1、2013届湖南省五市十校高三第一次联合检测文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 M= ， N= ，则 MN=（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意知 N= ，又因为 M= ，所以 MN=. 考点：本小题主要考查二次方程的求解和集合的运算 . 点评：集合的运算必要时要借助韦恩图或数轴进行解决 . 设函数 在区间 的导函数为 在区间 的导函数为若在区间 上 恒成立，则称函数 在区间 上为 “凸函数 ”，已知 ，若对任意的实数 m满足 时，函数在区间 上为 “凸函数 ”，则 的最大值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： C 试题分析：当 时， 恒成立等价于当 时，恒
2、成立当 时， 显然成立 当 时， ， 的最小值是 -2， ，从而解得 ；当 时， ， 的最大值是 2， ，从而解得 综上可得 ，从而 的最大值为考点：本小题主要考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，考查知识迁移与转化能力 点评：解决此类问题关键是要理解题目所给信息（新定义），另外恒成立问题一般要转化为最值问题解决，必要时要进行分类讨论 . 一只蜜蜂在一个棱长为 3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6个表面的距离均大于 1，称其为 “安全飞行 ”，则蜜蜂 “安全飞行 ”的概率为 ( ). A B C D 答案： C 试题分析：由题意可知，蜜蜂的飞行空间为一个棱长为 1的正
3、方体，所以蜜蜂“安全飞行 ”的概率为 考点：本小题主要考查与体积有关的几何概型的求解，考查学生的运算求解能力 . 点评：几何概型可分为与长度、面积、体积、角度有关的几种几何概型，都要掌握 . 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 A B C 8 D 12 答案： C 试题分析：由该几何体的三视图可知该几何体是一个正四棱锥，该四棱锥的底面边长为 2，斜高也为 2，所以该几何体的侧面积为 考点：本小题主要考查空间几何体的三视图的识别和侧面积的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力 . 点评：解决此类问题，关键是正确还原三视图 . 某产品的广告费用 x与销售额 y的统计数据如下表
4、广告费用 x（万元） 4 2 3 5 销售额 y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 中的 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6万元时销售额为 A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元 答案： B 试题分析：因为回归直线过样本点的中心 ，由表中数据可以求得，将数据代入回归方程可以求得，所以将 代入回归方程可得 万元 . 考点：本小题主要考查回归直线方程的性质和应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：回归直线过样本点的中心 ，这一性质在解题时经常用到，要灵活应用 . 设变量 x， y满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ） A 11 B 10
5、 C 9 D 8.5 答案： B 试题分析：根据约束条件画出可行域，可行域为一个三角形，再画出目标函数，通过平移可知该目标函数在 处取到最大值，最大值为 10. 考点：本小题主要考查利用线性规划知识求最值，考查学生画图、用图的能力 . 点评：解决线性规划问题的关键是正确画出可行域 . 通过随机询问 110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 算得， 附表： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A有 99%以上
6、的把握认为 “爱好该项运动与性别有关 ” B有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别无关 ” C在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关 ” D在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关 ” 答案： C 试题分析：根据表中数据可知 ，所以应该是在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关 ”. 考点：本小题主要考查独立性检验的应用 . 点评：求出 的值后，要参照附表得出结 论，要注意结论的准确性 . 下列说法正确的是 A函数 在其定义域上是减函数 B两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C命题
7、“ R， ”的否定是 “ R， ” D给定命题 、 ，若 是真命题，则 是假命题 答案： D 试题分析：函数 在 和 上都单调递减，但是在定义域上不是减函数，所以 A不正确；两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，所以 B不正确； “ ”的否定是 “ ”，所以 C不正确；根据复合命题的真值表，可以判定出 C正确 . 考点：本小题主要考查函数单调性的考查、充分条件和必要条件的判断、特称命题的否定和复合命题真假的判断，考查学生的逻辑推理能力 . 点评：函数的单调性是一个区间概念，一个函数可能有几个单调区间，但是在定义域上并不是单调函数；判断充分条件和必要条件，要分清条件和结论，分清由
8、谁能推出谁 . 设 为虚数单位，则复数 为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： 考点：本小题主要考查复数的计算 . 点评：复数的计算是每年高考都要考查的内容，难度较低 . 填空题 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 . 他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数 1， 3， 6， 10， 记为数列 ，将可被 5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 . 可以推测：（ ） 是数列 中的第 项； （ ） _（用 k表示） 答案：（ ） 9；（ ） 试题分析：（ I）由题设条件可以归纳出 ，故，由此可知，第 3个可被 5整除的数为 45，是数列 中的第
9、 9项； （ II）由于 是偶数，由（ I）知，第 个被 5整除的数出现在第 组倒数第一个，故它是数列 中 的第 项，所以 . 考点：本小题主要考查数列的递推关系，数列的表示及归纳推理，考查学生的归纳推理能力 . 点评：解决此小题的关键是由题设得出相邻两个三角形数的递推关系，由此列举出三角形数 . 当 时， ，则 的取值范围 . 答案： 试题分析：结合指数函数和对数函数的图象可知要满足要求需要： ，解得 的取值范围为 . 考点：本小题主要考查指数函数和对数函数的图象和单调性的应用，考查学生数形结合思想的应用 . 点评：解决此类问题，应该结合相应的函数的图象，充分利用函数的图象解决问题 . 在
10、中， , 为 的垂直平分线上一点，则 . 答案： -32 试题分析：设 的垂直平分线与 交于点 ，所以考点：本小题主要考查向量的线性表示和向量的数量积运算，考查学生的转化能力和运算求解能力 . 点评：本小题的解题关键是将要求的向量用有关系的向量表示出来 . 阅读程序框图 , 该程序运行后输出的 的值为 答案： 试题分析：由程序框图可知，该程序运行的是 ，所以输出的 的值为 1225. 考点：本小题主要考查程序框图的执行，学生识图用图的能力和运算求解能力 . 点评：程序框图的执行离不开条件结构和循环结构，要分清是当型 循环还是直到型循环，要分清推出循环的条件，避免多执行或少执行 . 某中学高三年
11、级从甲、乙两个班级各选出 7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 的值为 答案： 试题分析：因为甲班学生的平均分是 85，所以，解得 ，又因为乙班学生成绩的中位数是 83，所以 ，所以 考点：本小题主要考查茎叶图的应用和平均数和中位数的计算和应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：茎叶图能完整的保留样本数据，适用于样本数据较少的情况 . 已知直线 的参数方程为 .以原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系 .设曲线的极坐标方程为 .当直线 与曲线 相切时，则 =
12、； 答案： 试题分析：直线 的参数方程 可化为一般方程，曲线 的极坐标方程 可化为 ，表示以 为圆心，以 为半径的圆，所以当直线 与曲线 相切时，根据圆心到直线的距离等于圆半径可以求出 考点：本小题主要考查参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标的互化和直线与圆的位置关系的判断和应用，考查学生对问题的转化能力和运算求解能力 . 点评：参数方程与普通方程的互化主要是消去参数，而极坐标与直角坐标的互化按公式进行即可 . 已知某试验范围为 10， 90，若用分数法进行 4次优选试验，则第二次试点可以是 。 答案：或 60（填其中一个也对，给满分） 试题分析：由已知试验范围为 10， 90，可得区间长度为
13、 80，将其等分 8段，利用分数法选取试点：由对称性可知，第二次试点可以是 40或 60 考点：本小题主要考查分数法的简单应用 . 点评：一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑：（ 1）可能的试点总数正好是某一个 （ 2）所有可能的试点总数大于某 一 ，而小于 解答题 （本题满分 12分）某校从高一年级学生中随机抽取 40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分 100分，成绩均为不低于 40分的整数）分成六段：， ， ， 后得到如图的频率分布直方图 （ 1）求图中实数 的值； （ 2）若该校高一年级共有学生 640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于 60分的人数； （ 3）
14、若从数学成绩在 与 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10的概率 答案：（ 1） （ 2） 544（ 3） 试题分析：（ 1）由于图中所有小矩形的面积之和等于 1， 所以 2 分 解得 3 分 （ 2）根据频率分布直方图，成绩不低于 60分的频率 为 5 分 由于该校高一年级共有学生 640人，利用样本估计总体的思想， 可估计该校高一年级数学成绩不低于 60分的人数约为人 6 分 （ 3）成绩在 分数段内的人数为 人，分别记为 ， 7 分 成绩在 分数段内的人数为 人，分别记为 ， ， ， 8 分 若从数学成绩在 与 两个分数段内的学生中随机选取两
15、名学生， 则所有的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 15种 10 分 如果两名学生的数学成绩都在 分数段内或都在 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 分数段内，另一个成绩在 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10 记 “这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 ，则事件 包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， 共 7种 11分 所以所求概率为 12 分 考点：本小题主要考查频率分布直方图的应用和古典概型概率的求解，考查学生识图 、用图的能力和运算求解能力 . 点评：解决与频
16、率分布直方图有关的题目时，要注意到频率分布直方图中纵轴表示的是 频率 /组距，不是频率，图中小矩形的面积才表示频率 . （本题满分 12分）已知向量 ，函数（ 1）求函数 的单调增区间； （ 2）在 中， 分别是角 A, B, C 的对边，且 ，且 求 的值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）3分 令 ，解得 ， 函数 的单调增区间为 . 6 分 （ 2） ， 是三角形的内角， 则 ， 8 分 即： . 9 分 又 ，解得： ，则 ， 11 分 又 ，所以 . 12 分 考点：本小题主要考查三角函数的化简和三角函数性质的应用，以及余弦定理的应用，考查学生的转化能力和运算求解能力
17、. 点评：三角函数中公式比较多，应用的时候要灵活选择，还要注意公式的应用条件，另外，三角函数的图象和性质是高考经常考查的内容，要给予充分的重视 . （本题满分 12分）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ， 为 中点， 平面 ， , 为 中点 （ 1）证明： /平面 ； （ 2）证明： 平面 ； （ 3）求直线 与平面 所成角的正切值 答案：（ 1）先证 PB/MO，再利用线面平行的判定定理即可证明； （ 2）分别证明 ， ，根据线面垂直的判定定理可证；（ 3） 试题分析：（ 1）连接 BD， MO，在平行四边形 ABCD中， 因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD的中点，
18、又 M为 PD的中点，所以 PB/MO。 2 分 因为 平面 ACM， 平面 ACM，所以 PB/平面 ACM。 4 分 （ 2）因为 ，且 AD=AC=1，所以 ，即， 6 分 又 PO 平面 ABCD， 平面 ABCD，所以 ，所以 平面 PAC。 8 分 （ 3）取 DO 中点 N，连接 MN， AN，因为 M为 PD的中点，所以 MN/PO， 且 平面 ABCD，得 平面 ABCD， 所以 是直线 AM与平面 ABCD所成的角， 10 分 在 中， ，所以 ， 从而 ， 在 ， 即直线 AM与平面 ABCD所成角的正切值为 12 分 考点：本小题主要考查空间中线面平行和线面垂直的证明以
19、及线面角的求解，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及运算求解能力 . 点评：在空间中证明直线、平面之间的位置关系时要严格按照判定定理和性质定理进行，定理中要求的条件缺一不可 . （本题满分 13分）某化工企业 2012年底投入 100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是 0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元设该企业使用该设备 年的年平均污水处理费用为 （万元）。 （ 1）用 表示 ； （ 2）当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备 .则该企业几年后需要重新更换新的污水处
20、理设备。 答案：（ 1） （ ）（ 2）该企业 10年后需要重新更换新设备 试题分析：（ 1） ， 即 （ ）； 7 分 （ 2）由均值不等式得： （万元） 当且仅当 ，即 时取到等号 12 分 答：该企业 10年后需要重新更换新设备 13 分 考点：本小题主要考查函数的实际应用和利用基本不等式求函数的最值，考查学生将实际问题转化成数学问题的能力和运算求解能力 . 点评：解决实际应用题，关键是根据题意将实际问题转化为熟悉的数学问题 . （本题满分 13 分）设函数 ，且 ， ，求证：（ 1） 且 ； （ 2）函数 在区间 内至少有一个零点； （ 3）设 是函数 的两个零点，则 . 答案：（ 1
21、）根据 ，求出 ，再根据 即可得证；（ 2）先求出 和 ，根据零点存在定理分 和 讨论即可得证； （ 3）利用韦达定理和第（ 1）问的结论即可得证 . 试题分析： (1) , , 又 ， , ， 2 分 又 . 4 分 （ 2） 当 时， ， 函数 在区间 内至少有一个零点 当 时， ， ， 函数 在区间 内至少有一个零点 综上所述：函数 在区间 内至少有一个零点。 8 分 （ 3） 是函数 的两个零点， ， . 13 分 考点：本小题主要考查不等式的性质、函数的零点存在定理和韦达定理的应用，考查学生的推理论证能力 . 点评：证明此类问题时，要充分利用不等式的性质和题设条件，尽量每一步都做到言
22、之有据 . （本题满分 13分）已知函数 ， (1)当 时，求函数 的极值； (2) 若 在 -1， 1上单调递减，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ， . （ 2） 试题分析：（ 1）当 时， ，定义域是 ， ， 2 分 由 得 ，由 得 ， 4 分 的增区间为 和 ；减区间为 ， ， . 6 分 （ 2） , 要 在 上单调递减，只要 , 7 分 令 , 当 时， ，在 内 ， , 所以函数 在 上单调递减； 8 分 当 时， 是开口向下的二次函数， 其对称轴为 ， 在 上递增，当且仅当 ， 即 时， 此时无解。 10 分 当 时， 是开口向上的二次函数， 当且仅当 即 ，所以 时 ， 此时函数 在 上单调递减， 12 分 综合 得，实数 的取值范围为 。 13 分 考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值等已知单调性求参数的取值范围，考查学生的运算求解能力和分类讨论思想的应用 . 点评：分类讨论时，要确定好分类标准，争取做到不重不漏 .
