1、2013届湖南省醴陵、攸县、浏阳一中元月联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 （ ） A (-2,0) B (0,2) C (2,3) D (-2,3) 答案： B 试题分析： , , 考点：集合交集运算 点评：集合的交集是由集合的共同的元素构成的集合，容易题 设集合 ， ，若动点 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：集合 表示的区域是由点构成的正方形，集合 表示的区域是直线 与直线 所夹的包含 x轴的部分，因此是由点 构成的正方形与由点 构成的正方形，点P是两个正方形内的动点， 可看作 与 距离的平方，结合图形可知 的最大值为 ，最小值为
2、考点：不等式表示平面区域及两点间距离公式 点评：本题的难点在于将所求式子转化为两点间距离，本题较难 双曲线 - 1的渐近线与圆 (x-3)2 y2 r2(r 0)相切，则 r（ ） A B 2 C 3 D 6 答案： A 试题分析：由双曲线方程可知 ，渐近线为 即，由渐近线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径得 考点：双曲线性质及直线与圆相切 点评：当双曲线焦点在 x轴时，渐近 线为 ，焦点在 y轴时，渐近线为，因此在求渐近线之前先要找准焦点位置，本题较易 若实数 x， y满足 ，如果目标函数 的最小值为 ，则实数 m=( ) A 8 B 0 C 4 D -8 答案： A 试题分析：先做出线性约
3、束条件下的可行域，平移直线 可知当直线经过直线 与 的交点 时， 取得最小值。将点的坐标 代入 得 ，本题较易 考点：线性规划问题 点评：线性规划问题的取得最值的位置一般位于可行域的顶点处 ,较易题 公比为 2的等比数列 的各项都是正数，且 =16，则 =（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 答案： A 试题分析：由等比数列通项公式 可得考点：等比数列性质 点评：等比数列中若 则 ，此性质是数列小题中常用的性质，容易题 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30名，高二年级有 40名。现用分层抽样的方法在这 70名学生中抽样，已知在高一年级的学生中抽取了 6名，则在高二年级的学生中应抽取的
4、人数为（ ） A 6 B 10 C 8 D 9 答案： C 试题分析：分层抽样即按各层个体总数与样本容量的比例关系依次抽取各层个体的抽样方法。高一 30名抽取了 6名，抽取比例为 ，所以高 二抽取的学生数为 名 考点：分层抽样 点评：当抽取的对象差异较大时适宜采用分层抽样，容易题 已知二次函数 的图象如图 1所示 , 则其导函数 的图象大致形状是（ ） 答案： B 试题分析：结合导数的几何意义：函数在某点处的导数值等于该点处的切线斜率，可知在函数的增区间 内，导数值大于零，在函数的减区间 内，导数值小于零，因此选 B 考点：导数的几何意义 点评：由导数的几何意义：函数在某点处的导数值等于该点处
5、的切线斜率，可知由 可求函数增区间，由 可求函数减区间，容易题 在 ABC中， “ ”是 “ ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：在三角形中由正弦定理 可知当 时有， ；反之当 时有 ，由正弦定理得 ，所以“ ”是 “ ”的充要条件 考点：充分条件与必要条件 点评：若 则 是 的充分条件， 是 的必要条件，较易题 复数 =( ) A B C D 答案： C 试题分析： 考点：复数计算化简 点评：复数化简时常用到分母实数化，用到的关系式 ，容易题 填空题 已知 上恒成立，则实数 a的取值范围是 . 答案： -1,0 试题分析
6、：当 时 恒成立， ；当 时 转化为 的最小值为 0 ；当 时，转化为 的最大值为 ，综上可得 考点：不等式恒成立与函数最值的转化 点评：在求解不等式恒成立中参数范围问题时，常首先转为出参数，而后求解函数的最值得到参数范围，本题亦可采用数形结合法，作出函数 的图像与函数 图像，使两图像满足 时函数 的图像在函数图像的上方，从而求出 的范围，本题难度较大 点 P在双曲线 上 ， 是这条双曲线的两个焦点， ，且 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 答案： 试题分析：设 P是双曲线右支上一点，由三条边长成等差数列得，即 因为 所以有 代入整理得 考点：双曲线定义及离心率 点评：双曲线定义：双
7、曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于 ，求离心率的题目关键是找到关于 的齐次方程或不等式 一个几何体的三视图及其尺寸 (单位： cm) ，如图所示，则该几何体的侧面积为 cm 答案： 试题分析：由三视图可知该几何体是正四棱锥，底面正方形边长为 8，侧面等腰三角形的高为 5，一个侧面面积为 ，所以侧面积为 80 考点：三视图 点评：先由三视图还原出直观图，再根据几何体的特征求其表面 积，高考必考题型，容易题 曲线 y=x(3lnx+1)在点 处的切线方程为 _. 答案： 试题分析： ， ，所以切线的斜率为 4，切线方程为 即 考点：函数导数的几何意义 点评：导数的几何意义：函数在某点处的导数
8、值等于该点处的切线斜率，本题较易 圆 的圆心 到直线 的距离为 。 答案： 试题分析：由圆的极坐标方程可知圆 化为普通方程是，圆心为 ，直线 化为普通方程得，所以圆心到直线的距离为 考点：极坐标方程参数方程及点到直线距离 点评：极坐标方程： ，点 到直线的距离公式 ，难度适中 在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点是 ，则点 P 到坐标原点 O的距离 _ 答案： 试题分析：两点关于 y轴对称，则两点的横坐标，竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以由点 关于 轴的对称点是 可得 ， 考点：空间点对称的位置关系及空间两点间距离 点评：点 关于 x的对称点 ，关于 y轴的对称点 ，关于 z轴的对称点
9、，若 则空间 两点间的距离公式为 ，容易题 解答题 （本小题满分 12分） 某高校在 2013年的自主招生考试成绩中随机抽取 40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第 1组 ，第 2组 ，第 3组 ，第 4组 ，第 5组 ，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在 85分以上（含 85分）的学生为 “优秀 ”，成绩小于 85分的学生为 “良好 ”，且只有成绩为“优秀 ”的学生才能获得面试资格 . （ 1）求出第 4组的频率 ; （ 2）如果用分层抽样的方法从 “优秀 ”和 “良好 ” 的学生中选出 5人，再从这 5人中选 2人，那么至少有一人是 “优秀 ”的概率是多少？ 答案：（ 1）
10、0.2（ 2） 试题分析：（ ）其它组的频率为（ 0.01+0.07+0.06+0.02） 5=0. 8，所以第四组的频率为 0.2， 5 分 （ ）依题意良好的人数为 人，优秀的人数为 人 优秀与良好的人数比为 3:2，所以采用分层抽样的方法抽取的 5人中有优秀 3人，良好 2人 ,记从这 5人中选 2人至少有 1人是优秀为事件 M, 将考试成绩优秀的三名学生记为 A,B， C，考试成绩良好的两名学生记为 a,b 从这 5人中任选 2人的所有基本事件包括： AB,AC,BC， Aa,Ab,Ba,Bb， Ca,Cb,ab共 10个基本事件 事件 M含的情况是： AB,AC,BC， Aa,Ab,
11、Ba,Bb， Ca,Cb，共 9个 所以 12 分 考点：频率分布直方图与分层抽样古典概率 点评：频率分布直方图中各矩形面积和为 1，每一个小矩形的面积代表该组的频率，分层抽样是各层按照所占样本容量的比例抽取，古典概率需要找到所有基本事件总数及满足某一条件的基本事件数目，然后求其比值 （本小题满分 12分） 向量 （ 1）若 a为任意实数，求 g(x)的最小正周期； （ 2）若 g(x)在 o， ）上的最大值与最小值之和为 7，求 a的值， 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： g（ x） m n a 1 4sinxcos（ x ） sin2x-2sin2x a 1 sin2x cos2x a
12、 2sin（ 2x ） a （ 4分） （ 1） g（ x） 2sin（ 2x ） a， T （ 6分） （ 2） 0x ， 2x 当 2x ，即 x 时， ymax 2 a （ 8分） 当 2x ，即 x 0时， ymin 1 a， （ 10分） 故 a 1 2 a 7，即 a 2 （ 12分） 考点：向量数量积及三角函数化简性质 点评：此类题目要求学生熟记三角公式，如诱导公式，二倍角公式，两角和差的正余弦公式，三角函数单调区间等，本题属于中档题 (本小题满分 12分 ) 已知等差数列 满足： ， . 的前 n项和为 . （ 1）求 及 ； （ 2）若 , （ ），求数列 的前 项和 . 答
13、案：（ 1） ， （ 2） = 试题分析：（ 1）设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d ， 解得 , 6 分 （ 2） , 7 分 = (1- + - + - ) = (1- ) = 所以数列 的前 项和 = . 12 分 考点：等差数列求通项求和及一般数列求和 点评：本题数列 求和采用的是裂项相消的方法，此外常用到的一般数列求和有分组求和，倒序相加求和，错位相减求和，其中错位相减法求和是常考的知识点，本题属于中档题 （本小题满分 13分）已知点 分别为椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆上任意一点， 到焦点 的距离的最大值为 . (1）求椭圆 的方程。 (2）点 的坐标为 ，过点 且斜率为
14、的直线 与椭圆 相交于 两点。对于任意的 是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。 答案： (1） (2）定值为 试题分析： (1)由题意可知： a+c= +1 ， c=1 a= , 所求椭圆的方程为： (2）设直线 l的方程为： y=k（ x-1） A(x1， y1) ,B(x2， y2)， M( ,0)联立 则 ， 为定值 考点：椭圆方程性质及直线与椭圆的位置关系 点评：直线与椭圆相交，常用到韦达定理使计算简化，圆锥曲线中的向量运算常转化为点的坐标运算，本题有一定难度 （本小题满分 14分）对定义域分别是 、 的函数 、 ， 规定：函数 已知函数 ， （ 1）求函数 的式； 对于实数
15、 ，函数 是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由 答案：（ 1） 当 时，函数 没有最小值；当 时，函数 的最小值为 ；当 时，函数的最小值为 试题分析：（ 1）因为函数 的定义域 ，函数的定义域 ，所以 4 分 （ 2）当 时，函数 单调递减， 所以函数 在 上的最小值为 当 时， 若 ，函数 此时，函数 存在最小值 h(0)=0 若 ，因为 ， 所以函数 在 上单调递增此时，函数 不存在最小值 若 ，因为 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增此时，函数 的最小值为 因为 ， 所以当 时， ，当 时， 综上可知，当 时，函数 没有最小值；当 时，函数 的最小值为 ；当 时，函数 的最小值为 14 分 考点：分段函数及利用导数求函数最值 点评：本题第一小题考查的是分段函数，分段函数针对于不同的自变量的范围有不同的式，第二小题难在需要对 a分情况讨论从而确定函数单调性求解其最值，学生不易找到分情况讨论的入手点，本题难度大
