1、2013届湖南省怀化市高三上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 是虚数单位，复数 为 A B C D 答案： B 试题分析： ，故选 B。 考点：本题主要考查复数的代数运算。 点评：简单题，此类题高考中常常出现，难度不大，关键是按法则细心计算。 在平面直角坐标系中，定义点 、 之间的 “理想距离 ”为：；若 到点 、 的 “理想距离 ”相等，其中实数 、 满足 、 ，则所有满足条件的点 的轨迹的长度之和是 A B C 10 D 5 答案： D 试题分析：由新定义得， ，由到点 、 的 “理想距离 ”相等，得(1) 当 y8时 ,(1)化为 |x-2|+5=|x-8|，无解 ; 当
2、 y3时 ,(1)化为 |x-2|=5+|x-8|，无解 ; 当 3y8 时 ,(1)化为 2y-11=|x-8|-|x-2|， y= 其图象如图所示。 若 x2，则 y=8.5，不在 内 ; 若 2x8，则 ，线段端点为（ 2.5， 8），（ 7.5， 3），线段长度为； 若 x8,则 y=2.5，不在 内。 综上可知 ,点 C 的轨迹构成的线段长度之和为 。选 A。 考点：本题主要考查学习能力，轨迹的概念，分类讨论思想，距离计算。 点评：新定义问题，近几年高考中，这种 “新定义问题 ”屡见不鲜，难题易题均有，关键是要理解给出的新信息。分类讨论，细心计算。 下列命题正确的有 用相关指数 来刻
3、画回归效果， 越小，说明模型的拟合效果越好； 命题 ： “ ”的否定 ： “ ”； 设随机变量 服从正态分布 , 若 ，则 ； 回归直线一定过样本中心（ ） . A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： C 试题分析： R2越大拟合效果越好，故 不正确； 由存在性命题的否定是全称命题得 正确； 正态分布函数曲线的特点是：关于 x=0对称，在 x=0处达到最大值，且 p（ 0） = ，若 P（ 1） =p则若 P（ 1） =p，所以 故 正确； 样本中心点在直线上，故 正确。 故选 C 考点：本题主要考查命题的真假判断。 点评：小综合题，命题涉及知识面较广，因此在判断命题真假过程中，要综合
4、应用所学知识。 设直线 l的方程为： ( )，则直线 l的倾斜角 的范围是 A B C D答案： C 试题分析：直线的倾斜角的正切，是直线的斜率。所以 ，而，所以 ， 或 ，注意到 ，所以直线 l的倾斜角 的范围是，选 C。 考点：本题主要考查直线方程，直线的倾斜角，直线的斜率，三角函数的性质。 点评：小综合题，通过求直线的倾斜角范围，综合考查了直线方程，直线的倾斜角，直线的斜率，三角函数的性质。解答中要注意直线倾斜角自身的范围是。 若在区域 内任取一点 P，则点 P恰好在单位圆 内的概率为 A B C D 答案： A 试题分析：画出平面区域及单位圆， 表示的 平面区域的面积为，其中点 P恰好
5、在单位圆 内的的面积是 ，所以由几何概型概率计算公式得点 P恰好在单位圆 内的概率为 ，故选 A。 考点：本题主要考查几何概型概率计算。 点评：中档题，简单几何概型概率的计算，要明确 “几何特征 ”及几何度量。 高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有 A 16种 B 18种 C 20种 D 22种 答案： B 试题分析：从甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员， 上届任职组织委员不能连任原职， 则选法有两种，一是乙不入选，则由甲丙丁三
6、个人担任，有 种结果； 当乙入选时，其任职有两种方法，其余两职务有 A32=6种方法，所以有种结果 2 A32=12种结果； 综上可知共有 18种结果 故选 B。 考点：本题主要考查简单排列组合问题。 点评：基础题，解排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，注意列举时做到细心，可采用 “树图法 ”或“填空格法 ”。 如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何 体的体积为 A B C D 答案： C 试题分析：观察三视图可知，该几何体是一个柱体，底面是一个半圆及一个等腰三角形，且半圆半径为 1，等腰三角
7、形底为半圆直径，其高为 1.柱体的高为 2，所以几何体体积为 = ，故选 C。 考点：本题主要考查三视图，几何体的体积计算。 点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。 若 , , 则 的元素个数是 A 0 B 1 C 2 D不能确定 答案： A 试题分析：因为交集是两集合中相同元素构成的集合，而集合 M,N 中没有相同元素，所以 的元素个数是 0，选 A。 考点：本题主要考查集合的运算。 点评：简单题，直接按交集的定义计算。注意交集是两集合中相同元素构成的集合。 填空题 已知 ，且 ，当 时 , ；若把 表示成 的函数
8、，其式是 . 答案：； 试题分析：由 得： 又 因此 。 考点：本题主要考查函数的概念，等差数列、等比数列的求和公式。 点评：基础题，从给定等式不难想到，等式的左右两边，可分别应用等差数列、等比数列的求和公式化简后，进一步写出 x,y关系。 已知 , , 成等差数列且公差不为零，则直线 被圆截得的弦长的最小值为 _ 答案：； 试题分析： 的圆心为 C(1， 1)，半径为 。 因为 a， b， c是等差数列，所以有 a-2b+c=0，由 ax-by+c=0，知直线过定点 A(1，2)，所以直线 被圆 截得的弦长的最小值，应是在 AC 垂直于直线 是取到，在弦的一半、半径、圆心到直线的距离构成的直
9、角三角形中，由勾股定理得弦长为 2。 考点 ：本题主要考查等差数列的概念，直线与圆的位置关系。 点评：中档题，涉及正弦被圆截得弦长问题，往往借助于弦的一半、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形。 为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下过程： 现在加密密钥为( 且 )，如下所示：明文 “6”通过加密后得到密文 “3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文 “6”，问接受方接到密文 “4”，则解密后得到明文为 答案：； 试题分析：依题意 中， y=4，所以 x+2= ，故 x=14. 考点：本题主要考查学习能力，简单的对数方程。 点评：新定义问题，要想明确电报明文
10、，必须明确加密、解密过程，及密钥。 已知 、 是不同的两个平面，直线 ，直线 ，命题 ： 与无公共点；命题 ： ， 则 是 的 条件 . 答案：必要非充分； 试题分析：已知 、 是不同的两个平面，直线 ，直线 ， 与 无公共点，无法推出 ；而 可推出 与 无公共点，所以 是 的必要非充分条件 . 考点：本题主要考查立体几何中的的平行关系，充要条件的概念。 点评：基础题，充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合。充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。 看程序运行后的输出结果 答案：； 试题分析：该算法语言的功能是输出 =21. 考点
11、：本题主要考查算法语言。 点评：简单题，某种算法，往往对应某个运算过程，因此，理解算法语言的功能，是解题的关键。 若曲线 的极坐标方程为 ， 则曲线 C的普通方程为 . 答案： ； 试题分析：由 ， ，所以 ，即 。 考点：本题主要考查简单极坐标方程与普通方程的 互化。 点评：简单题，作为选考内容，这部分题目并不难，关键是掌握好互化公式。 如图，点 是圆 上的点，且 ， ，则圆 的面积等于 答案： ； 试题分析：连结 CO， OB，因为 ，所以 ，由 ，为等腰三角形，故圆 O 的半径 =2，圆 O 的面积 . 考点：本题主要考查圆的几何性质，直角三角形边角关系。 点评：简单题，在圆中，同弧上的
12、圆周角等于圆心角的一半。难度不大，关键是辅助线的合理添加。 计算 的值等于 答案：； 试题分析： = 2,故答案：为 2。 考点：本题主要考查定积分的计算。 点评：简单题，利用求原函数、计算函数值之差的步骤，完成计算。 解答题 （本小题满分 13分） 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 ，它们在 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点 （ 1）求这三条曲线的方程； （ 2）对于抛物线上任意一点 ，点 都满足 ，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）设抛物线方程为 ，将 代入方程得 -2分 由题意知椭圆、双曲线的焦点为 -3分 对于椭圆，
13、， 所以椭圆方程为 -5分 对于双曲线， ， 所以双曲线方程为 -7分 （ 2）设 -（ 8分） 由 得 -（ 9分） 恒成立 -（ 10分） 则 -（ 12分） -（ 13分） 考点：本题主要考查直线与抛物线、椭圆、双曲线的定义及标准方程，二次函数的图象和性质。 点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得 到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆、双曲线标准方程时，主要运用了曲线的定义，求抛物线方程则利用了待定系数法。 （本小题满分 13分） ) 京广高铁于 2012年 12月 26日全线开通运营， 次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程 (单位：
14、)和时间 (单位： )的关系为： . （ 1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间； （ 2）求列车正常行驶的速度； （ 3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值 . 答案：（ 1）从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为 10 . （ 2）火车正常行驶的速度当 时， ； （ 3） 。 试题分析：（ 1） 紧急刹车后列车的速度 - 1分 - 3分 当列车完全停止时 ，解得 或 （舍去 ) - 5分 即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为 10 .-6分 （ 2）由（ 1）知，从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为 10 s, 又由列车的速度 -7分 火车正常行驶的速度当 时，
15、 -9分 （ 3） 紧急刹车后列车运行的加速度 -11分 最大 -13分 考点：本题主要考查函数模型，导数的应用。 点评：中档题，注意到紧急刹车后列车的速度 ，所以速度函数易于确定，从而有助于进一步研究加速度 ，并求得其最值。 （本小题满分 12分） 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面边长是 ，侧棱长是 3，点 E、 F 分别在 BB1、DD1上，且 AE A1B， AF A1D （ 1）求证： A1C 面 AEF； （ 2）求截面 AEF与底面 ABCD所成二面角 的正切值 答案：证明：（ 1）连接 ， 正四棱柱 通过 ，同理可得： ； （ 2） 。 试题分析：证明：（ 1）连接 正
16、四棱柱 -2分 又 -4分 同理可得： -6分 （ 2） -8分 又 底面边长是 ，侧棱长是 3 -9分 得 ， 同理 -（ 10分） 又 ， -12分 证法二 建立空间直角坐标系（略） 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用向量则能简化证明过程。 （本小题满分 12分） 在一次数学考试中共有 8道选择题，每道选择题都有 4个选项，其中有且只有一个选项是正确的 .某考生有 5道题已选对正确答案
17、：，其余题中有两道只能分别判断 2个选项是错误的，还有 1道题因不理解题意只好乱猜 . (1) 求该考 生 8道题全答对的概率； (2)若评分标准规定： “每题只选一个选项，选对得 5分，不选或选错得 0分 ”，求该考生所得分数的分布列 . 答案： (1) ； (2)答对题随机变量 的个数为 5， 6， 7， 8. -6分 其概率分别为： 25 30 35 40 令：得分随机变量为 分布列为： 试题分析： (1)说明另三道题也全答对，相互独立事件同时发生， 即： -5分 (2) 25 30 35 40 -10分 令：得分随机变量为 分布列为： -12分 考点：本题主要考查离散性随机变量的概率及
18、分布列。 点评：中档题，确定离散性随机变量的分布列，计算随机变量的概率是关键。本题利用相互独立事件同时发生的概率计算公式，计算要细心。 （本小题满分 12分） 已知 设 ， ，若 图象中相邻的两条对称轴间的距离等于 （ 1）求 的值； （ 2）在 中， 分别为角 的对边， 当时，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） 或 。 试题分析：（ 1） -2分 -4分 又 -5分 解得 -6分 （ 2）因 ， -7分 因 得 -8分 又 -10分 解得 或 -12分 考点：本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数图象和性质，函数方程思想，余弦定理的应用。 点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，往往需要
19、将函数 “化一 ”。借助于函数方程思想，由余弦定理、三角形面积公式构建 b,c的方程， 达到解题目的。 （本小题满分 13分） 已知二次函数 同时满足： 不等式 的解集有且只有一个元素； 在定义域内存在 ，使得不等式 成立 设数列 的前 项和 ， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）数列 中，令 ， ，求 ； （ 3）设各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为这个数列 的变号数。令 （ 为正整数），求数列 的变号数 答案：（ 1） ； （ 2） ； （ 3）数列 共有 个变号数，即变号数为 。 试题分析：（ 1） 的解集有且只有一个元素， ， 当 时，函数 在 上高考资源网递增
20、，故不存在 ，使得不等式 成立 -2分 当 时，函数 在 上高考资源网递减，故存在，使得不等式 成立。 综上高考资源网，得 ， ， ， -4分 （ 2） -8分 （ 3）解法一：由题设 -9分 时， ， 时，数列 递增 -10分 ，由 ，可知 ，即 时，有且只有 个变号数； 又 ，即 ， 此处变号数有 个 综上高考资源网得 数列 共有 个变号数，即变号数为 -13分 解法二：由题设 -(9分 ) 时，令； 又 ， 时也有 综上高考资源网得：数列 共有 个变号数，即变号数为 -13分 考点：本题主要考查函数的概念，等差数列、等比数列的的基础知识， “错位相消法 ”，简单不等式的解法。 点评：中档题，本题具有较强的综合性，本解答从处理函数问题入手，确定得到 a的值，从而求得了 ，进一步转化成数列问题的研究。 “错位相消法 ”是高考常常考到数列求和方法。
