1、2013届湖北省武汉市武昌区高三上学期期末调研测试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 （ i为虚数单位）的值是（ ） A -1 B 1 C -i D i 答案： A 试题分析： = =-1，故选 A。 考点：本题主要考查复数的代数运算。 点评：简单题，直接按代数公式展开。 O 是锐角三角形 ABC的外心，由 O 向边 BC， CA， AB引垂线，垂足分别是 D， E， F，给出下列命题： ； ； ： ： =cosA： cosB： cosC; ，使得 。 以上命题正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4； 答案： B 试题分析：锐角三角形 ABC的外心，是三角形三边垂直平分线的
2、交点。 只有当三角形为等边三角形时， ，所以 不正确； 只有当三角形为等边三角形时， ，所以 不正确； 由同弧上圆周角是圆心角的一半及直角三角形边角关系， ： ：=cosA： cosB： cosC; 正确； 因为 D是 BC 的中点，所以 ，使得 。 正确。 综上知， 正确，选 B。 考点： 本题主要考查三角形特征，向量的线性运算。 点评：认识三角形的几何特征是具体地关键。 函数 f（ x） = cos2x在区间 -3， 3上的零点的个数为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 答案： C 试题分析：利用导数研究知，函数 在 R上是单调函数，只有一个零点；由 cos2x=0求 x的个数，由 得
3、，又 -3， 3，所以 cos2x=0有 4个零点， 综上知，函数 f（ x） = cos2x在区间 -3，3上的零点的个数为 5，故选 C。 考点：本题主要考查函数的零点，分类讨论的数学思想。 点评：判断函数的零点一般有直接法、图象法、利用导数研究定性分析法 .对于三角函数的零点问题，一般需要规定自变量的取值范围；否则，如果定义域是,则零点将会有无数个。 已知变量 x， y满足约束条件 ，则 z=3|x|+y的取值范围为（ ） A -1,5 B 1, 11 C 5, 11 D -7, 11 答案： B 试题分析：根据变量 x， y满足约束条件 ，画出可行域（如图）。几何图形可知， x0时，
4、z的范围是 2,11，故 z的范围是1,11，选 B。 考点：本题主要考查线性规划的应用。 点评：基础题，准确画出可行域是解题的关键。 过抛物线 y2=4x的焦点 F的直线交抛物线于 A， B两点，点 O 是坐标原点，则 |AF| |BF|的最小值是（ ） A 2 B C 4 D 2 答案： C 试题分析：由抛物线的定义抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的 F（ 2， 0）， |AF|+|BF|=4所以 |AF| |BF| =4，故选 C。 故填 |BF|=2 点评：活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法到焦点的距离，叫焦半径到焦点的距离常转化到准线的距离求解 考点：本题主要
5、考查抛物线的定义及其标准方程。 点评：活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法到焦点的距离，叫焦半径到焦点的距离常转化到准线的距离求解 已知 ab，二次三项式 ax2 +2x +b0对于一切实数 x恒成立，又 ，使成立，则 的最小值为（ ） A 1 B C 2 D 2 答案： D 试题分析：因为二次三项式 ax2 +2x +b0对于一切实数 x恒成立，所以；又 ，使 成立，所以 ，故只有，即 a0,ab,ab=1，所以 =a-b+ = ，故选 D。 考点：本题主要考查二次函数恒成立问题，均值定理的应用，存在性命题。 点评：小综合题，较全面的考查二次函数恒成立问题，均值定理的应用及存在性命题
6、的概念，从已知出发求得 ab=1是解题的关键之一。 某多 面体的三视图（单位： cm）如图所示，则此多面体的体积是（ ） A B cm3 C cm3 D cm3 答案： D 试题分析：观察三视图可知，该几何体是棱长为 1的正方体去掉一个三棱柱，底面为直角三角形，直角边长为 ，所以此多面体的体积是 = ，故选 D。 考点：本题主要考查三视图及几何体体积计算。 点评：简单题，必考类型的题目，正确认识几何体特征是关键。 已知数列 an是等差数列， a1+a3+a5=105， a2+a4+a6=99， an的前 n项和为 Sn，则使得 Sn达到最大的 n是（ ） A 18 B 19 C 20 D 21
7、 答案： C 试题分析：设 an的公差为 d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即 a1+2d=35， a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即 a1+3d=33， 由 联立得 a1=39， d=-2， sn=39n+ （ -2） =-n2+40n=-（ n-20） 2+400， 故当 n=20时， Sn达到最大值 400故选 C 考点：本题主要考查等差数列的通项公式及前 n项和公式。 点评：求等差数列前 n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意 n取正整数这一条件也可通过确定通项公式，进一步确定正负项分界。 某天清晨，
8、小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了下面大致能反映出小明这一天（ 0时 24时）体温的变化情况的图是（ ）答案： C 试题分析：根据题意：小明的体温变化图象分上升、下降、上升、下降四段最后正常体温大约 37 观察四个选项，只有 C选项符合故选 C 考点：本题主要考查函数的概念及 其表示。 点评：正确分清体温的变化情况是解本题的关键，还需注意人的正常体温大约是 37 这一常识 命题 “所有奇数的立方都是奇数 ”的否定是（ ） A所有奇数的立方都不是奇数 B不存在一个奇数，它的立方是偶数 C存在一个奇数，它
9、的立方是偶数 D不存在一个奇数，它的立方是奇数 答案： C 试题分析：命题 “所有奇数的立方是奇数 ”的否定是 “存在一个奇数，它的立方不是奇数 ”，故选 C。 考点：本题考查命题的否定。 点评：解答本题关键是正解全称命题的否定命题的书写格式，结论要否定，还要把全称量词变为存在量词 填空题 给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是 l， 2，3， ， 2013，从第二行起每一个数都等于它 “肩上 ”两个数之和，最后一行只有一个数 M，则这个数 M是 。 答案： 2 2012 试题分析：方法一：数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为 1，第二行公差为 2，第三行公差为 4， ，
10、第 2010行公差为 22009，第 2011行只有 M，则M=（ 1+2011） 22009方法二：从第一行为 1， 2， 3 及 1， 2， 3， 4， 5的两个“小三角形 ”的例子，可归纳出结果为（ 3+1） 2 1及（ 5+1） 2 3，从 而猜测这个数 M为（ n+1） 2n-2 考点：本题主要考查等差数列的基础知识， 点评：本题考查了由数表探究数列规律的问题，解答这类问题时，可以由简单的例子观察分析，总结规律，得出结论 已知直线 平面 ，直线 m 平面 ，有下列命题： m； m； m ； m 其中正确命题的序号是 。 答案： 与 试题分析： 因为直线 平面 ，直线 m 平面 ， ，
11、所以 平面 ，从而 m，正确； 因为直线 平面 ， ，所以 或 ，而 m平面 ，所以 l,m的关系有平行，相交等可能，此不正确； 考点：本题主要考查空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系 点评：基础题，注意线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化 已知 a=4 ，则二项式（ x2+ ） 5的展开式中 x的系数为 答案： 试题分析：因为 = ， 所以 a=4 =2，（ x2+ ） 5= ， 由 = ， 令 3r-5=1得 r=2，所以展开式中 x的系数为 。 考点：本题主要考查定积分计算，二项式定理及二项式系数的性质。 点评：小综合题，先计算定积分求 a，再求展开式中 x
12、的系数。 执行如图所示的程序框图，输出的 S的值为 答案： 试题分析：第一圈， s=0,n=1; 第二圈， ,n=2; 第三圈， ,n=3; 第四圈， ,n=4; 第五圈， ， n=5； 第六圈， ， n=6； 以下 S表达式中各项呈周期性变化，周期为 5， 20135余数 3，所以输出的 S的值为 = 。 考点：本题主要考查程序框图功能的识别。 点评：简单题，理解循环体的意义是解题的关键。 已知 sin -3cos =0，则 。 答案： 试题分析：由 sin -3cos =0得 tan =3， 所以 = 。 考点：本题主要考查三角函数恒等变换。 点评：简单题，从已知出发可得 tan ,故需将
13、求值式用其表示。 解答题 （本小题满分 12分） 已知函数 f（ x） = cos( 2x+ )+sin2x （ ）求函数 f（ x）的最小正周期和值域； （ ）在 ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，满足 2 = ， 求 ABC的面积 S 答案：（ ）最小正周期 ，值域为 .（ ） . 试题分析：（ ）因为. 所以，最小正周期 ，值域为 . （ 6分） （ ） ， ， . . 又， ， ， . 而 ， . 由正弦定理，有 ，即 . . . （ 12分） 考点：考点：本题主要考查三角函数的图象和性质，三角恒等变换，正弦定理的应用。 点评：典型题，综合考查了三角函数的图象和
14、性质，三角恒等变换，正弦定理的应用，能较好地考查学生的计算能力。 （本小题满分 12分） 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市 100 000名男生的身高服从正态分布 N(168， 16).现从某学校高三年级男生中随机抽取 50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 160 cm和 184 cm之间，将测 量结果按如下方式分成 6组：第一组 160， 164，第二组 164， 168， ，第 6组 180， 184，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 （ ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况； （ ）求这 50名男生身高在 172 cm以上（含 172 cm
15、）的人数； （ ）在这 50名男生身高在 172 cm以上（含 172 cm）的人中任意抽取 2人，该 2人中身高排名（从高到低）在全市前 130名的人数记为 ，求 的数学期望 参考数据： 若 则 =0.6826， =0.9544, =0.9974. 答案：（ ）高于全市的平均值 168。 （ ）这 50名男生身高在 172 cm以上 (含 172 cm)的人数为 10人 . （ ） 试题分析：（ ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为 ， 高于全市的平均值 168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为 168.72，比较接近全市的平均值168） . （ 4分） （ ）由频率分布直
16、方图知，后三组频率为（ 0.02+0.02+0.01） 4 0.2，人数为 0.25 10，即这 50名男生身高在 172 cm以上 (含 172 cm)的人数为 10人 . （ 6分） （ ） ， ， 0.0013100 000=130. 所以，全市前 130名的身高在 180 cm以上，这 50人中 180 cm以上的有 2人 . 随机变量 可取 ，于是 , , . （ 12分） 考点：本题主要考查离散性随机变量的分布列及数学期望。 点评：本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于 1频率、频数的关系：频率 = 涉及组合数计算要细心。 （本小题满分
17、 12分） 已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 Sn=2an-l；数列 bn满足 bn-1=bn=bnbn-1（ n2，n N*） b1=1 （ ）求数列 an， bn的通项公式； （ ）求数列 的前 n项和 T 答案：（ ） .（ ） . 试题分析：（ ）由 ，得 ，所以 . 又 ， ， 两式相减，得 , . .所以，数列 是首项为 1，公比为 2的等比数列 . . （ 4分） 由 ，得 . 又 ，所以数列 是首项为 1，公差为 1的等差数列 . . . （ 8分） （ ） ， . 两式相减，得 . 所以， . （ 12分） 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念，数列的求和。 点评
18、：典型题， “错位相减法 ”求数列的前 n项和属于常考题目，本题解答首先确定数列的通项公式是关键。 （本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 S - ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，侧棱 SA 底面 ABCD，AB垂直于 AD和 BC， SA =AB=BC =2， AD =1 M是棱 SB的中点 （ ）求证： AM 面 SCD； （ ）求面 SCD与面 SAB所成二面角的余弦值； （ ）设点 N 是直线 CD上的动点， MN 与面 SAB所成的角为 ，求 sin 的最大值， 答案：（ ）见；（ ）平面 SCD与平面 SAB所成二面角的余弦值为 . （ ） 时， . 试题分析：（ ）以点 A
19、为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， . 则 . 设平面 SCD的法向量是 则 即 令 ，则 ，于是 . ， . AM 平面 SCD. （ 4分） （ ）易知平面 SAB的法向量为 .设平面 SCD与平面 SAB所成的二面角为 ， 则 ，即 . 平面 SCD与平面 SAB所成二面角的余弦值为 . （ 8分） （ ）设 ，则 . 又，面 SAB的法向量为 ， 所以， . . 当 ，即 时， . （ 12分） 考点：本题主要考查立体几何中线面平行及角的计算，空间向量的应用 点评：典型题，立体几何中平行、垂直关系的证明及角的计算问题是高考中的必考题，通过建立适当的坐标系，可使
20、问题简化。 （本题满分 13分） 设点 P是圆 x2 +y2 =4上任意一点，由点 P向 x轴作垂线 PP0，垂足为 Po，且 （ ）求点 M的轨迹 C的方程； （ ）设直线 ： y=kx+m(m0)与（ ）中的轨 迹 C交于不同的两点 A， B （ 1）若直线 OA， AB， OB的斜率成等比数列，求实数 m的取值范围； （ 2）若以 AB为直径的圆过曲线 C与 x轴正半轴的交点 Q，求证：直线 过定点 (Q 点除外 )，并求出该定点的坐标 答案：（ ） .（ ）（ i） .（ ii）直线过定点. 试题分析：（ ）设点 ， ，则由题意知 . 由 ， ，且 ， 得 . 所以 于是 又 ，所以
21、. 所以，点 M的轨迹 C的方程为 . （ 3分） （ ）设 ， . 联立 得 . 所以， ，即 . 且 （ 5分） （ i）依题意， ，即 . . ，即 . ， ，解得 . 将 代入 ，得 . 所以， 的取值范围是 . （ 8分） （ ii）曲线 与 轴正半轴的交点为 . 依题意， ， 即 . 于是 . ，即 ， . 化简，得 . 解得， 或 ，且均满足 . 当 时，直线 的方程为 ，直线过定点 (舍去 )； 当 时，直线 的方程为 ，直线过定点 . 所以，直线过定点 . （ 13分） 考点：本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系。 点评：求曲线的轨迹方程是几何的基本问题，本题利用
22、相关点法求轨迹方程，相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程本题较难。 （本题满分 14分） 已知函数 f（ x） =lnx+ （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）设 m R，对任意的 a （ -l， 1），总存在 xo 1， e，使得不等式 ma - (xo) N*） 答案：（ ）函数 的单调递减区间是 . （ ） 的取值范围是 . （ ）见。 试题分析：（ ） . 令 ，得 ，因此函数 的单调递增区间是 . 令 ，得 ，因此函数 的单调递减区间是 . （ 4分） （ ）依题意， . 由（ ）知， 在 上是增函数， . ，即 对于任意的 恒成立 . 解得 . 所以， 的取值范围是 . （ 8分） （ ）由（ ） ， ， . . 即 . 又， . . 由柯西不等式， . . （ 14分） 考点：本题主要考查了导数的运算和导数在函数单调性中的应用， 柯西不等式的应用。 点评：较难题，利用导数求函数单调区间的方法，解题时注意函数的定义域，避免出错
