1、2013届湖北省仙桃市沔州中学高三上学期第三次考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 是 的三内角，则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：因为三角形 ABC中， ,所以由 “ ”可得“ ”；反之， “ ”可推出 “ ”，故 “ ”是 “ ”的充要条件，选 C。 考点：本题主要考查充要条件的概念。 点评：简单题，注意三角形中对角的限制。 定义域为 R的函数 ，若关于 的方程恰有 5个不同的实数解 ，则（ ） A 4 B 10 C 12 D 16 答案： B 试题分析：画出函数 的图象， 它关于 x=2对称
2、，函数值域为（ 0， +）。 因为关于 的方程 恰有 5个不同的实数解 ，令，所以关于 t的方程 ，应有两正根，且 t=1或 t0且 t 1. 所以 ，即 10，故选 B。 考点：本题主要考查分段函数的式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断 点评：画出函数 的图象，根据图象我们可以判断出关于 x的方程 f2（ x） +bf（ x） +c=0有 5个不同的整数解 时，所满足的条件是解答本题的关键 O是 所在平面内一点，且满足 ，则点 O是 的（ ） A三条内角平分线交点（即内心） B三边的垂直平分线交 点（即外心） C三条高线的交点（即垂心） D三条中线交点（即重心） 答案： C 试题分
3、析： ； OB AC， 同理可得到 OA BC 点 O是 ABC的三条高的交点 故选 C。 考点：本题主要考查平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用 点评：简单题，两向量垂直，则它们的数量积为 0. 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，向量 （ sinA， bc）， （ a-c， sinC-sinB），满足 ，则角 B ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为 所以 （ sinA， b c） （ a-c， sinC-sinB） =0， 即（ a-c） sinA+（ b c）（ sinC-sinB） =0， 由正弦定理得（ a-c） a +（ b c）（
4、c- b） =0,即 ， 所以 cosB= = ，又 ，所以角 B ，选 B。 考点：本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，正弦定理，余弦定理，三角恒等变换 点评：综合题，两向量垂直，则它们的数量积为 0. 设数列 的前 n项和为 ，令 ，称 为数列 ， ， 的 “理想数 ”，已知数列 ， ， ， 的 “理想数 ”为 2004，那么数列 2， ， ， ， 的 “理想数 ”为（ ） A 2002 B 2004 C 2006 D 2008 答案： A 试题分析：新的数列的理想数即为 =2002 故选 A 考点：本题主要考查新定义及数列的求和。 点评：创新题，理解题意是关键。 等比数列 表示它的前
5、n项之积，即 则 中最大的是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由已知 ， 所以 = = ，要 最大，则 应为正， 应为偶数 2k， n(n-1)=4k， n、 n-1中必有一奇一偶，因此n是 4的倍数或 n-1是 4的倍数。 = = = ， 随 增大而增大，又 n是 4的倍数或 n-1是 4的倍数，当 n=9时， n-1=9-1=8是 4的倍数。此时， 有最大值 90， 此时， = 。 中最大的是 ，故选 B 考点：布置图主要考查等比数列的通项公式，二次函数的图象和性质。 点评：综合题，能将 化为 = = = ，并发现随 增大而增大，又 n是 4的倍数或 n-1是 4的倍数，当
6、n=9时，n-1=9-1=8是 4的倍数是解题的关键。 已知 M是曲线 上的任一点，若曲线在 M点处的切线的倾斜角均不小于 的锐角，则实数 a的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：函数定义域为（ 0， ），曲线 在 M点处的切线的斜率，就是函数在此点的导数值。倾斜角均不小于 的锐角 ,所以斜率 k满足 ，由 K= 恒成立，且 ，所以，故 C。 考点：本题主要考查导数的计算，导数的几何意义，三角函数性质，均值定理的应用。 点评：综合题，恒成立问题，往往要转化成求函数的最值， 本题由 K= 恒成立，转化得到 恒成立。 已知 中， 则 等于（ ） A B C D 答案： C 试题
7、分析：由余弦定理得 ，所以 =，故选 C。 考点：本题主要考查向量的数量积，余弦定理的应用。 点评：简单题，利用余弦定理首先求得 cosA是关键。 若不等式 对一切 恒成立，则实数 取值的集合( ) A B C D 答案： C 试题分析： a=2时，不等式成立； 时，不等式 对一切 恒成立， 须 ，解得 ；综上知 ，故选 C。 考点：本题主要考查二次不等式恒成立问题。 点评：易错题，忽视二次项系数是否为 0的讨论。 等差数列 中， 那么 的值是（ ） A 12 B 24 C 16 D 48 答案： B 试题分析：根据 Sn= 因为 n=10， =120 所以 120= ，所以 =24，故选 B
8、。 考点：本题主要考查等差数列的性质及求和公式。 点评：基础题，灵活运用等差数列的性质，能简化解题过程。 填空题 已知 4个命题： 若等差数列 的前 n项和为 则三点 共线； 命题： “ ”的否定是 “ ”； 若函数 在（ 0， 1）没有零点，则 k的取值范围是 是定义在 R 上的奇函数， 的解集为（ 2，2） 其中正确的是 。 答案： 试题分析： ，设等差数列的公差为d， ， 即 前两个点连线的斜率等于后两个点连线的斜率，故三点共线，故 正确 根据命题的否定的定义， “ x R， x2+1 3x”的否定是 “ x R， x2+13x”；是正确的，故 正确 函数 在（ 0， 1）没有零点，故
9、f（ x） =1+ 0，所以函数在（ 0， 1）内是增函数， x- 0，当 k2时，函数有零点， 不正确 f（ x）是定义在 R上的奇函数， f（ x） 0，且 f（ 2） = ，所以 x 0时，函数是恒为正值， f（ 0） =0， x 0时函数为负值， 2f（ 2） =1，则 xf（ x） 1的解集为（ -2， 2）正确 故答案：为： 考点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性；命题的否定；函数零点的判定定理；三点共线 点评：综合题，考查三点共线，命题的否定，零点，导数与不等式的知识，考查知识的灵活应用能力，属中档题 如图，在 中， 于 ， 为 的中点，若，则 答案： 试题分析： = 1+x
10、=2， 2=-x， += 。故答案：为 。 考点：本题主要考查向量的线性运算，平面向量的基本定理及其意义。 点评：利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得 1+x=2， 2=-x，是解题的关键。 把形如 的正整数表示成各项都是整数，公差为 2的等差数列前 项的和，称作 “对 的 项分划 ”，例如： ，称作 “对9的 3项分划 ”； 称作 “对 64的 4项分划 ”，据此对 324的 18项分划中最大的数是 答案： 试题分析：观察 “对 9的 3项分划 ”： 3个数的平均数为 =3， 最大项为 3+3-1， “对 64的 4项分划 ”： 4个数的平均数为 =16， 最大项为 16+4-1
11、=19， 据此可以猜想： “对 X的 M项分划 ”的 M数的平均数为 =N，则其中最大的数为 M+N-1 “对 324的 18项分划 ”的 18数的平均数为 =18， 故其中最大的数为 18+18-1=35 故答案：为 35. 考点：本题主要考查归纳推理；等差数列的性质 点评：归纳推理的一般步骤是：（ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 已知 过点 可作曲线 的三条切线，则 的取值范围是 答案： 试题分析：设切点为 (t,t3-3t)，因为 =3x2-3, 则切线方程为 y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t 整理得 y=(3
12、t2-3)x-2t3 把 A(1,m)代入整理得 :2t3-3t2+m+3=0 因为 可作三条切线 ,所以 有三个解 记 g(t)=2t3-3t2+m+3 则 =6t2-6t=6t(t-1) 所以当 t=0时 ,极大值 g(0)=m+3, 当 t=1时 ,极小值 g(1)=m+2 要使 g(t)有三个零点 ,只需 m+30且 m+20,解得 -3m-2， 故答案：为 。 考点：本题主要考查导数的几何意义。 点评：基础题，过曲线上点的切线斜率，就是函数在该点的导数值。 设等比数列 的公比为 q，前 n项和为 S-n，若 Sn+1,S-n， Sn+2成等差数列，则 q的值为 答案： 2 试题分析：
13、设等比数列 an的公比为 q，前 n项和为 Sn，且 Sn+1， Sn， Sn+2成等差数列，则 2Sn=Sn+1+Sn+2 若 q=1，则 Sn=na1，式显然不成立 若 q1，则 = + 故 2qn=qn+1+qn+2，即 q2+q-2=0，因此 q=-2 考点：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的前 n项和公式。 点评：涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类讨论，属中档题 设 都是单位向量，且 与 的夹角为 ，则 答案： 试题分析： 都是夹角为 60的单位向量， ，。 考点：本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算律；向量的模 点评：已知夹角为 60度的两个单位向量，求它们
14、和的长度，主要运用平面向量数量积性质及运算和向量模的公式等知识，基础题 在数列 = 答案： 试题分析： 用数学归纳法证明： 当 n=1时， a1=2+ln1，成立 假设当 n=k时等式成立，即 ak=2+lnk， 则当 n=k+1时， 由 知， an=2+lnn 故答案：为： 2+lnn 考点：本题主要考查数列的递推公式 点评：解题时要注意总结规律合理地进行猜想。 解答题 在 中 ，角 所对的边分别为 ，且满足 ，（ 1）求 的面积； （ 2）若 ，求 的值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1） ， ， 由 得 ， （ 2）对于 ，又 ， 或 ， 由余弦定理得 ， 考点：考点：本题主要
15、考查三角恒等变换，正弦定理及余弦定理的应用。 点评：典型题，综合考查了三角恒等变换，正弦定理及余弦定理的应用，能较好地考查学生的计算能力。 已知数列 为递减的等差数列， 是数列 的前 项和，且. 求数列 的前 项和 令 ，求数列 的前 项和 答案： 当 时， ； 试题分析： ，又 ， ， ， ， 当 时， ； 考点：本题主要考查等差数列的概念及其通项公式，数列的求和。 点评：典型题， “裂项相消法 ”求数列的前 n项和属于常考题目，本题解答首先确定数列的通项公式是关键。 设函数 = （ 为自然对数的底数）， ，记 （ 1） 为 的导函数，判断函数 的单调性，并加以证明； （ 2）若函数 =0有
16、两个零点，求实数 的取值范围 答案：（ 1） 在 上单调递增（ 2）实数 a的取值范围是（ 0，2）。 试题分析：（ 1） ， ， 令 ，则 ， 在 上单调递增，即 在 上单调递增 （ 2）由（ 1）知 在 上单调递增，而 ， 有唯一解 ， 的变化情况如下表所示： x 0 - 0 递减 极小值 递增 又 函数 有两个零点， 方程 有两个根，即方程 有两个根 而 ， ， 解得 所以，若函数 有两个零点，实数 a的取值范围是（ 0， 2） 考点：本题主要考查了导数的运算，导数在函数单调性中的应用，函数零点。 点评：中档题，利用导数研究函数单调区间，进一步判断函数零点情况，提供了解答此类问题的一般方
17、法。 某工厂每天生产某种产品最多不超过 40件，并且在生产过程中产品的正品率 与每日生产产品件数 ( )间的关系为 ，每生产一件正品盈利 4000元，每出现一件次品亏损 2000元 . （注：正品率 =产品的正品件数 产品总件数 100%） （ 1）将日利润 （元）表示成日产量 （件）的函数； （ 2）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值 . 答案：（ 1） y=- +3600 （ 1x40） （ 2）该厂的日产量为 30件时，日利润最大，其最大值为 72000元 试题分析：（ 1） =3600 - 所求的函数关系是 y=- +3600 （ 1x40） （ 2）显然 令
18、y=0，解得 x=30. 函数 y=- +3600x（ x N*， 1x40）在 上是单调递增函数， 在 上是单调递减函数 . 当 x=30时，函数 y=- +3600x（ x N*， 1x40）取最大值， 最大值为 - 303+360030=72000（元） . 该厂的日产量为 30件时，日利润最大，其最大值为 72000元 考点：本题主要考查函数模型，导数的应用。 点评：典型题，通过构建函数模型利用导数加以解决，这是近些年来高考考查的 重要题型之一。 设函数 （ 1）若 , 求 的值； 的最小值。 （参考数据 ） (2) 当 上是单调函数，求 的取值范围。 答案：（ 1） ； （ 2） 试题分析：（ 1） ， 处取得极值， 即 在 存在 ,使得不等式 成立 ,只需 由 当 时 , ,故 在 递减 ; 当 时 , ,故 在 递增 ; 当 时 , ,故 在 递减 ; 是 在 上的极小值 . 且 ， （ 2）当 ， ； 当 时， ， ， 从面得 ; 综上得， 考点：本题主要考查了导数的运算和导数在函数单调性、求极（最值）值中的应用。 点评：较难题，利用导数求函数单调区间、求函数的极（最）值问题，与不等式的考查结合在一起，解题时注意对数函数的定义域，避免出错。
