1、2013届湖南省祁阳四中高三上学期第三次月考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知命题 P： 则 P为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为存在性命题的否定是全称命题，所以命题 P： 则P为 ，故选 B。 考点：本题主要考查全称命题与存在性命题的概念。 点评：简单题，命题涉及知识面较广，对考生所学知识掌握及灵活运用知识的能力有较好考查。全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题。 在 是 ( ) A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 答案： C 试题分析：由已知得 ，即三角形是直角三角形，选 C。 考点：本题主要考查平面向量垂直的条件，数量积
2、。 点评：简单题，两向量垂直的充要条件，是向量的数量积为 0. 数列 中， 则 ( ) A 3.4 B 3.6 C 3.8 D 4 答案： C 试题分析：由已知得 ，即， ，上述式子两边分别相加得， 3.8，故选 C。 考点：本题主要考查数列的概念，累加法。 点评：简单题，注意 告诉我们，所以利用 “累加法 ”求 。 函数 的一个单调增区间是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 = ，所以函数 的一个单调增区间是 ，选 A。 考点：本题主要考查二倍角的余弦公式，三角函数图象和性质。 点评：简单题，研究三角函数的图象和性质，往往先 “化一 ”。 已知向量 ，满足 ，且 ，则 的夹角
3、为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，且 ，所以，所以 ， = ， 的夹角为 ，故选 B . 考点：本题主要考查平面向量的数量积、夹角计算。 点评：基础题，平面向量的夹角满足 。 下列命题中，错误的是 ( ) A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B平行于同一平面的两个不同平面平行 C如果平面 不垂直平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D若直线 不平行平面 ，则在平面 内不存在与 平行的直线 答案： D 试题分析：利用反证法可知（ A） 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，正确； 由 “平行公理 ”（ B）平行于同一平面的
4、两个不同平面平行，正确； 由反证法知（ C）如果平面 不垂直平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ，正确。故不正确的命题是（ D）若直线 不平行平面 ，则在平面内不存在与 平行的直线。故选 D。 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。 点评：简单题，立体几何中涉及平行关系、垂直关系的定理、法则要熟记。 函数 的零点所在区间为 ( ) A（ 2， 3） B C（ 1， 2） D（ 0， 1） 答案： A 试题分析：因为 f(2)=lg2-10,所以函数 的零点所在区间为（ 2， 3），故选 A。 考点：本题主要考查函数零点存在定理。 点评：简单题，函数在 (a,b）存在零点，
5、则 f(a)f(b)0. 已知 =( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为=，故选 A。 考点：本题主要考查两角和与差的三角函数。 点评：简单题，利用两角和与差的三角公式解题，其中变角是关键。 在等差数列 中， ， （ ） A B C D 答案： D 试题分析：等差数列 中， ，18，故选 D. 考点：本题主要考查等差数列的通项公式。 点评：简单题，求数列中的项，一般要考虑求首项、公差，即通项公式。 填空题 已知 f(x) 各项均为正数的数列 an满足 a1 1， an 2 f(an)若 a2010a2012，则 a20 a11的值是 _ 答案： 试题分析：当 n为奇数时，由递推关系
6、得： 又 当 n为偶数时， 其值为方程 x= 即 +x-1=0的根， x= 又数列为正数数列， = = 。 考点：本题主要考查数列的概念，数列的递推公式。 点评：中档题，通过讨论 n为奇数、偶数，明确数列的特征，认识到即 x= 的根，使问题得解。 已知函数 ( 为正整数 ),若存在正整数 满足 : ,那么我们将 叫做关于 的 “对整数 ”.当 时 ,则“对整数 ”的个数为 个 . 答案： 试题分析： , 满足要求 , 当 时 ,则 “对整数 ”的个数为 9个 . 考点：本题主要考查学生的学习能力，对数的换底公式。 点评：新定义问题，主要考查学生的学习能力及对数计算，在理解 “新定义 ”的基础上
7、， “对整数 ”是 2的正整数次幂。 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m），则该棱锥的全面积是_（单位： m2） 正视图 侧视图 俯视图 答案： 试题分析：该几何体是一三棱锥，底面是底边长为 2 ，高为 2 的等腰三角形，有一侧面垂直于底面，底边长为 2 ，高为 2 的等腰三角形，另两侧面是全等等腰三角形，腰长为 ，底边长 2 ，所以该棱锥的全面积是= 。 考点：本题主要考查三视图，几何体的面积计算。 点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。注意图中虚线，是被遮掩的棱。 过原点作曲线 的切线，则切线方程为 ；
8、答案： y=ex 试题分析： 的导数为 。 设切点坐标（ a， ），则切线的斜率为 k= 。 设切线方程为 y= （ x-a） + ，把（ 0， 0）代入得， (-a)+ =0 即 (1-a) =0， 不为 0， 1-a=0， a=1 切点（ 1， e），斜率为 e，切线方程为 y=ex。 考点：本题主要考查导数的几何意义，直线方程。 点评：简单题， 求 = 。 答案： -i 试题分析： 。 考点：本题主要考查复数的代数运算。 点评：简单题，高考必考题型，往往比较简单。细心计算即可。 解答题 某企业员工 500人参加 “学雷锋 ”志愿活动，按年龄分组：第 1组 25， 30)，第 2组 30，
9、 35)，第 3组 35， 40)，第 4组 40， 45)，第 5组 45， 50，得到的频率分布直方图如右图所示 (1)下 表是年龄的频数分布表，求正整数 的值； 区间 25， 30) 30， 35) 35， 40) 40， 45) 45， 50 人数 50 50 150 (2)现在要从年龄较小的第 1,2,3组中用分层抽样的方法抽取 6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？ (3)在 (2)的前提下，从这 6人中随机抽取 2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第 3组的概率 答案： (1) ， . (2)第 1， 2， 3组分别抽取 1人， 1人， 4人 (3)至少有 1人年龄
10、在第 3组的概率为 试题分析： (1)由题设可知， ， . (2) 因为第 1， 2， 3组共有 50+50+200=300人， 利用分层抽样在 300名学生中抽取 名学生，每组抽取的人数分别为： 第 1组的人数为 ， 第 2组的人数为 ， 第 3组的人数为 ， 所以第 1， 2， 3组分别抽取 1人， 1人， 4人 (3)设第 1组的 1位同学为 ，第 2组的 1位同学为 ，第 3组的 4位同学为，则从六位同学中抽两位同学有： 共 种可能 其中 2人年龄都不在第 3组的有： 共 1种可能， 所以至少有 1人年龄在第 3组的概率为 考点：本题主要考查频率分布直方图，频率 的概念及计算，古典概型
11、概率的计算。 点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。古典概型概率的计算问题，关键是明确基本事件数，往往借助于 “树图法 ”，做到不重不漏。 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， （ ）求数列 的通项公式； （ ）设 ，求数列 的前 项和 答案：（ ） 。（ ） = =。 试题分析：（ ）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由题意得 解得 。 6分 （ ） = = 12分 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的的基础知识， “分组求和法 ”。 点评：中档题，本题具有较强的综合性，本解答通过等差数列的通项公式、求和公式，构建方程组，确定得到通项公式，
12、从而根据 ，进一步转化成数列 求和问题，利用 “分组求和法 ”化简，达到解题目的。 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， （ 1）求 的面积； （ 2）若 ，求 的值。 答案：（ 1） ； （ 2） 试题分析： , , 2分 又 ， ， 3分 而 所以 ， 5分 所以 的面积为： 6分 （ 2）由（ 1）知 ，而 ，所以 7分 所以 8分 , 10分 考点：本题主要考查平面向量的数量积，三角函数同角公式、和差倍半公式，正弦定理、余弦定理的应用。 点评：中档题，为研究三角函数的图象和性质，或求三角函数值，往往需要利用三角函数和差倍半公式将函数 “化一 ”。本题由平面向量的坐标运算得到 f(x
13、)的表达式，通过 “化一 ”，利用三角函数性质，求得周期、最小值。本题综合利用正弦定理、余弦定理，达到解题目的。 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， 平面 SAD，点 是 的中点，且 ， . （ 1）求四棱锥 的体积； （ 2）求证： 平面 ； （ 3）求直线 和平面 所成的角的正弦值 . 答案：（ 1） ； （ 2） 取 的中点 ，连接 、 。 得 且 ， 且 四边形 是平行四边形 得到 平面 ； （ 3） 。 试题分析： 底面 , 底面 , 底面 , , 、 是平面 内的两条相交直线 侧棱 底面 2分 在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 是直角梯形， ， ， ， 4分 （ 2） 取
14、的中点 ，连接 、 。 点 是 的中点 且 底面 是直角梯形， 垂直于 和 ， ， 且 且 四边形 是平行四边形 ， 平面 8分 （ 3） 侧棱 底面 ， 底面 垂直于 ， 、 是平面 内的两条相交直线 ，垂足是点 是 相关试题 2013届湖南省祁阳四中高三上学期第三次月考文科数学试卷（带） 某厂生产某种零件 ,每个零件的成本为 40元 ,出厂单价定为 60元 ,该厂为鼓励销售高订购 ,决定当一次订量超过 100个时 ,每多订购一个 ,订购的全部零件的出厂单价降低 0.02元 ,但实际出厂单价不能低于 51元 . (1)当一次订购量为多少个时 ,零件的实际出厂单价恰好降为 51元 (2)设一次
15、订购量为 x个 ,零件的实际出厂单价为 P元 ,写出函数 P=f(x)的表达式 . (3)当销售商一次订购 500个零件时 ,该厂获得的利润是多少元 如果订购 1 000个 ,利润又是多少元 (工厂售出一个零件的利润 =实际出厂单价 -成本价 ) 答案： (1) . (2)P=f(x)= N, (3)销售商一次订购 500个零件时 ,该厂获得的利润是 6 000元 ;如果订购 1 000个 ,利润是 11 000元 试题分析： (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51元时 ,一次订购量为 个 , 则 . (2)当 时 ,P=60. 当 100x550时 ,P=60-0.02(x . 当 时
16、,P=51. P=f(x)= N, (3)设销售商的一次订购量为 x个时 ,工厂获得的利润为 L元 ,则 L=(P-40)x= 当 x=500时 ,L=6 000; 当 x=1 000时 ,L=11 000. 即销售商一次订购 500个零件时 ,该厂获得的利润是 6 000元 ;如果订购 1 000个 ,利润是 11 000元 考点：本题主要考查分段函数的概念，函数模型，函数的最值。 点评：典型题，解答此类问题的基本步骤是：审清题意，设出变量，布列函数，多法求解。求最值使，可考虑利用导数、均值定理、二次函数性质等等。 设函数 ， 。 （ 1）当 时，求 的单调区间； （ 2）（ i）设 是 的
17、导函数，证明：当 时，在 上恰有一个使得 ； （ ii）求实数 的取值范围，使得对任意的 ，恒有 成立。 注： 为自然对数的底数。 答案：（ 1） 的减区间是 ；增区间是 （ 2）在 上恰有一个 使得 . （ ） 。 试题分析：（ 1）当 时， 1分 当 时， ；当 时， 所以函数 的减区间是 ；增区间是 3分 （ 2）（ ） 4分 当 时， ；当 时， 因为 ，所以函数 在 上递减；在 上递增 6分 又因为 ， 所以在 上恰有一个 使得 . 8分 （ ）若 ，可得在 时， ，从而 在 内单调递增，而 ， ，不符题意。 由（ ）知 在 递减， 递增， 设 在 上最大值为 则 ， 若对任意的 ，恒有 成立，则 ， 11分 由 得 ， ， 又 ， 。 13 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值，恒成立问题。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，首先通过求导数，研究导数值的正负情况，确定函数单调区间。应用同样的方法，研究函数图象的形态，明确方程解的情况。作为 “恒成立问题 ”往往转化成求函数的最值。
