1、2013届湖北省八市高三三月调考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 的共轭复数是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： ， 复数 的共轭复数是 ，故选 C. 考点：复数的运算，共轭复数 . 抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，弦 中点在准线 上的射影为 ，则 的最大值为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：如图， 过点 作 于 ， 过点 作 于 ， 在 中，由余弦定理， ， ， 即 ，由抛物线的定义，有 ， ， ， 的最大值为 ，当且仅当 取得最大值 . 考点：考查抛物线的性质，余弦定理，均值不等式 . 已知函数 ，则函数 的零点个数是 ( ) A 4 B 3
2、 C 2 D 1 答案： A 试题分析： 函数 有两个零点 . 函数 的图象由下面四个函数组成， ， ， ，而这四个函数都只有一个零点，故函数 由 4个零点，选 A. 考点：考查函数的零点，分段函数，对数函数的性质，复合函数 . 莱因德纸草书（ Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把 个面包分给 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小 份为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：设这个等差数列为 ，且这 5 项分别为 ，由条件 得 ， ，又使较大的三份之和的是较小的 两份之和， ，解得 ，则数列的最小项为
3、，故选 C. 考点：等差数列的性质在实际生活中的运用 . 下列结论正确的是 ( ) “ ”是 “对任意的正数 ，均有 ”的充分非必要条件 随机变量 服从正态分布 ，则 线性回归直线至少经过样本点中的一个 若 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其 平均数为 ,中位数为 ,众数为 ，则有 A B C D 答案： D 试题分析：对 当 时，由于 ， ，当且仅当，即 成立；若 ，当 也成立，则 “ ”是 “对任意的正数 ，均有 ”的充分非必要条件 . 对 ，由随机变量 服从正态分布 ，则 ，故 错误 . 对 ，线性回归直线的样本点的
4、坐标只有一个，即 ，故 错误 . 对 ，数据 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12中， 平均数 ， 中位数 ，众数 ， ，故 正确 . 所以下列结论正确的是 ，选 D. 考点：均值不等式，正态分布及方差，线性回归方程的样本点的坐标 . 如图，设 是图中边长为 2的正方形区域， 是函数 的图象与 轴及围成的阴影区域向 中随机投一点，则该点落入 中的概率为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：依题意，两个阴影部分的面积相等，即阴影部分的面积为：，向 中随机投一点，则该点落入 中的概率 ，故选 B. 考点：微积分基本定理，几何概型 . 设 ，函数 的导函数是 ，且 是
5、奇函数，则的值为 ( ) A BC D 答案： A 试题分析： ，要 是奇函数，则 ， ，即 ， ，故选 A. 考点：求导法则，奇函数的定义 . 不等式组 表示的平面区域是 ( ) A矩形 B三角形 C直角梯形 D等腰梯形 答案： D 试题分析：不等式组 等价于 或 ， 作出不等式组 表示的平面区域可知是直角梯形，不等式组表示的平面区域不存在，故选 D. 考点：不等式表示的平面区域 . 执行右边的框图，若输入的 是 ，则输出 的值是 ( ) A 120 B 720 C 1440 D 5040 答案： B 试题分析：第 1次运行， ， ， ； 第 2次运行， ， ， ； 第 3次运行， ， ，
6、； 第 4次运行， ， ， ； 第 5次运行， ， ， ； 第 6次运行， ， ， . 输出 的值是 720. 考点：考查程序框图，当型循环结构 . 已知命题 ，那么命题 为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： 全称命题的否定是特称命题， 命题 的否定是，故选 A. 考点：考查全称命题与特称命题 . 填空题 设直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线 的方程为 ，若直线 与 间的距离为 ，则实数 的值为 . 答案：或 试题分析：由 消去 得 ，由 化为普通方程得 ， 直线 与 间的距离为 ， ，解得 或 . 考点：考查参数方程，极
7、坐标方程，两平行线间的距离 . 如图所示，圆 的直径 ， 为圆周上一点， ，过 作圆的切线 ，过 作 的垂线 ，垂足为 ， 答案： o 试题分析： 是直径， ， ， ， ，又 为切线， ，又 ， ， ， . 考点：圆的性质，相似三角形 . 如图表中数阵为 “森德拉姆素数筛 ”，其特点是每行每列都成等差数列，记第 行第 列的数为 ，则 （ ） ； （ ）表中数 82共出现 次 答案： ( ) 82； ( ) 5 试题分析： ( )由 “森德拉姆素数筛 ”知，每一列从上到下都构成等差数列，且第1列的公差是 1；每一行从左到右都构成等差数列，第 1行的公差式 1，第 2行的公差是 2，第 3行的公差
8、是 3， ，第 9行的公差是 9，因此第 9行的前 9个数分别为 10， 19， 28， 37， 46， 55， 64， 73， 82，则 ，即. ( )由（ ）得， （ ），即 ， 由于 ，故数阵中 82出现 5次 . 考点：考查等成数列的性质，合情推理 . 函数 的图象为 ，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号） 图象 关于直线 对称； 图象 关于点 对称； 函数 在区间 内是增函数； 由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 答案： 试题分析：对 ，当 时， , ，故 正确； 对 ，当 时， , ，故 正确； 对 ，因为函数 的单调增区间为 ，当 时，函数 的单调增区间 ，故
9、正确； 对 ，由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象得函数不是函数 ，故 错误 . 所以正确结论的编号为 . 考点：考查函数 的性质 . 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 (单位： cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为 _ 答案： 试题分析：依题意，原几何体式一个三棱锥，有一条棱与底面垂直，且长度为3，底面是一个直角三角形，两直角边分别为 2， 4，这个几何体可以看作是长、宽、高分别为 4， 2， 3的长方体的一部分，则其外接球的半径为， 故这个球的表面积 . 考点：考查三视图，三棱锥的性质，长方体的性质，球的表面积 . 在 的展开式中，各项系数的和等于 64，那么此展开式中含
10、 项的系数 . 答案： 试题分析：依题意，令 ，则 ， ，又， 展开式中含 项的系数为 . 考点：考查二项式定理 . 解答题 已知 A、 B、 C为 的三个内角且向量 与共线 . （ ）求角 C的大小； （ ）设角 的对边分别是 ，且满足 ，试判断的形状 答案：（ ） ；（ ）等边三角形 . 试题分析：（ ）利用共线向量的坐标运算，二倍角公式，辅助角公式变形求得 ;（ ）根据余弦定理及已知条件求出边 、 的关系，再结合 判断出结论 . 试题：（ ） 与 共线， 3分 得 ， . 6分 （ ）方法 1：由已知 （ 1） 根据余弦定理可得： （ 2） 8分 （ 1）、（ 2）联立解得： ， 又 .
11、 ，所以 为等边三角形， 12分 方法 2： 由正弦定理得： ， ， 10分 ， 在 中 又 . ， 所以 为等边三角形， 12分 方法 3：由（ ）知 ，又由题设得： ， 在 中根据射影定理得： ， 10分 ， 又 ， 所以 为等边三角形， 12分 考点：共线向量的坐标运算，二倍角公式，余弦定理，正弦定理 . 已知等差数列 的首项 ，公差 且 分别是等比数列的 （ ）求数列 与 的通项公式； （ ）设数列 对任意自然数 均有 成立，求 的值 . 答案：（ ） ， ；（ ） . 试题分析：（ ）根据等比中项的定义列出等式，求出等差数列 的公差，从而求出数列 的公比 ，便可得到通向公式 ;（ ）
12、按已知等式的规律写出，再两式相减，得出数列 即是等差数列，变形求得数列 的通向公式，用公式求和 . 试题：（ ） ， ， ，且 成等比数列 2分 4分 又 . 6分 （ ） 即 又 - ： 8分 10分 则 12分 考点：等差数列、等比数列的性质，求和公式 . 如图，在长方体 中，已知上下两底面为正方形，且边长均为 1；侧棱 ， 为 中点， 为 中点， 为 上一个动点 . （ ）确定 点的位置，使得 ； （ ）当 时，求二面角 的平面角余弦值 . 答案：（ ） 为 的四等分点；（ ） . 试题分析：（ ）用向量法的解题步骤是建立恰当的空间直角坐标系，写出相应的点的坐标及向量的坐标，利用向量的数
13、量积为 0，则这两个向量垂直，得出结论；（ ）二面角的问题，找到两个平面的法向量的夹角，利用向量的夹角公式求解 . 试题：方法一： ( )如图，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 ，则 易得 2分 由题意得 ,设 又 则由 得 ， ,得 为 的四等分点 . 6分 ( )易知平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为则 ,得 ，取 ，得 ， 10分 ， 二面角 的平面角余弦值为 .12分 方法二： （ ） 在平面 内的射影为 ，且四边形 为正方形，为中点， 同理， 在平面 内的射影为 ，则 由 ， ,得 为 的四等分点 . 6分 （ ） 平面 ,过 点作 ，垂足为 ； 连结 ，则 为二面角
14、 的平面角； 8分 由 ，得 ,解得 在 中， , ； 二面角 的平面角余弦值为 . 12分 考点：线面垂直的判定定理 ,二面角 ,线面成角的计算 . 如图是在竖直平面内的一个 “通道游戏 ”图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层， ，依次类推现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动，若在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道记小弹子落入第 层第 个竖直通道（从左至右）的概率为 ，某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第 层的第 个通道的次数服从二项分布，请你解决下列问题 . （ ）试求 及 的值，并猜想 的表达式；（不必证明） （ ）
15、设小弹子落入第 6层第 个竖直通道得到分数为 ，其中，试求 的分布列及数学期望 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）以实际问题为背景，小弹子落入第 层的第 个通道的次数服从二项分布； （ ）仔细分析，确定随机变量 的取值，利用的独立重复事件的概率求出相应的概率，列出 的分布列，利用求 的公式求解 . 试题：（ ）因为小弹子落入第 层的第 个通道的次数服从二项分布，则：， 3分 ， 6分 （ ）依题： 由（ ）知，9分 所以 的分布列如下表： 1 2 3 故 . 12分 考点：二项分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望 . 已知 的两个顶点 的坐标分别是 ，且 所在直线的斜率
16、之积等于 （ ）求顶点 的轨迹 的方程，并判断轨迹 为何种圆锥曲线； （ ）当 时，过点 的直线 交曲线 于 两点，设点 关于 轴的对称 点为 ( 不重合 ) 试问：直线 与 轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由 . 答案：（ ）当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去两点； 当 时 轨迹 表示以 为圆心半径是的圆，且除去 两点； 当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去 两点； 当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的双曲线，且除去 两点； （ ）直线 过定点 . 试题分析：（ ）根据 ，分类讨论参数 ，轨迹 为何种圆锥曲线；（ ） 一般思路是设点，构造方程，组成方程组，利
17、用一元二次方程的根与系数的关系，从而得到直线 的方程，令 求得定点的坐标 . 试题：（ ）由题知： 化简得： ， 2分 当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去 两点； 当 时 轨迹 表示以 为圆心半径是的圆，且除去 两点； 当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去 两点； 当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的双曲线，且除去 两点； 6分 （ ）设 依题直线 的斜率存在且不为零，则可设 : ， 代入 整理得 ， ， 9分 又因为 不重合，则 的方程为 令 ， 得 故直线 过定点 . 13分 解二：设 依题直线 的斜率存在且不为零，可设 : 代入 整理得： , ， 9分 的方程为 令 ， 得
18、 直线 过定点 13分 考点：圆、椭圆、双曲线的定义、性质，定点问题 . 已知函数 （ ）当 时，函数 取得极大值，求实数 的值； （ ）已知结论：若函数 在区间 内存在导数，则存在 ，使得 . 试用这个结论证明：若函数 （其中 ），则对任意 ，都有 ； （ ）已知正数 满足 ，求证：对任意的实数 ，若 时，都 有 . 答案：（ ） ；（ 2）详见；（ 3）详见 . 试题分析：（ ）利用导数法判断函数 的单调性，根据函数在极值 时有极值求出参数 的值；（ ）构造新函数再利用导数法求解；（ ）由已知条件得出 ，再利用第（ ）问的结论对任意 ，都有 求解 . 试题：（ ）由题设，函数的定义域为 ，且 所以 ，得 ，此时 . 当 时， ，函数 在区间 上单调递增； 当 时， ，函数 在区间 上单调递减 . 函数 在 处取得极大值，故 4分 （ ）令 ， 则 . 因为函数 在区间 上可导，则根据结论可知：存在 使得 7分 又 ， 当 时， ，从而 单调递增， ； 当 时， ，从而 单调递减， ； 故对任意 ，都有 . 9分 （ ） ，且 ， ， 同理 ， 12分 由（ ）知对任意 ，都有 ，从而 14分 考点：导数的基本运算；导数与函数的单调性关系；不等式的基本性质与证明 .
