分析： ,令 ，则 ，所以 dx= 1n2 .故 的图象与 x轴所围成的封闭图形的面积为 1n2,选 A. 考点：正弦函数的图象性质 点评：本题主要考查了正弦函数的图象的对称性，从而转化为熟悉的图象解决，体现了转化思想的运用，解答本题的关键是灵活运用性质，对问题灵活转化 在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对 (x, y） 的概率为 ( ) A B C D 答案： C 已知等差数列 的公差和等比数列 的公比都是 ，且 ， ，则 和 的值分别为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由题意 ， ，故 ,选 D. 考点：等差数
6、列的通项公式；等比数列的性质 点评：本题主要考查了等比数列的性质和等差数列的通项公式属基础题 对于函数 y=f（ x）， x R， “y=|f(x)|的图像关于 y轴对称 ”是 “y=f（ x）是奇函数 ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：当 “y=|f(x)|的图像关于 y轴对称 ”，则 的图像不一定关于原点对称，所以 不一定是奇函数，当 “y=f（ x）是奇函数 ”，则一定有，故图像关于 y轴对称 .即 “y=|f(x)|的图像关于 y轴对称 ”是“y=f（ x）是奇函数 ”的必要而不充分条件 ,故选 B. 考点：
7、偶函数图象的对称性；充要条件 点评：本题考查奇函数的定义、判断一个命题是另一个命题的条件问题常用判断是否相互推出，利用条件的定义得到结论 已知抛物线 （ p0）的准线与圆 相切，则 p的值为 ( ) A 10 B 6 CD 答案： C 试题分析：抛物线的准线方程为 ，又圆心为 ， ，依题意有 ，故 . 考点：圆与圆锥曲线的综合 点评：本题考查抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的灵活运用 下列命题正确的有 ( ) 的展开式中所有项的系数和为 0； 命题 :“ ”的否定 :“ ”； 设随机变量 服从正态分布 N(0, 1),若 ，则 ； 回归直线一定过样本点的中心（ ）。 A 1个
8、B 2个 C 3个 D 4个 答案： D 试题分析： 对，令 ，则 =0，故展开式所有项的系数为 0， 对，对于 ， 易知， ,所以 ，所以正确 . 由回归方程可知回归直线一定经过 ，故正确 .故选 D. 考点：命题的真假判断与应用；命题的否定；对数值大小的比较；线性回归方程 点评：本题考查了命题的真假判断，综合考查了相关问题的概念，如：回归直线方程与线性相关性，特称命题与全称命题，对数与指数的应用 设 是三个互不重合的平面， m， n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是 ( ) A B若 C若 D 答案： B 试题分析： A错， 还可能平行， B对， C错， 还可能在 内， D错，还可能
9、平行 ,故选 B. 考点：平面与平面之间的位置关系 点评：本题考查线线关系、线面关系中的平行的判定、面面关系中垂直的判定，要注意判定定理与性质定理的综合运用 . 如图在复平面内，复数 对应的向量分别是 则复数 的值是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：由题意， ， ，故 . 考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算 点评：本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义 填空题 对于三次函数 给出定义：设 是函数的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的 “拐点 ”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有 “拐点 ”；任何一个三
10、次函数都有对称中心，且 “拐点 ”就是对称中心。给定函数 ，请你根据上面探究结果，计算答案： 试题分析：由题意， ，所以 ， 令 ，解得 ，又 ，所以函数 的对称中心为 ， 所以 . 考点：导数的运算；函数的值；数列的求和 点评：正确求出对称中心并掌握对称中心的性质是解题的关键 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则数列 的前项和为 _ 答案： 试题分析： ,所以 ， ，又 ， 所以 ，所以 ， ，所以 ， 故 . 故当 时，前 100项和为 . 考点：数列的求和 点评：本题考查裂项相消法求和，解题的关键是知道如何列项，属中档题 . 从某小学随机抽取 100名同学，将他们的身高（单位：厘米）
11、数据绘制成频率分布直方图（如图）若要从身高在 120 , 130）， 130 ， 140) , 140 , 150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18人参加一项活动，则从身高在 140 ，150内的学生中选取的人数应为 答案：人 试题分析： 直方图中各个矩形的面积之和为 1， 10（ 0.005+0.035+a+0.02+0.01） =1， 解得 a=0.03 由直方图可 知三个区域内的学生总数为 10010（ 0.03+0.02+0.01） =60人 其中身高在 140， 150内的学生人数为 10人， 所以身高在 140， 150范围内抽取的学生人数为 人 考点：频率分布直方图 点评
12、：本题考查频率分布直方图的相关知识直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为 1同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的 . 若向量 ，且 ，则锐角 的大小是 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，所以 ，又 为锐角，故 . 考点：共线向量 点评：本题考查共线向量的坐标运算，记住公式是解题的关键，属基础题 . 解答题 以直角坐标系的原点 O为极点， 轴的正半轴为极轴，已知点 P的直角坐标为（ 1， -5），点 M 的极坐标为（ 4， ），若直线 过点 P，且倾斜角为 ，圆 C以 M为圆心， 4为半径。 （ I）求直线 的参数方程和圆 C的极坐标方程； （
13、II）试判定直线 与圆 C的位置关系。 答案：（ I） （ II）直线 与圆 C相离 试题分析：（ 1）直线 的参数方程 （上为参数） M点的直角坐标为（ 0， 4） 图 C半径 图 C方程 ， 得 代入得圆 C极坐标方程 . （ 2） 直线 的普通方程为 圆心 M到 的距离为 直线 与圆 C相离 . 考点：直线与圆的位置关系；直线的参数方程；圆的参数方程 点评：本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程，和普通方程的互化，直线与圆的位置关系，是中档题 如图 AB为圆 O直径， P为圆 O外一点，过 P点作 PC AB， 垂是为 C， PC交圆 O于 D点， PA交圆 O于 E点， BE交 PC于
14、 F点。 （ I）求证： PFE= PAB； （ II）求证： CD2=CF CP. 答案：（ I）证 PAB= PFE=90- P即可 . （ II）直角三角形 BCF 直角三角形 . 试题分析：（ 1） AB为直径， C在圆 O上， BC AC PC AB， PAC=90- P， PFC=90- P， PAB= PFE （ 2）连结 AD、 BD则 AD BD Rt ABD中 CD2=AC CB 又直角三角形 BCF 直角三角形 PCA所以 ， CD2=PC CF. 考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切
15、点的半径也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理得推理以及三角形相似的判定与性质 已知函数 （ ）当 时 , 求函数 的单调增区间； （ ）求函数 在区间 上的最小值； （ ） 在（ ）的条件下，设 , 证明： .参考数据： 答案：（ ） （ ） （ ）用放缩法证明 . 试题分析： ( )当 时， ， 或 。函数 的单调增区间为 ( ) ，当 ， 单调增。 当 ， 单调减 . 单调增。当 ， 单调减，（ ）令 ， , 即 , ，考点：利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究函数的单调性 不等式的证明 点评：本题考查函数的单调区间和函数的最小值的求法，而利用单调性证明不等式是难题解题时要认真
16、审题，仔细解答 平面内与两定点 连线的斜率之积等于非零常数 的点的轨迹，加上 两点，所成的曲线 可以是圆，椭圆或双曲线 （ ）求曲线 的方程，并讨论 的形状与 值的关系 ; （ ）当 时，对应的曲线为 ；对给定的 ，对应的曲线为，若曲线 的斜率为 的切线与曲线 相交于 两点，且 （为坐标原点），求曲线 的方程 答案：（ ）当 曲线 的方程为 ， 是焦点在 轴上的椭圆； 当 时，曲线 的方程为 ， 是圆心在原点，半径为 2的圆； 当 时，曲线 的方程为 ， 是焦点在 轴上的椭圆； 当 时，曲线 的方程为 ， 是焦点在 轴上的双曲线 （ ） . 试题分析：（ I）设动点为 M，其坐标为 ， 当 时
17、，由条件可得 ， 即 ，又 的坐标满足 ，故依题意，曲线 的方程为 当 曲线 的方程为 ， 是焦点在 轴上的椭圆； 当 时，曲线 的方程为 ， 是圆心在原点，半径为 2的圆； 当 时，曲线 的方程为 ， 是焦点在 轴上的椭圆； 当 时，曲线 的方程为 ， 是焦点在 轴上的双曲线 （ ）曲线 ； ， ： ， 设圆 的斜率为 的切线 和椭圆 交于 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）两点，令直线 AB的方程为 ， 将其代入椭圆 的方程并整理得 由韦达定理得 因为 ，所以 将 代入 并整理得 联立 得 ，因为直线 AB和圆 相切，因此 ， ， 由 得 所以曲线 的方程 ，即 考点：直线与圆锥
18、曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题 点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查圆锥曲线的轨迹问题，突出化归思想、分类讨论思想、方程思想的考查，综合性强，难度大，属于难题 如图 ,四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是平行四边形， ACB 90，平面PAD 平面 ABCD， PA=BC=1， PD=AB= ,E、 F分别为线段 PD和 BC的中点 （ ） 求证： CE 平面 PAF； （ ）在线段 BC上是否存在一点 G，使得平面 PAG和平面 PGC所成二面角的大小为 60？若存在，试确定 G的位置；若不存在，请说明理由 答案：（ ）先证明 EC HF即可 （ ）存在 试题分析：（ 1
19、）取 PA中点为 H，连结 CE、 HE、 FH， 因为 H、 E分别为 PA、 PD的中点，所以 HE AD, , 因为 ABCD是平行四边形，且 F为线 段 BC的中点 , 所以 FC AD, 所以 HE FC, 四边形 FCEH是平行四边形 ,所以 EC HF 又因为 所以 CE 平面 PAF. （ 2）因为四边形 ABCD为平行四边形且 ACB 90， 所以 CA AD ,又由平面 PAD 平面 ABCD可得 CA 平面 PAD , 所以 CA PA , 由 PA=AD=1， PD= 可知， PA AD, 所以可建立如图所示的平面直角坐标系 A-xyz, 因为 PA=BC=1， AB=
20、 所以AC=1 . 所以 . 假设 BC上存在一点 G，使得平面 PAG和平面 PGC所成二面角的大小为 60， 设点 G的坐标为（ 1， a， 0）， 所以 设平面 PAG的法向量为 ， 则 令 所以 ， 又 设平面 PCG的法向量为 ， 则 令 所以 ， 因为平面 PAG和平面 PGC所成二面角的大小为 60，所以 所以 又 所以 , 所以线段 BC上存在一点 G，使得平面 PAG和平面 PGC所成二面角的大小为60. 点 G即为 B点 . 考点：直线与平面平行 二面角 点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生的计算能力，正确作出面面角是关键 生产 A， B两种元件，其质量按测试指标划
21、分为：指标大于或 等于 为正品，小于 为次品现随机抽取这两种元件各 件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件 A 元件 B （ ）试分别估计元件 A，元件 B为正品的概率； （ ）生产一件元件 A，若是正品可盈利 40元，若是次品则亏损 5元；生产一件元件 B，若是正品可盈利 50元，若是次品则亏损 10元 .在（ ）的前提下， （ ）记 为生产 1件元件 A和 1件元件 B所得的总利润，求随机变量 的分布列和数学期望； （ ）求生产 5件元件 B所获得的利润不少于 140元的概率 答案：（ ） （ ）（ ） 66 （ ） 试题分析：（ ）解：元件 A为正品的概率约为 元件 B为正品的概
22、率约为 （ ）解：（ ）随机变量 的所有取值为 ； ； ； 所以，随机变量 的分布列为 : （ ）设生产的 5件元件 B中正品有 件，则次品有 件 . 依题意，得 ， 解得 所以 ，或 设 “生产 5件元件 B所获得的利润不少于 140元 ”为事件 ， 则 考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式是解题的关键 在公比为 的等比数列 中， 与 的等差中项是 . （ ）求 的值； （ ）若函数 ， ，的一部分图像如图所示， 为图像上的两点，设 ，其中 与坐标
23、原点重合， ，求 的值 . 答案：（ ） （ ） 试题分析： （ ） ， （ ） 点 在函数 的图像上， ，又 ， 如图，连接 ，在 中，由余弦定理得 又 考点：余弦定理；两角和与差的正切函数 点评：本题考查余弦定理的应用两角和与差的正切函数，三角函数的式的求法，考查计算能力，转化思想 已知函数 （ I） 解关于 的不等式 ； （ II）若函数 的图象恒在函数 的上方，求实数 的取值范围。 答案：（ I） ( ),其中（ ） . （ II） 试题分析：（ 1） 所以 ， 当 时 , 无解 , 当 ， 所以 ， 不等式解集为（ ），其中（ ） . （ 2） 图象恒在图象上方，故 , 设 , 做出 图象得出当 时， 取得最小值 4， 故 时 图象在 图象上方 . 考点：不等式 函数的性质 点评：本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题
