2013届甘肃省兰州一中高三上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析）.doc

1、2013届甘肃省兰州一中高三上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 A B CD 答案： A 试题分析： ，故选 A。 考点：本题主要考查复数的运算。 点评：简单题，运用复数的除法运算法则计算。 点 是曲线 上的动点，曲线 在点 处的切线与 轴分别交于 两点，点 是坐标原点 .给出三个结论： ; 的周长有最小值 ； 曲线 上存在两点 ，使得 为等腰直角三角形 .其中正确结论的个数是 A 1 B 2 C 3 D 0 答案： C 试题分析：设动点 P(m， )（ m 0），则 y=- ， f(m)=- ， 过动点 P(m， )的切线方程为： y- =- (x-m) 分别令 y=0

2、， x=0，得 A（ 2m， 0）， B(0， ) 则 |PA|= ， |PB|= ， |PA|=|PB|，故 正确； 由上面可知： OAB的周长 =2m+ +2 22+2 =4+2 ，当且仅当 m= ，即 m=1时取等号故 OAB的周长有最小值 4+2 ，即 正确 假设曲线 C 上存在两点 M(a， )， N(b， )，不妨设 0 a b， OMN=90 则 |ON|= |OM|， ， 所以 化为 ，解得 ，故假设成立因此 正确 故选 C。 考点：本题主要考查导数的概念及应用；不等式的解法及应用。 点评：理解导数的几何意义、基本不等式的性质、两点间的距离公式及等腰直角三角形的性质是解题的关键

3、较难。 在 中，设 ,点 在 边上且，则 A B C D 答案： B 试题分析：由 知 D是 BC 边的中点，所以， 故选 B。 考点：本题主要考查平面向量的线性运算。 点评：基础题，认识到 知 D是 BC 边的中点是关键。 已知定义在 R上的奇函数 ，满足 ,且在区间 上是增函数 ,若方程 在区间 上有四个不同的根 ,则A 6 B C 18 D 0 答案： B 试题分析： 即 。又奇函数图象关于原点对称，所以如果 ， 是方程 的根，则 - -3， - -3也是该方程的根，所以 -6， 故选 B。 考点：本题主要考查函数的图象和性质，方程的根与图象与 x轴交点的关系。 点评：利用函数的奇偶性及

4、图象的对称性，确定得到方程根的关系，从而求得之和。 函数 的图像大致是答案： A 试题分析： 既不是奇函数，也不是偶函数所以图象不关于原点、 y轴对称，排除 C,D；又 x增大时， 无限增大，而 cosx 1，即图象越来越接近 x轴，故选 A。 考点：本题主要考查函数的图象和性质。 点评：利用函数的性质，定性分析图象的形态。 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 ，其中 ，若 ，则称甲乙 “心有灵犀 ”.现任意找两人玩这个游戏，则他们 “心有灵犀 ”的概率为 A B C D 答案： C 试题分析：（ a,b）共有 66=36种情况。猜

5、数字游戏可能出现的 所有结果如下表所示： 0 1 2 3 4 5 0 0 |-1| |-2| |-3| |-4| |-5| 1 1 0 |-1| |-2| |-3| |-4| 2 2 1 0 |-1| |-2| |-3| 3 3 2 1 0 |-1| |-2| 4 4 3 2 1 0 |-1| 5 5 4 3 2 1 0 其中， “心有灵犀 ”的结果总数为 16，所以他们 “心有灵犀 ”的概率为 = 。故选 C。 考点：本题主要考查古典概型概率的计算。 点评：基础题，也可利用 “树图法 ”列出 “心有灵犀 ”的情况，运用概率计算公式求解。 若曲线 的焦点 F恰好是曲线的右焦点，且 交点的连线过

6、点 F，则曲线 的离心率为 A B C D 答案： B 试题分析：抛物线与双曲线交于 A( )、 B( )两点，则： AB= p 又 A(c， )， B(c， - )， c= 则 2 =2c 2c，所以 =2c， b2=2ac，由 得 c2-a2-2ac=0 ( )2-2( )-1=0 解得： e= = ，故选 B。 考点：本题主要考查抛物线、双曲线的几何性质。 点评：基础题，结合图形特征，通过构建 a,c的方程求得了离心率。 某班主任对全班 50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表： 认为作业多 认为作业不多 总数 喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏 8 15 23 总数

7、26 24 50 算得 . 0.050 0.025 0.010 0.001 3.841 5.024 6.635 10.828 附表： 参照附表，得到的正确结论是 A.有 的把握认为 “喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系 ”; B.有 的把握认为 “喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少无关系 ”; C.在犯错误的概率不超过 的前提下，认为 “喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少无关系 ”; D.在犯错误的概率不超过 的前提下，认为 “喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系 ”. 答案： D 试题分析： 5.059 5.024， 有 0.025的概率出错即在犯错误的概率不超过的前提下，认为 “喜欢玩电

8、脑游戏与认为作业量的多少有关系 ”.，选 D。 考点：本题主要考查假设检验。 点评：简单题，对照附表做出答案：。 已知数列 满足 ，则数列 的前 10项和为 A B C D 答案： A 试题分析：由 知 分别为等差数列、等比数列， 且 ，所以 = ，故其前 10项和为 ，故选A。 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的定义及通项公式。 点评：基础题，从题意出发，认识到 分别为等差数列、等比数列，较方便地确定 的特征，进一步求前 10项和。 如右图给出的是计算 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 A B C D 答案： A 试题分析：因为每循环一次， i就增加 2，所以计算 的值，当

9、 出现后就要输出 S，故判断框中要填条件 ，选 A。 考点：本题主要考查程序框图的概念及其应用。 点评：简单题，关键是理解循环体的意义。 已知各项均不为零的数列 an，定义向量 .下列命题中真命题是 A若 n N*总有 成立，则数列 an是等差数列 ; B若 n N*总有 成立，则数列 an是等比数列 ; C若 n N*总有 成立，则数列 an是等差数列 ; D若 n N*总有 成立，则数列 an是等比数列 . 答案： A 试题分析：因为 n N*总有 成立，所以 =0，； 从而 ，所以， ，即数列 an是等差数列，故选A。 考点：本题主要考查递推数列、命题及复合命题的概念，向量的坐标运算。

10、点评：简单题，准确计算向量的数量积是基础，利用 “累乘法 ”是关键。 的零点个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 答案： B 试题分析：运用数形结合法，画出函数图象可知，函数图象与 x 轴有两个交点，故选 B。 考点：本题主要考查函数式，函数的零点与方程根的关系。 点评：典型题，涉及函数零点的个数的判断，一般有两种方法，一是代数法，即通过令 f(x)=0,解方程；二是，通过画出函数图象，观察图象与 x轴的交点情况。解题中注意运用数形结合思想与转化思想。 填空题 正三棱锥 中， , 的中点分别为 ，且 ，则正三棱锥 外接球的表面积为 . 答案： 试题分析： 三棱锥 S-ABC正棱锥， SB A

11、C（对棱互相垂直） MN AC 又 MN AM而 AMAC=A， MN 平面 SAC 即 SB 平面 SAC ASB= BSC= ASC=90，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球 2R= ， R= ， S=4R2=4 ( )2 =12，故答案：为 考点：本题主要考查正三棱锥及球的几何特征，考查空间想象能力。 点评：基础题，三棱锥的外接球的表面积的计算，需要求出球的半径，将三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就 是外接球的直径，是解决本题的关键 对大于或等于 2的自然数 m的 3次方幂有如下分解方式： , , 则（ 1） 的分解中最小的数是 (2分 )； （ 2）按以上规律，第 个式子可以表

12、示为 (3分 ). 答案：； = . 试题分析：（ 1）因为 23=3+5， 33=7+9+11， 43=13+15+17+19， 所以 53=21+23+25+27+29，分析可知 83=57+59+61+63+65+67+69+71共 8项，即在 的分解中最小的数是 57 （ 2）从 23起， k3的分解规律恰为数列 3， 5， 7， 9， ， 2n+1， 若干连续项之和， 23为前两项和， 33为接下来三项和，利用等差数列的求和公式可得 = 。 考点：本题主要考查归纳推理。 点评：归纳推理的一般步骤是：（ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的

13、一般性命题（猜想） 已知不等式组 表示的平面区域为 M，直线 与曲线 所围成的平面区域为 N，现随机向区域 M内抛一粒豆子，则豆子落在区域 N 内的概率为 . 答案： 试题分析：不等式组 表示的平面区域为 M,即图中直角三角形，其面积=4，直线 与曲线 所围成的平面区域为 N,其面积为= ，由几何概型概率的计算公式得豆子落在区域 N内的概率为 。 考点：本题主要考查几何概型概率的计算，平面区域，定积分。 点评：小综合题，关键是计算平面区域的面积。 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则. 答案： .48 ； 试题分析： 服从正态分布 ，则正态曲线关于 x=3对称，因为，所以 0.5-1- =0

14、.48. 考点：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 点评：简单题，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为 x=，并在 x=时取最大值 从 x=点开始 ，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与 x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以 x轴为渐近线的 解答题 （本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （ 1）当 时，求函数 的定义域； （ 2）若关于 的不等式 的解集是 ，求 的取值范围 答案：（ I）函数 的定义域为 ； （ II） 的取值范围是 试题分析：（ I）由题设知： ， 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集： ，或 ，或 ，

15、解得函数 的定义域为 ； （ 5分） （ II）不等式 即 ， 时，恒有 ， 不等式 解集是 ， ， 的取值范围是 （ 10分） 考点：本题主要考查对数函数的性质，绝对值不等式的解法。 点评：利用分类讨论的数学思想，正确分类是关键 其中（ 2）将恒成立问题转化成求函数值域，是这类题的常用解法。 （本小题满分 10分）选修 4-1：几何证明选讲 如图所示，已知 与 相切， 为切点， 为割线， 弦 ， 、 相交于 点， 为 上一点，且 . （ 1）求证： ； （ 2）求证： = . 答案：见。 试题分析：证明：（ 1） ， 。 是公共角， 相似于 ， ， 。 5分 (2) ， 与 相似， 即 。

16、弦 相交于点 ， . 10 分 考点：本题主要考查平面几何选讲，三角形及圆的问题。 点评：本题以直线与圆的位置关系为载体，全面考查了平面几何选讲问题，中档题 （本小题满分 12分） 设定义在区间 上的函数 的图象为 ， 是 上的任意一点，为坐标原点，设向量 = ， ， ，当实数 满足 x= x1+(1-) x2时，记向量 = +(1-) 定义 “函数 在区间上可在标准 下线性近似 ”是指 “ 恒成立 ”，其中 是一个确定的正数 （ 1）求证： 三点共线 ; （ 2）设函数 在区间 0， 1上可在标准 下线性近似，求 的取值范围； （ 3）求证：函数 在区间 上可在标准 下线性近似 . （参考数

17、据： =2.718， ） 答案：（ 1）由 = +(1-) 得到 = ，所以 B， N， A 三点共线。 （ 2） k的取值范围是 （ 3）见。 试题分析：（ 1）由 = +(1-) 得到 = ，所以 B， N， A三点共线。 2 分 （ 2）由 x= x1+(1-) x2与向量 = +(1-) ，得 N 与 M的横坐标相同 4 分 对于 0， 1上的函数 y=x2， A(0， 0)， B(1， 1)， 则 ，故 ； 所以 k的取值范围是 6 分 （ 3）对于 上的函数 ， A( )， B( )， 则直线 AB的方程， 8 分 令 ，其中 ，于是， 10 分 列表如下： x em (em， e

18、m+1-em) em+1-em (em+1-em， em+1) em+1 + 0 - 0 增 减 0 则 ，且在 处取得最大值， 又 0.123 ，从而命题成立 12 分 考点：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；向量的共线定理 点评：本题是在新定义下考查向量共线知识以及利用导数求闭区间上函数的最值，是对知识的综合考查，属于难题理解定义是关键 （本小题满分 12分） 如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似 .已知椭圆 与椭圆相似，且椭圆 的一个短轴端点是抛物线 的焦点 . （ ）试求椭圆 的标准方程； （ ）设椭圆 的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线与椭圆 交

19、于 两点，且与椭圆 交于 两点 .若线段 与线段 的中点重合，试判断椭圆 与椭圆 是否为相似椭圆？并证明你的判断 . 答案：（ ） .（ ）椭圆 与椭圆 是相似椭圆 . 证明见。 试题分析：（ ）椭圆 的离心率为 ， 抛物线 的焦点为. 设椭圆 的方程为 ，由题意，得： ，解得， 椭圆 的标准方程为 . 4 分 （ ）解法一：椭圆 与椭圆 是相似椭圆 . 5 分 联立 和 的方程， ，消去 ，得， 6 分 设 的横坐标分别为 ，则 . 设椭圆 的方程为， 7分 联立方程组 ，消去 ，得 , 设 的横坐标分别为 ，则 . 弦 的中点与弦 的中点重合， ， ， ， 化简得 ， 10 分 求得椭圆

20、的离心率 ， 12 分 椭圆 与椭圆 是相似椭圆 . 解法二：（参照解法 1评分） 设椭圆 的方程为 ，. 在椭圆 上， 且 ，两式相减并恒等变形得. 由 在椭圆 上，仿前述方法可得 . 弦 的中点与弦 的中点重合， ，求得椭圆 的离心率 ， 即椭圆 与椭圆是相似椭圆 . 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系。 点评：综合题，判断椭圆 与椭圆 是否为相似椭圆，主要是要把握好 “如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似 ”这一定义， “点差法 ”是常用方法 （本小题满分 12分） 某建筑物的上半部分是多面体 , 下半部分是长方体（如图） . 该建筑物的正

21、视图和侧视图（如图） , 其中正 (主 )视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧 (左 )视图由长方形和等腰三角形组合而成 . （ ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （ ）求二面角 的余弦值； （ ）求该建筑物的体积 . 答案：（ 1）直线 与平面 所成角的正弦值为 . （ 2）二面角 的余弦值为 .（ 3）建筑物的体积为 . 试题分析：解法 1：（ 1）作 平面 ， 垂足为 ，连接 ，则 是直线 与平面 所成的角 . 1 分 由于平面 平面 ， 故 是直线 与平面 所成的角 .2 分 作 ，垂足为 ，连接 ， 平面 ， . 平面 ， 平面 ， 平面 . 由题意知 ， 在 Rt 中， ， 在 R

22、t 中， ，在 Rt 中， 直线 与平面 所成角的正弦值为 . 4 分 （ 2）延长 交 于点 ，连接 ，由（ 1）知 平面 平面 ， . ， . 是二面角 的平面角 . 6 分 在 中， ， ， . 二面角 的余弦值为 . 8 分 （ 3）作 交 于点 ，作 交 于点 ，由题意知多面体可分割为两个等体积的四棱锥 和 和一个直三棱柱 . 四棱锥 的体积为 ， 直三棱柱 的体积为 ， 多面体 的体积为 （本小题满分 12分） 2012 年 3 月 2 日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准 .其中规定 :居民区中的 PM2.5（ PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称

23、可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过 35微克 /立方米， PM2.5的 24小时平均浓度不得超过 75微克 /立方米 . 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40天的PM2.5的 24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下： 组别 PM2.5（微克 /立方米） 频数（天） 频率 第一组 (0,15 4 0.1 第二组 (15,30 12 0.3 第三组 (30,45 8 0.2 第四组 (45,60 8 0.2 第三组 (60,75 4 0.1 第四组 (75,90) 4 0.1 （ 1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）； （ 2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM

24、2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由； （ 3）将频率视为概率，对于去年的某 2天，记这 2天中该居民区 PM2.5的 24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为 ，求 的分布列及数学期望 答案：（ 1）众数为 22.5微克 /立方米 , 中位数为 37.5微克 /立方米（ 2）该居民区的环境需要改进 （ 3）变量 的分布列为 0 1 2 （天） ,或 （天） . 试题分析：（ 1）众数为 22.5微克 /立方米 , 中位数为 37.5微克 /立方米 4 分 （ 2）去年该居民区 PM2.5年平均浓度为（微克 /立方米） 因为 ，所以去年该居民区 PM2.5 年平

25、均浓度不符合环境空气质量标准， 故该居民区的环境需要改进 8 分 （ 3）记事件 表示 “一天 PM2.5的 24小时平均浓度符合环境空气质量标准 ”，则 . 随机变量 的可能取值为 0,1,2.且 .所以， 所以变量 的分布列为 0 1 2 （天） ,或（天） 12 分 考点：本题主要考查离散型随机变量的期望；二项分布。 点评：确定分布列及数学期望，计算概率是关键，涉及组合、排列问题，注意公式的正确运用，属中档题。 （本小题满分 12分） 在 中，角 的对边分别为 不等式 对于一切实数 恒成立 （ ）求角 C的最大值 . （ ）当角 C取得最大值时，若 ，求 的最小值 . 答案：（ ） 的最

26、大值为 . （ ） 的最值为 . 试题分析：（ ） ， 的最大值为 . 6 分 （ ） ， 由（ ）得 的最值为 . 12分 考点：本题主要考查余弦定理；一元二次不等式恒成立的条件，基本不等式的应用 点评：本题综合考查了余弦定理；一元二次不等式恒成立的条件，基本不等式的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键 （本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程是 ，曲线 的参数方程是 是参数） . （ 1）写出曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程； （ 2）求 的取值范围，使得 ， 没有公共点 . 答案：（ 1）曲线 的直角坐标方程是 ，曲线 的普通方程是； （ 2） 。 试题分析：（ 1）曲线 的直角坐标方程是 ， 曲线 的普通方程是 5 分 （ 2）当且仅当 时， ， 没有公共点， 解得 。 10 分 考点：本题主要考查简单曲线的参数方程、极坐标方程。 点评：基础题，作为选学内容，参数方程、极坐标等内容的命题较为简单，突出基础性。实现不同形式方程的相互转化是关键。