1、2013届湖北省八市高三 3月联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 ， 是虚数单位，且 ，则 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析：因为根据题意，由于 ， 是虚数单位，且 ，根据复数相等的定义可知， a=1,b-2=1,b=3，故 a+b=4,选 D. 考点：复数的概念 点评：对于复数的等式问题，主要是利用复数相等的条件来解。属于基础题 已知函数 ， ,则函数 的零点个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 答案： A 试题分析：根据题意，由于函数 ，那么可知函数的零点，即为 f(f(x)+1=0的解得个数，因为结合图像可知，满足f(f(x)=-1,则可知 f(x
2、)=-2,或者 f(x)= ，因此可知满组每个方程的解有 2个，则可知解有 4个，故选 A.。 考点：函数零点 点评：解决函数零点的问题，一般考查运用数形结合思想来解答，属于中档题。 从 （其中 ）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在 轴上的双曲线方程的概率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由于 m和 n的所有可能取值共有 33=9个，其中有两种不符合题意，故共有 7 种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在 x 轴上的双曲线的选法，即 m和 n都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可的其概率 . 设（ m， n）表示 m， n的取值组
3、合，则取值的所有情况有（ -1， -1），（ 2， -1），（ 2， 2），（ 2， 3），（ 3， -1），（ 3， 2），（ 3， 3）共 7个，（注意（ -1， 2），（ -1， 3）不合题意）其中能使方程是焦点在 x 轴上的双曲线的有：（ 2， 2），（ 2， 3），（ 3， 2），（ 3， 3）共 4个， 此方程是焦点在 x轴上的双曲线方程的概率为 ，选 B. 考点：古典概型，双曲线的方程 点评：本题 考查了古典概型概率的求法，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，列举法计数的技巧，准确计数是解决本题的关键。 莱因德纸草书（ Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有
4、这样的一道题目：把 个面包分给 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小的 份为 A B C D 答案： A 试题分析：设五个人所分得的面包为 a-2d， a-d， a， a+d， a+2d，（ d 0）；则由五个人的面包和为 100，得 a的值；由较大的三份之和的 ，较小的两份之和，得 d的值；从而得最小的 1分 a-2d的值 五个人所分得的面包为 a-2d， a-d， a， a+d， a+2d，（其中 d 0） 则，（ a-2d） +（ a-d） +a+（ a+d） +（ a+2d） =5a=100， a=20； 由 （ a+a+d+a+2d） =a-2d
5、+a-d，得 3a+3d=7（ 2a-3d）； 24d=11a， d=55/6； 所以，最小的 1分为 a-2d=20- = ，选 A 考点：等差数列 点评：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7名学生参加 数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100分）的茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 的值为 A B C D 168 答案： B 试题分析：根据茎叶图分别写出两组数据，由平均数公式求出 x， 83是乙班 7名学生成绩的中位数，所以 83应是 7个成绩从小到大排列后的中间位
6、置上的数，据此可求出 y 由茎叶图可得甲班 7名学生的成绩为： 79， 78， 80， 80+x， 85， 92， 96； 乙班 7名学生的成绩为： 76， 81， 81， 80+y， 91， 91， 96； 由 = 79+78+80+(80+x)+85+92+96=85，得： x=5， 因为乙班共有 7名学生，所以中位数应是 80+y=83，所以 y=3， 所以 x+y=8，故答案：为 B 考点：茎叶图 点评：求中位数和平均数的关键是根据定义仔细分析另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这一点一定要注意，此题是基础题。 设 ，函数 的导函数是 ，且 是奇函数，则 的值为 A BC D答案： C 试
7、题分析：根据题意，由于函数 的导函数是 ，且 是奇函数，则可知 故选 C 考点：函数的奇偶性，导函数 点评：理解奇函 数在给定的 x=0处函数值为零，是解决试题的关键，基础题 不等式组 表示的平面区域是 A矩形 B三角形 C直角梯形 D等腰梯形 答案： D 试题分析：不等式组 那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为等腰梯形，故选 D. 考点：二元一次不等式与区域 点评：本题考查二元一次不等式与区域的对应，解题的关键是熟练掌握判断规则，并能作出正确的图形，作图时要注意边界的存在与否选择边界是实线还是虚线 平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 A B C 4 D 12 答案： B 试题分析：根
8、据题意 ，平面向量 与 的夹角为 ， ， 则对于 ，故选B. 考点：向量的数量积 点评：根据向量的数量积性质，一个向量的模的平方就是其向量的平方，来求解，属于基础题 . 已知直线 ，若直线 ，则直线 的倾斜角为 A B C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于直线垂直的时候，斜率之积为 -1，则可知 直线 ，若直线 ，说明直线 的倾斜角为 ，故选 D. 考点：直线的倾斜角 点评：理解直线的倾斜角的范围是大于等于零小于 180度，是解题的细节，易错点就是忽略范围，属于基础题。 已知命题 ，那么命题 为 A B C D 答案： C 试题分析：全称命题的否定是特称命题，直接写出 p即可 . “全
9、称命题 ”的否定一定是 “存在性命题 ”， 命题 p： x R， ，那么命题 p： x R， 故选 C 考点：全称命题 点评：命题的否定即命题的对立面 “全称量词 ”与 “存在量词 ”正好构成了意义相反的表述基本知识的考查 填空题 下表中数阵为 “森德拉姆素数筛 ”，其特点是每行每列都成等差数列，记第行第 列的数为 ，则： （ ） ； （ ）表中数 共出现 次 答案：（ ） ,（ ） 试题分析：利用观察法及定义可知第 1行数组成的数列 A1j（ j=1， 2，）是以 2为首项，公差为 1的等差数列，进一步分析得知第 j列数组成的数列 A1j（ i=1，2，）是以 j+1为首项，公差为 j的等差
10、数列，同时分别求出通项公式，从而从而得知结果。 第 i行第 j列的数记为 Aij那么每一组 i与 j的解就是表中一个数 因为第一行数组成的数列 A1j（ j=1， 2，）是以 2为首项，公差为 1的等差数列， 所以 =2+（ j-1） 1=j+1， 所以第 j列数组成的数列 A1j（ i=1， 2，）是以 j+1为首项，公差为 j的等差数列， 所以 令 =ij+1=2010，故可知 82，表中数 +1=82， =81= ,共出现了 5次。 考点：等差数列 点评：此题考查行列模型的等差数列的求法，运用所学的等差数列和等比数列来求解通项公式是解题的关键，属于中档题。 已知实数 ，若执行如下左图所示
11、的程序框图，则输出的 不小于 47的概率为 . 答案： 试题分析：设实数 x 0， 10， 经过第一次循环得到 x=2x+1， n=2 经过第二循环得到 x=2（ 2x+1） +1， n=3 经过第三次循环得到 x=22（ 2x+1） +1+1， n=3此时输出 x 输出 的值为 8x+7 令 8x+7 47得 x 5 由几何概型得到输出的 x不小于 47的概率为 P= ，故答案：为 考点：程序框图 点评：解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为 . 答案： 试题分析：视图复原几何体是长方体的
12、一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值 如图所示 设 AC= ,BD=1， BC=b,AB=a 设 CD=x， AD=y,则 当且仅当 a=b=2时取得等号，此时 体积为 ,故答案：为 考点：三视图的运用。 点评：本题考查三视图求体积，考查基本不等式求最值，是中档题而构造函数是个解题的突破口。 某地区恩格尔系数 与年份 的统计数据如下表 : 年份 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数 (%) 47 45.5 43.5 41 从散点图可以看出 与 线性相关，且可得回归直线方程为 ，据此模型可预测 2013年该地区的恩格尔系数 (%)为 答案： 试题分析：由线性回归直
13、线方程中系数的求法，我们可知样本中心点在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出中心点，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的 b值，根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的 x的值，预报出 2012年该地区的恩格尔系数，这是一个估计值 由表格可知 直线过点 ，代入方程中可知 b=2，当 x=2013时，则该地区的恩格尔系数是 2013 （ -2） +4055.5=29.25 考点：回归方程 点评：本题考查回归方程过定点 ，考查待定系数法的运用，基础题。 某高三年级 有 名同学，将他们的身高（单位： cm）数据绘制成频率分布直方图（如图），若用分层抽样的方法选取 人参加
14、一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为 . 答案： 试题分析：根据由已知中频率分布直方图的组距为 10， 身高在 140， 150）， 150， 160）， 170， 180 180， 190的矩形高为 0.0050， 0.035， 0.020,0.010 故身高在 140， 150）， 150， 160）， 160， 170的频率为 0.05， 0.35， 0.30 故分层抽样的方法选取 30人参加一项活动，则在 从身高在 160， 170）内的学生中选取的人数应为 30 0.3=9，故答案：为 9. 考点：频率分布直方图 点评：根据直方图求解频数问题，关键是求解该组的频率，结合方形的
15、面积为频率，得到结论，属于基础题。 已知 ，且 ，则 答案： 试题分析：根据题意，由于 ，且 ，则说明角在第二象限，则可知正弦值为正数，那么结合平方关系可知， ，故答案：为 。 考点：同角三角关系式 点评：解决同角的函数值的求解 ，关键是根据三角函数的符号，确定出角的范围，进而利用平方关系求解，易错点就是多解，基础题。 已知集合 ， ，则 答案： 试题分析：根据集合补集定义可知，集合 ， ，则集合 M的补集为属于全集，但是不属于集合 M的元素组成的，故 ，故填写 。 考点：补集的运算 点评：解决该试题的关键是利用补集的定义 ，准确的表示出集合，基础题。 解答题 （本小题满分 12分）已知 A、
16、 B、 C为 的三个内角且向量 共线。 （ ）求角 C的大小： （ ）设角 的对边分别是 ，且满足 ，试判断的形状 答案： (1) (2) 为等边三角形 试题分析：（ ）（ ） 与 共线 3 分 得 4 分 C= 6 分 （ ）方法 1：由已知 （ 1） 根据余弦定理可得： （ 2） 8 分 （ 1）、（ 2）联立解得： 10 分 为等边三角形， 12 分 方法 2： 由正弦定理得： 8 分 ， 在 中 . 10 分 为等边三角形 12 分 方法 3：由（ ）知 C= ，又由题设得： ， 在 中根据射影定理得： 8 分 10 分 又 . C= ， 所以 为等边三角形， 12 分 考点：考查了解
17、三角形运用。 点评：解决该试题的关键是对于向量共线以及两角和差的三角关系式的变形求解，同时能结合三角形的两个定理来确定形状，属于基础题。 （本小题满分 12分）在等差数列 中， ， （ ）求数列 的通项公式； （ ）设数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，求 的前 项和 答案： (1) (2) 当 时， ,当 时， 试题分析：（ ）设等差数列 的公差是 依题意 ，从而 2分 所以 ，解得 4 分 所以数列 的通项公式为 6 分 （ ）由数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 得 ，即 ， 所以 8 分 所以 10 分 从而当 时， ； 11 分 当 时， 12 分 考点：等差数列的通项公式，以
18、及数列的求和运用。 点评：解决该试题的关键是能结合已知中等差数列的项的关系式，解方程组得到通项公式。同时能利用分组求和法得到和，易错点是对于 c是否为 1，进行分类讨论，中档题。 （本小题满分 13分）如图所示，四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， 是棱 上的动点 （ ）若 是 的中点，求证： /平面 ； （ ）若 ，求证： ； （ III）在（ ）的条件下，若 ，求四棱锥 的体积 答案：（ 1）根据底面 为菱形， 所以 为 的中点 因为 是 的中点，所以 从而得证。 （ 2）根据已知的条件得到 平面 ，然后结合线面垂直的性质定理得到结论 （ 3） 试题分析：（ ）证明 :连结 ，交 于 因为
19、底面 为菱形， 所以 为 的中点 因为 是 的中点，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 4 分 （ ）证明：因为底面 为菱形， 所以 ， 为 的中点 因为 ，所以 因为 ，所以 平面 因为 平面 ， 所以 8 分 （ ）因为 ，所以 为等腰三角形 因为 为 的中点，所以 由（ ）知 ，且 ， 所以 平面 ，即 为四棱锥 的高 因为四边形是边长为 2的菱形，且 ， 所以 所以 12 分 考点：线面平行，线线垂直，体积的问题 点评：解决该试题的关键是利用空间的线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理来证明平行与垂直同时根据等体积法来求解体积。属于中档题。 （本大题满分 14分） 已知 的
20、两个顶点 的坐标分别是 ， ，且 所在直线的斜率之积等于 （ ）求顶点 的轨迹 的方程，并判断轨迹 为何种圆锥曲线； （ ）当 时，过点 的直线 交曲线 于 两点，设点 关于轴的对称点为 ( 不重合 )求证直线 与 轴的交点为定点，并求出该定点的坐标 答案： (1) (1) 当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去两点； 当 时 轨迹 表示以 为圆心半径是的圆，且除去 两点； 当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去 两点； 当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的双曲线，且除去 两点 (2) 直线 过定点 试题分析：（ ）由题知： 化简得： 2 分 当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除
21、去 两点； 当 时 轨迹 表示以 为圆心半径是的圆，且除去 两点； 当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去 两点； 当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的双曲线，且除去 两点； 6 分 （ ）设 依题直线 的斜率存在且不为零，则可设 : ， 代入 整理得 ， ， 9 分 又因为 不重合，则 的方程为 令 ， 得 故直线 过定点 . 13 分 解二：设 依题直线 的斜率存在且不为零，可设 : 代入 整理得： , ， 9 分 的方程为 令 ， 得 直线 过定点 13 分 考点：考查了圆锥曲线方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系 点评：解决含参数的曲线方程的问题，主要是关注我们方程的特点来分类讨论得到
22、，同时能结合设而不求的思想求解坐标，进而求解直线方程，属于中档题。 （本小题满分 14分）已知函数 ，其中 （ ）求 在 上的单调区间； （ ）求 在 （ 为自然对数的底数）上的最大值； （ III）对任意给定的正实数 ，曲线 上是否存在两点 、 ，使得是以原点 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 轴上？ 答案： (1) 在 上的单调减区间为 ， ：单调增区间为(2) 在 上的最大值为 2 (3) 对任意给定的正实数 ，曲线 上存在两点 ，使得 是以 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 轴上 试题分析：（ ）因为 当 时， ， 解 得到 ；解 得到 或 所以 在 上的单调减
23、区间为 ， ：单调增区间为 4 分 （ ） 当 时，由（ ）知在 和 上单调递减，在上单调递增，从而 在 处取得极大值 又 ，所以 在 上的最大值为 2 6 分 当 时， ，当 时， 在 上单调递增，所以 在上的最大值为 所以当 时， 在 上的最大值为 ；当 时，在 上的最大值为 2. 8 分 （ ）假设曲线 上存在两点 ，使得 是以 为直角顶点的直角三角形，则 只能在 轴的两侧，不妨设 ，则 ，且 9 分 因为 是以 为直角顶点的直角三角形，所以 ， 即： （ 1） 10 分 是否存在点 等价于方程（ 1）是否有解 若 ，则 ，代入方程（ 1）得： ，此方程无解 .11分 若 ，则 ，代入方程（ 1）得到： 12 分 设 ，则 在 上恒成立所以 在上单调递增，从而 ，即有 的值域为 相关试题 2013届湖北省八市高三 3月联考文科数学试卷（带）
