1、2013届湖南省醴陵、攸县、浏阳一中元月联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 则 的值是 ( ) A 1 B 0 C D 答案： B 试题分析：因为 即 -i=a+bi, 由复数相等得 a=0,b=-1,所以 =0，故选 B。 考点：本题主要考查复数的概念及其运算。 点评：简单题，复数运算中一些小结论要注意记忆，以提高解题速度。 定义域为 的函数 图像的两个端点为 A、 B， M(x， y)是 图象上任意一点，其中 已知向量 ，若不等式 恒成立， 则称函数 在 上 “k阶线性近似 ”若函数在 1， 2上 “k阶线性近似 ”，则实数 k的取值范围为 ( ) A 0， +) B C D 答
2、案： D 试题分析：由题意， M、 N横坐标相等， | | |k恒成立即 k恒大于等于 | |，则 k| |的最大值，所以本题即求 |的最大值 由 N在 AB线段上，得 A（ 1， 0）， B（ 2， ）， AB方程 y= （ x-1） 由图象可知， MN=y1-y2=x- - （ x-1） = -（ + ） - （均值不等式） 故选 D 考点：本题主要考查向量的线性运算，新定义问题，均值定理的应用。 点评：求解的关键是理解题意并得出 M、 N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题 设 m1，在约束条件 目标函数 z=x+my的最大值大于 2，则 m的取值范围为 A B C（ 1， 3
3、） D 答案： B 试题分析：作出不等式组所表示的平面区域如图所示 作 L： x+my=0，向可行域内平移，越向上，则 Z的值越大，从而可得当直线 L过 B时 Z最大 而联立 x+y=1，与 y=mx可得点 B( ) 代入可得 Zmax= 2 解可得， m 1+ 或 m 1- m 1 m 1+ ,故选 B. 考点：本题主要考查简单的线性规划，以及利用可行域求最值 . 点评：基础题 ,解题中一定要注意目标函数所对应的直线的斜斜率与边界斜率的大小比较，以确定直线平行的过程中是先过哪个点 已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有，且当 时， ，则（ ） A B C D 1 答案： C 试题分析： 函
4、数 f（ x）是（ -， +）上的偶函数， f（ -x） =f（ x）， 又 对于 x0都有 f（ x+2） =-f（ x）， f（ x+4） =-f(x+2)=f(x) T=4， 当 x 0， 2）时， f（ x） =log2（ x+1）， f（ -2011） +f（ 2012） =f（ 2011） +f（ 2012） =f（ 4502+3） +f（ 4503） =f（ 3） +f（ 0） =-f(1)+f(0)=-log22+log21=-1， 故选 C 考点：本题主要考查函数的奇偶性及周期性，对数函数的性质。 点评：小综合题，首先根据 f（ x）是（ -， +）上的偶函数，可得 f（ -
5、x） =f（ x），知 f（ -2011） =f（ 2011），求出函数的周期 T=4，利用当 x 0， 2）时，f（ x） =log2（ x+1）的式，进行求解 设 是各项为正数的无穷数列， 是边长为 的矩形面积（ ），则 为等比数列的充要条件为 A 是等比数列。 B 或 是等比数列。 C 和 均是等比数列。 D 和 均是等比数列，且公比相同。 答案： D 试题分析：依题意可知 Ai=ai ai+1， Ai+1=ai+1 ai+2， 若 An为等比数列则 =q（ q为常数），则 a1， a3， ， a2n-1， 和 a2，a4， ， a2n， 均是等比数列，且公比均为 q； 反之要想 An为
6、等比数列则 需为常数，即需要 a1， a3， ， a2n-1， 和 a2， a4， ， a2n， 均是等比数列，且公比相等； 故 An为等比数列的充要条件是 a1， a3， ， a2n-1， 和 a2， a4， ， a2n， 均是等比数列，且公比相同 故选 D 考点：本题主要考查充要条件的概念，等比数列的概念。 点评：此类问题，要既考查充分性，又要考查必要性，已作出准确判断。 给定性质 : 最小正周期为 ； 图象关于直线 x= 对称，则下列四个函数中， 同时具有性质 、 的是（ ） A y = sin(2x- ) B y = sin( + ) C y = sin(2x+ ) D y = sin
7、|x| 答案： A 试题分析：满足 “ 最小正周期为 ”的有 A,C；满足 “ 图象关于直线 x= 对称 ”的只有 A，故选 A。 考点：本题主要考查三角函数的图象和性质。 点评：简单题，三角函数图象和性质是高考常考知识点。 命题 “ 的否定是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：全称命题的否定，结论要否定，还要把全称量词变为存在量词所以命题 “ 的否定是 ，故选 D。 考点：本题考查命题的否定。 点评：解答本题关键是正解全称命题的否定命题的书写格式，结论要否定，还要把全称量词变为存在量词 全集 且 则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ， = ，故选 C。 考
8、点：本题主要考查简单不等式解法，集合的运算。 点评：小综合题，首先明确集合中元素特征，然后利用集合的运算求解。 填空题 在正整数数列中，由 1开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染 1，再染两个偶数 2、 4；再染 4后面最邻近的三个连续奇数 5、 7、 9；再染 9后面最邻近的四个连续偶数 10、 12、 14、 16；再染此后最邻近的五个连续奇数 17、 19、21、 23、 25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列 1， 2， 4， 5， 7， 9， 10，12， 14， 16， 17， 则在这个红色子数列中，由 1开始的 第 2011个数是_. 答案： 试题分析：分组： 第一组一个
9、， 第二组两个， . 则第一组最后一个数为 1 则第二组最后一个数为 1+3 . 第 44组 最后一个数为第 1980个数 为 3872 ， 再推得第 2011个数为 3959. 考点：本题主要考查归纳推理，等差数列知识。 点评：创新题，注意发现构成规律，运用等差数列知识求解。 已知曲线 交于点 P，若设曲线 y=f（ x）在点P处的切线与 x轴交点的横坐标为 的值为 答案： -1； 试题分析： f（ x） =（ n+1） xn， k=f（ x） =n+1， 点 P（ 1， 1）处的切线方程为： y-1=（ n+1）（ x-1）， 令 y=0得， x=1- = ， 即 xn= ， x1x 2x
10、 2011= = ， 则 log2012x1+log2012x2+log 2012x2011 =log2012（ x1x 2x 2011） =log2012 =-1 故答案：为 -1 考点：本题主要考查导数的几何意义；数列的求和 点评：利用导数求曲线上某点的切线方程，解题时要认真审题，仔细解答 已知 F1、 F2分别是双曲线 的左、右焦点，点 P是双曲线上的 点，且 |P F1|=3，则 |PF2|的值为 . 答案：； 试题分析：因为点 P是双曲线上的点，所以 |P F1|-|PF2|=4，解得 |PF2|=7. 考点：本题主要考查双曲线的定义及其几何性质 点评：简单题，涉及双曲线上的点到焦点
11、的距离，一般要考虑应用定义。 已知向量 , ，其中 ，且 ，则向量 和 的夹角是 . 答案： ； 试题分析：因为向量 , ，其中 ，且 ， 所以 ，即 = ，又 ，所以向量 和 的夹角是 。 考点：本题主要考查向量的数量积，向量的垂直。 点评：简单题，两向量垂直，它们的数量积为 0. 如图给出的是计算 的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是 . 答案： ib0）过 M（ 2， ） ， 2b=4 故可求得 b=2,a=2 椭圆 E的方程为 2 分 （ 2）设 A（ x1,y1） ,B（ x2,y2），当直线 L斜率存在时设方程为 ， 解方程组 得 ,即 , 则 = , 即 （ *） 4 分
12、 ,要使 ,需使 ,即 , 所以 , 即 7 分 将它代入（ *）式可得 8 分 P到 L的距离为 又 将 及韦达定理代入可得 10分 当 时 由 故 12 分 当 时 , 当 AB的斜率不存在时 , , 综上 S 13 分 考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系。 点评：求椭圆的标准方程是几何的基本问题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，常常运用韦达定理，本题属于中档题。 (本小题满分 13分 ).某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 立方米，且 假设该容器的建造费用仅与 其表面积有关已知圆柱形部
13、分每平方米建造费用为 3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为 千元 （ ）写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域； （ ）求该容器的建造费用最小时的 答案：（ I） ； （ II） 是函数 y的极小值点，也是最小值点。 （ 2）当 时，建造费用最小时 当 时，建造费用最小时。 试题分析：（ I）设容器的容积为 V， 由题意知 故 由于 因此 .3 分 所以建造费用 因此 .5 分 （ II）由（ I）得 由于 当 令 所以 .7 分 （ 1）当 时， 所以 是函数 y的极小值点，也是最小值点。 .10 分 （ 2）当 即 时， 当 函数单调递减， 所以 r=2是函
14、数 y的最小值点， 综上所述，当 时，建造费用最小时 当 时，建造费用最小时 13 分 考点：本题主要考查导数在实际问题中的应用，利用导数求函数的最值，几何体特征及体积计算。 点评：高考题，构建函数关系、准确求导数是解题的关键。 (本小题满分 12分 )如图，四棱锥 P-ABCD中， PB 底面 ABCD底面ABCD为直角梯形， AD BC， AB=AD=PB=3， BC=6点 E在棱 PA上，且PE=2EA. (1)求异面直线 PA与 CD所成的角； (2)求证： PC 平面 EBD； (3)求二面角 ABE -D的余弦值 答案： (1) PAF=60；（ 2）连结 AC交 BD于 G，连结
15、 EG，由成比例线段得 PC EG， 又 EG 平面 EBD， PC 平面 EBD. PC 平面 EBD； （ 3）二面角 A-BE-D的余弦值为 。 试题分析： (1) PB 底面 ABCD，在直角梯形 ABCD中 AB=AD=3， BC=6 取 BC的中点 F，连结 AF，则 AF CD. 异面直线 PA和 CD所成的角就是 PA和 AF所成的角 PAF（或其补角），在 PAF中， AF=PA=PF=3 ， PAF=60 3 分 （ 2）连结 AC交 BD于 G，连结 EG， 又 PC EG 又 EG 平面 EBD， PC 平面 EBD. PC 平面 EBD 7 分 （ 3） PB 平面
16、ABCD， AD PB.又 AD AB, AD 平面 EAB. 作 AH BE,垂足为 H,连结 DH,则 DH BE, AHD是二面角 A-BE-D的平面角 .在 ABE中 ,BE= AH= tan AHD= , 所以，二面角 A-BE-D的余弦值为 12 分 考点：本题主要考查立体几何中线面平行及角的计算。 点评：典型题，立体几何中平行、垂直关系的证明及角的计算问题是高考中的必考题，注意遵循 “一作、二证、三算 ”的解题步骤。 （本小题满分 12分） 已知数列 满足条件： , （ 1）判断数列 是否为等比数列； （ 2）若 ，令 , 记 证明： 答案：（ 1）当 时， 不是等比数列 当 时
17、， 是以 为首项， 2为公比的等比数列 (2)由 知 ，所以 推出 试题分析：（ 1）证明：由题意得 2 分 又 , 所以，当 时， 不是等比数列 当 时， 是以 为首项， 2为公比的等比数列 5 分 (2)解：由 知 ， 7 分 故 9 分 12 分 考点：本题主要考查递推公式，等比数列的通项公式，数列的求和。 点评：典型题，利用递推公式，求得数列的通项公式，进一步求和， “裂项相消法 ”是经常考查的数列求和方法。 (本小题满分 12分 )本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游 的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收 2元（不足 1小时的
18、部分按 1小时计算）。有人独立来该租车点租车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ；两人租车时间都不会超过四小时。 （ ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； （ ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望 . 答案：（ 1） ; （ 2）分布列 . 试题分析：（ 1）所付费用相同即为 元。设付 0元为 ，付 2元为 ，付 4元为 则所付费用相同的概率为 .4 分 （ 2）设甲，乙两个所付的费用之和为 ， 可为 .5 分 .10 分 分布列 .12分 考点：本题主要考查离散性随机变量的分布列及数学期望。
19、点评：常见题，涉及相互独立事件概率的计算，要细心。 （本小题满分 13分）已知函数 ， （ ）设 （其中 是 的导函数），求 的最大值； （ ）求证 : 当 时，有 ； （ ）设 ,当 时 ,不等式 恒成立，求 的最大值 . 答案：（ ）当 时， 取得最大值 ； （ ）当 时， 由（ 1）知：当 时， ，即 因此，有 （ ）整数 的最大值是 . 试题分析：（ ） , 所以 当 时， ；当 时， 因此， 在 上单调递增，在 上单调递减 因此，当 时， 取得最大值 ； 3 分 （ ）当 时， 由（ 1）知：当 时， ，即 因此，有 7 分 （ ）不等式 化为 所以 对任意 恒成立令 ，则， 令 ，则 ，所以函数 在上单调递增 因为 ， 所以方程 在 上存在唯一实根 ，且满足 当 ，即 ，当 ，即 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增 所以 所以 故整数 的最大值是 . 13 分 考点：本题主要考查了导数的运算、导数在函数单调性及不等式中的应用。 点评：较难题，利用导数求函数单调区间的方法，解题时注意函数的定义域，避免出错。
