1、2013届甘肃省张掖二中高三（奥班） 10月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数 的定义域为 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 ，所以函数的定义域为。 考点：函数定义域的求法。 点评：求函数的定义域需要从以下几个方面入手：（ 1）分母不为零 ；（ 2）偶次根式的被开方数非负；（ 3）对数中的真数部分大于 0；（ 4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1 ； （ 5） y=tanx中 xk+/2； y=cotx中 xk等； ( 6 )中 。 函数 为定义在 上的减函数，函数 的图像关于点（ 1,0）对称， 满足不等式 ， ， 为坐标原点，则当 时， 的取值范围为 (
2、) A B C D 答案： D 试题分析：因为函数 的图像关于点（ 1,0）对称，所以函数的图像关于原点对称，即 是奇函数。又因为 为定义在 上的减函数，所以由 ，所以 ，令 ，由线性规划的知识可知 的取值范围为 。 考点：函数的单调性；函数的奇偶性；图像的变换；向量的数量积；线性规划的有关知识。 点评：把抽象函数的问题和线性规划的有关知识相结合，难度较大。对学生的能力要求较高。 下列命题中，真命题的个数为 ( ) （ 1）在 中，若 ，则 ； （ 2）已知 ，则 在 上的投影为 ； （ 3）已知 ， ，则 “ ”为假命题； （ 4）已知函数 的导函数的最大值为 ，则函数的图 象关于 对称 A
3、 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：（ 1）在 中，若 ，则 ；正确。 （ 2）已知 ，所以则 在 上的投影为 ，错误。 （ 3）已知 ，真命题； ，真命题；则“ ”为假命题，正确。 （ 4）若函数 的导函数的最大值为 ，则 ，所以 ，由 得： ，所以函数 的图象关于 对称，错误。 考点：投影的概念；命题真假的判断；复合命题真假的判断；导数运算法则。 点评：此题考查的知识点较为综合。熟练掌握函数 的对称轴的求法。属于中档题。 已知 ， 为互相垂直的单位向量，向量 ， ，且 与的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： a2 ， , ，。因为
4、 a与 a+ b的夹角为锐角，所以 且 ，所以，且 ，解得 。 考点：向量的数量积；向量垂直的条件；向量的夹角。 点评： 是 夹角为锐角的必要不充分条件。此题为易错题，容易把当做 夹角为锐角的冲要条件来做。 已知函数 满足： x4,则 ；当 x 4时 ，则 A B C D 答案： A 试题分析：由题意易知 : ，因为， ，所以 =。 考点：分段函数；对数的运算；指数幂的运算。 点评：熟练掌握对数和指数幂的运算，是做本题的前提条件。属于基础题型。在计算时一定要认真、仔细，避免出现计算错误！ 等差数列 的前 n项和为 ，已知 ， ,则 ( ) A 38 B 20 C 10 D 9 答案： C 试题
5、分析：因为 ，所以由等差数列项性质得：，当 时不满足 ，所以舍去；当时，由 得， ，所以 。 考点：等差数列的性质；等差数列前 n项和的性质。 点评：熟练应用等差数列的性质：若 。属于基础题型。 若曲线 在点 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则 ( ) A 64 B 32 C 16 D 8 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，所以 ，所以曲线在点 处的切线为 ，当 时，；当 ，所以切线与两个坐标围成的三角形的面积，所以 64. 考点：导数的几何意义；直线方程的点斜式；导数的运算法则。 点评：我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程，尤其要注意切点这个特殊点，充分利用切点即在
6、曲线方程上，又在切线方程上，切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。属于基础题。 已知数列 满足 ，且 ，则 的值是 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ，所以，所以 =-5. 考点：对数的运算；等比数列的性质； 点评：熟练掌握等比数列的性质和对数的运算是做此题的关键，属于中档题。 设函数 的最小正周期为 ，且 ，则（ ） A 在 单调递减 B 在 单调递减 C 在 单调递增 D 在 单调递增 答案： A 试题分析：因为 ，因为 f(x)的最小正周期为 ，所以 ，又因为 ，所以，因为 ，所以 ，所以，所以 在 单调递减。 考点：和差公式；三角函数的周期公式；函
7、数的奇偶性。 点评：求三角函数的周期和单调区间时，一般把函数化为 y=Asin（ x+）的形式，在求单调区间时，一定要注意 的正负。 设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ） A 4 B 11 C 12 D 14 答案： B 试题分析：画出线性约束条件 的可行域，由可行域可求目标函数的最大值为 11. 考点：线性规划的有关知识。 点评：对于解决线性规划的问题我们的关键点在于分析目标函数。目标函数除了我们常见的 这种形式外，还有常见的两种： ，第一种的几何意义为：过点 与点 (a,b)直线的斜率。第二种的几何意义为：点 与点 (a,b)的距离。 已知向量 ， ， ，则 = （ ） A
8、B C 5 D 25 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ，所以，所以 =5. 考点：向量的数量积；向量数量积的简单性质；向量的坐标表示。 点评：向量的平方就等于模的平方是一条非常重要的性质，考试中经常考到。此题的关键就是想到应用这条性质。一般情况下，题中若有向量的模都要先考虑这一条。 函数 y= 的最小正周期是 （ ） A B C 2 D 4 答案： B 试题分析： y=，所以最小正周期为 。 考点：三角函数的周期公式；二倍角公式；同角三角函数关系式。 点评：熟练应用二倍角公式。此题为基础题型。 填空题 已知函数 恒成立，则 k的取值范围为 。 答案： 试题分析：因为 所以 易知在 上单调递
9、增，又 ， 所以 在 ，所以 ，因为，所以函数 f（ x） =ex+x2-x在 -1， 1内的最大值是 e，最小值是 1所以要满足恒成立，只需满足 ，即。 考点：利用导数研究函数的单调性和最值。 点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题的关键是要分析出。 已知数列 满足 则数列 的前 项和 = . 答案： 试题分析：因为 所以两边同除以 ，得，所以 ，所以用错位相减法求得 =。 考点：通项公式的求法；用错位相减法求数列前 n项和的求法。 点评：设数列 ，其中 为等差数列， 为等比数列，若求数列的前 n项和，我们一般用错位相减法。错位相减法经常考到，我们要熟练掌握。 已知 （其中 ，
10、O是坐标原点） ,若 A、 B、 C三点共线，则 的最小值为 . 答案： 试题分析： ，因为若 A、 B、 C三点共线，所以 ，即 ，所以。 考点：向量的运算；基本不等式。 点评：做本题的关键是灵活应用 “1”代换，使 变形为，从而就达到积为定值的目的，应用基本不等式。 “1”代换是我们常用的方法，我们要注意熟练掌握。 已知数列 的首项 2， ，数列 通项公式为 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，所以数列是首项为 3，公比为 3的等比数列，所以 ，即 。 考点：数列通项公式的求法；等比数列的通项公式；等比数列的定义。 点评：本题通过配凑系数构造新数列，使新数列为等比数列。通过求新数列的通项公式
11、，总而求出要求的数列的通项公式。若已知 的形式，通常构造数列的方法为 ，则 ，即数列为等比数列。 解答题 （本小题满分 12分）设 （ ）求 的最大值及最小正周期； （ ）若锐角 满足 ，求 的值 答案：（ ）最大值为 ；最小正周期 （ ） . 试题分析：（ ） 故 的最大值为 ； 最小正周期 6分 （ ）由 得 ，故 又由 得 ，故 ，解得 12分 考点：二倍角公式；和差公式；三角函数的最值与周期公式；三角函数求值。 点评：一般的时候求三角函数式的最值或周期，我们要把三角函数式化为的形式。此题为基础题型。 （本小题满分 12分）在数列 中， ， ， （ ）证明数列 是等比数列； （ II）求
12、数列 的前 项和 （ ）证明对任意 ，不等式 成立 答案：（ ）由题设 ，得 ， 又 ，所以数列 是首项为 ，且公比为 的等比数列 （ II） ;（ ）对任意的 ， 所以不等式 ，对任意 皆成立 试题分析：（ ）证明：由题设 ，得 ， 又 ，所以数列 是首项为 ，且公比为 的等比数列 4分 （ ）解：由（ ）可知 ，于是数列 的通项公式为 所以数列 的前 项和 8 分 （ ）证明：对任意的 ， 所以不等式 ，对任意 皆成立 12 分 考点：等比数列的定义；等比数列的性质；通项公式的求法；前 n 项和的求法。 点评：设数列 ，其中 为等差数列， 为等比数列，若求数列的前 n项和，我们一般用分组求
13、和法。分组求和法经常考到，我们要熟练掌握。 (本小题满分 12分 ) 在 中，角 所对的三边分别为 成等比数列，且 （ 1）求 的值； （ 2）设 ，求 的值 答案：（ 1） ;（ 2） 3. 试题分析：（ 1）由 2 分 因为 成等比数列，所以 则 则 或者由 ，得到 6 分 （ 2）因为 ，由向量数量积公式，得 8 分 由余弦定理 ，所以 则10 分 所以 因此 12 分 考点：等比数列的性质；同角三角函数关系式；和差公式；正弦定理；余弦定理； 向量数量积公式。 点评：三角函数和其他知识点相结合往往是一道大题，一般较为简单，应该是必得分的题目。而有些同学在学习中认为这类题简单，自己一定会，
14、从而忽略了对它的练习，因此导致考试时不能得满分，甚至不能得分。比如此题在第二问中，就较易忘掉应用第一问求出 的范围。因此我们在平常训练的时候就要要求自己 “会而对，对而全 ”。 (本小题满分 12分 ) 已知数列 an的前 n项和为 Sn，点 在直线 上 .数列 bn满足 ，前 9项和为 153. （ ）求数列 an、 bn的通项公式； （ ）设 ，数列 cn的前 n和为 Tn，求使不等式对一切 都成立的最大正整数 k的值 . 答案：（ ） （ II） 试题分析：（ ）由题意，得 故当 时， 当 n = 1时， ，而当 n = 1时， n + 5 = 6，所以，3 分 又 ， 所以 bn为等差
15、数列，于是 而 因此， 6 分 （ ） 所以， 8 分 由于 ， 因此 Tn单调递增，故 10 分 令 12 分 考点：数列通项公式的求法；数列前 n项和的求法。 点评：（ 1）我们要熟练掌握求数列通项公式的方法。公式法是求数列通项公式的基本方法之一，常用的公式有：等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及公式 。此题的第一问求数列的通项公式就是用公式，用此公式要注意讨论 的情况。 （ 2）常见的裂项公式： ， ， ， (本小题满分 12分 )函数 ， （ ）求 的单调区间和最小值； （ ）讨论 与 的大小关系； （ ）是否存在 ，使得 对任意 成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由
16、 答案：（ ）在 是函数 的减区间 ; 是函数 的增区间 .的最小值是 （ II）当 时， ；当 时， （ ）不存在 . 试题分析：（ 1） ， （ 为常数），又 ，所以 ，即 ， ； ， ，令 ，即 ，解得 ， 因为 ，所以 0， 0， 当 时， ， 是减函数，故区间在 是函数 的减区间； 当 时， ， 是增函数，故区间在 是函数 的增区间； 所以 是 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以 的最小值是 4 分 （ 2） ，设 ，则 ， 当 时， ，即 ，当 时， ， 因此函数 在 内单调递减，当 时， =0， ； 当 时， =0， 8 分 （ 3）满足条件的 不存在证明如下：
17、证法一 假设存在 ，使 对任意 成立， 即对任意 有 但对上述的 ，取 时，有 ，这与 左边的不等式矛盾， 因此不存在 ，使 对任意 成立 12 分 证法二 假设存在 ，使 对任意 成立， 由（ 1）知， 的最小值是 ， 又 ，而 时， 的值域为 ， 当 时， 的值域为 相关试题 2013届甘肃省张掖二中高三（奥班） 10月月考理科数学试卷（带） 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10分） 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 处，极轴与 轴的正半轴重合，且长度单位相同直线 的极坐标方程为： ,点，参数 （ ）求点 轨迹的直角坐标方程； （ ）求点 到直线 距离的最大值 答案：（
18、） ;（ II） . 试题 分析： ( ) 且参数 ， 所以点 的轨迹方程为 3分 ( )因为 ，所以 ， 所以 ，所以直线 的直角坐标方程为 6分 法一：由 ( ) 点 的轨迹方程为 ，圆心为 ，半径为 2. ，所以点 到直线 距离的最大值 . 10分 法二： ，当 ， ， 即点 到直线 距离的最大值 . 10分 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化；点到直线的距离公式。 点评：一般情况下，我们要把参数方程或极坐标方程转化为直角坐标方程来做，属于基础题型。 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10分） 设函数 ,其中 。 （ ）当 时，求不等式 的解集； （ ）若不等式 的解集为 ，求 a的值。 答案：（ ） 或 ;（ II） . 试题分析：（ ）当 时， 可化为 。 由此可得 或 。 故不等式 的解集为 或 。 5 分 ( ) 由 得 此不等式化为不等式组 或 即 或 因为 ，所以不等式组的解集为 由题设可得 = ，故 10 分 考点：含绝对值不等式的解法。 点评：解含绝对值不等式的主要思想是分类讨论，通过分类讨论，去掉绝对值符号。
