1、2013届福建省四地六高三第三次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 ，则 =（ ） A 4 B 1， 2， 3， 4， 5 C D 答案： B 试题分析：由题意可知 ，所以 考点：本小题主要考查集合的运算 . 点评：解决此类问题，关键是看清集合中的元素是什么 . 函数 在区间 上的最大值 的最小值是（ ） A B C 1 D 2 答案： B 试题分析：由题意可知当 时， ，所以 当 时， ，所以 当 时， ， ， 综上所述，最大值 的最小值为 . 考点：本小题主要考查含绝对值的函数的值域问题，考查学生分类讨论思想的应用 . 点评：对于含参数的问题，要分类讨论，分类时要尽量做到不重
2、不漏 . O 为 ABC的内切圆圆心，且 AB=5,BC=4,CA=3，下列结论中正确的是（ ） A B C = = D = 答案： A 试题分析：由三角形三条边的边长可知该三角形是一个直角三角形，以直角顶点 C为原点建立平面直角坐标系，所以 ，因为 O 为 ABC的内切圆圆心，易求该内切圆的半径为 1，所以 ，所以所以, ,所以 . 考点：本小题主要考查勾 股定理、三角形的内切圆和向量的数量积运算，考查学生的运算求解能力和对问题的转化能力 . 点评：求出内切圆半径后，建立平面直角坐标系使运算变得简便 . 在 ABC中， a、 b、 c分别为三个内角 A、 B、 C所对的边，设向量，若 ，则角
3、 A的大小为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，由向量垂直的坐标运算可得 ，整理可得 ，由余弦定理可得 考点：本小题主要考查向量垂直的坐标运算和余弦定理的应用，考查学生对问题的转化能力和运算求解能力 . 点评：由余弦定理求出 ，一定要交代 A的取值范围，才可以得出结论 . 已知 是实数，则函数 的图象不可能是（ ） 答案： D 试题分析： D中由图象的最值点可得 ，但是由周期可得 ，所以不可能 . 考点：本小题主要考查三角函数图象的判断和应用，考查学生的推理能力 . 点评：三角函数图象中，最值点决定振幅，周期确定 ，代入特殊点得 ，要灵活应用三角函数图象的性质解题 . 若双曲
4、线 的渐近线方程为 则双曲线的一个焦点 F到渐近线的距离为（ ） A 2 B C D 答案： C 试题分析：因为渐近线方程为 ，所以 ，对照双曲线方程可知 ，所以 所以焦点 F的坐标为 ，根据点到直线的距离公式可得焦点 F到渐近线的距离为 . 考点：本小题主要考查双曲线与渐近线的关系和点到直线的距离公式的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：双曲线标准方程中的 1化为 0，则可得双曲线的渐近线方程，同理，知道双曲线的渐近线方程也可以得到双曲线方程的大体形式 . 某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为（ ） A B C D 答案： 已知 下列四个条件中，使 成立的必要而不充分的条件
5、是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 可以得出 ，但是 时不一定有 ，所以是 的必要不充分条件 . 考点：本小题主要考查不等式的性质和充分条件、必要条件的判断，考查学生的推理能力 . 点评：充分条件和必要条件的判断，关键是分清谁是条件谁是结论 . 已知 为等差数列 ,若 ,则 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 为等差数列 ,所以 ，所以考点：本小题主要考查等差数列的性质和三角函数求值，考查学生的运算求解能力 . 点评：等差数列的性质是高考中的热点问题，要灵活应用 . 已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命 题中正确的是（ ） A B C D 答案：
6、 B 试题分析：垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，所以 A不正确；平行于同一个平面的两条直线位置关系不一定，所以 C不正确；平行于同一条直线的两个平面更不一定平行，所以 D不正确；由线面垂直的性质可知 B正确 . 考点：本小题主要考查空间中直线、平面间的位置关系，考查学生的空间想象能力和推理论证能力 . 点评：解决此类问题，要紧扣定理，定理中要求的条件要一一验证，缺一不可 . 填空题 对于函数 ，若存在区间 ，当 时的值域为，则称 为 倍值函数 .若 是 倍值函数，则实数的取值范围是 。 答案： 试题分析： 的定义域为 ，且在在定义域内为单调增函数， 因此有： 即： 即 为方程 的两个不同
7、实数根，所以 ， 令 ，由 ，得极大值点为 的极大值为： ，又因为 时， ， 时，因此当 时， 有两个解。 故所求的 的取值范围为 . 考点：本小题主要考查新定义下函数的值域问题和函数的极值最值问题，考查学生的转化问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力 . 点评：对于新定义问题，要根据题意将问题适当的转化为熟悉的数学问题求解 . 一个四面体所有棱长都为 ,四个顶点在同一球面上，则此球表面积为 。 答案： 试题分析：显然该四面体是一个正四面体，把这个正四面体置于一个正方体中，在棱长为 1的正方体 中，由四个顶点 组成的四面体的所有棱长均为 ,从而四面体的外接球就是正方体的外接球，由于正方
8、体的体对角线长为 ，所以球的半径为 ，所以球的表面积为 考点：本小题主要考查四面体与外接球的关系和球的表面积的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力 . 点评：此题的解法很特殊但是很有效，其实借助规则的几何体进行解题是常用的解题方法 . 过点 的直线 将圆 截成两段弧，若其中 劣弧的长度最短，那么直线 的方程为 。 答案： 试题分析：易求圆的圆心为 ,当劣弧最短时，直线 与 垂直，而,所以直线 的斜率为 1，由直线方程的点斜式可得直线 的方程为. 考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系和两直线垂直的斜率之间的关系以及直线方程的求解，考查学生数形结合的能力和运算求解能力 . 点评：解决此小题
9、的关键在于看出直线 与 垂直 . 已知点 在直线 上，则 的最小值为 . 答案： 试题分析：因为点 在直线 上，所以 ，所以. 考点：本小题主要考查点与直线的关系和基本不等式的应用，考查学生的转化能力和运算求解能力 . 点评：利用基本不等式时，要注意 “一正二定三相等 ”三个条件缺一不可 . 若变量 满足约束条件 ，则 的最大值为 . 答案： 试题分析：画出可行域为一个三角形，再画出目标函数，通过平移可知，在点处取得最大值，最大值为 3. 考点：本小题主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值，考查学生画图、用图的能力 . 点评：对于线性规划知识，关键是正确画出可行域和目标函数 . 解答题 （本
10、小题满分 13分） 如图，在平面直角坐标系中，锐角 的 终边分别与单位圆交于 两点 （ ）如果 ，点 的横坐标为 ，求 的值； （ ）已知点 ，求函数 的值域 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ） 是锐角， ， 2 分 根据三角函数的定义，得 ， 又 是锐角， 4 分 7 分 （ ）由题意可知， ， ， 9 分 ， ， 10 分 ，从而 ， 12 分 函数 的值域为 13 分 考点：本小题主要考查三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、和角公式和平面向量的坐标运算以及三角函数求值问题，考查学生的运算求解能力 . 点评：三角函数中公式较多，多和向量结合出题，要灵活运用公式，仔细计算 . （本
11、小题满分 13分） 已知数列 满足： ，其中 为数列 的前 项和 . （ ）试求 的通项公式； （ ）若数列 满足： ，试求 的前 项和公式 . 答案：（ ） （ ）试题分析：（ ） 2 分 - 得 ， ， 4 分 又 时， 6 分 （ ） 8分 9 分 - 得 11 分 整理得： 13 分 考点：本小题主要考查由数列的前 n和公式求通项公式，和错位相减法求数列的前 n项的和，考查学生的运算求解能力 . 点评：求数列的通项公式时，不要忘记验证 ，另外错位相减是高考中考查的热点内容，要仔细运算，以防出错 . （本小题满分 13分） 直线 y kx b与曲线 交于 A、 B两点，记 AOB的面积为
12、 S（ O 是坐标原点）。 （ 1）求曲线的离心率； （ 2）求在 k 0， 0 b 1的条件下， S的最大值； 答案：（ 1） （ 2） 1 试题分析：（ 1）曲线的方程可化为： ， 1 分 此曲线为椭圆， ， 4 分 此椭圆的离心率 . 6 分 （ 2）设点 A的坐标为 ，点 B的坐标为 ， 由 ，解得 ， 8 分 所以 . 11 分 当且仅当 时， S取到最大值 1 13 分 考点：本小题主要考查曲线类型的判断和三角形面积公式的应用以及利用基本不等式求最值，考查学生转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：圆锥曲线问题是每年高考必考的题目，要充分重视，灵活应用性质求解 . （本小题满分 1
13、3分） 如图 , 是边长为 的正方形， 平面 ， ， ，与平面 所成角为 . ( )求证： 平 面 ； ( )求二面角 的余弦值； ( )设点 是线段 上一个动点，试确定点 的位置，使得 平面 ，并证明你的结论 . 答案： ( ) ， 平面 ( ) ( ) 坐标为 ， 试题分析： ( ) 因为 平面 ，所以 . 2 分 因为 是正方形，所以 ， 又 相交 从而 平面 . 4 分 ( )因为 两两垂直， 所以建立空间直角坐标系 如图所示 . 因为 与平面 所成角为 ，即 ， 5 分 所以 . 由 可知 ， . 6 分 则 ， ， ， ， ， 所以 ， ， 7 分 设平面 的法向量为 ，则 ，即
14、， 令 ，则 . 8 分 因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， ， 所以 . 9 分 因为二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 . 10 分 ( )点 是线段 上一个动点，设 . 则 ， 因为 平面 ， 所以 ， 11 分 即 ，解得 . (本小题满分 14分 ) 已知函数 ，其中 。 （ 1）若 是函数 的极值点，求实数 a的值； （ 2）若函数 的图象上任意一点处切线的斜率 恒成立，求实数 a的取值范围； （ 3）若函数 在 上有两个零点，求实数 a的取值范围。 答案：（ 1） 1（ 2） （ 3） 试题分析：由题意知， ，所以 ， 2分 （ 1）所以 且 ， . 4 分 （
15、 2） 对任意的 恒成立 , 5 分 对任意的 恒成立 , , 而当 时， 取最大值为 1， ，且 ， . 7 分 （ 3） ，且 , ； 或 ； 在 和 上递增；而在 上递减。 8 分 当 时 i） ，则 在 上递增， 所以 在 上不可能有两个零点。 9 分 ii） ，则 在 上递减，而在 上递增。 在 上有极小值（也就是最小值） ， 而 ， ， 时， 在 上有两个零点。 12 分 iii） ，则 在 上递减， 所以 在 上不可能有两个零点。 13 分 综上所述： . 14 分 考点：本小题主要考查导数几何意义的应用、利用导数研究单调性和构造函数证明不等式以及基本不等式的应用，考查学生分析问
16、题、解决问题的能力和构造能力以及运算求解能力 . 点评：导数是研究函数的性质（尤其是单调性、极值、最值等）的有力工具，要灵活应用 . （本小题满分 14分） 选修 4-2：矩阵及其变换 （ 1）如图，向量 被矩阵 M作用后分别变成 ， （ ）求矩阵 M； （ ）并求 在 M作用后的函数式； 选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 2）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的方程为 。 （ ）求圆 的直角坐标方程； （ ）设圆 与直线 交于点 。若点 的坐标为（ 3， ），求。 选修 4-5：不等
17、式选讲 （ 3）已知 为正实数，且 ，求 的最小值及取得最小值时 的值 答案：（ 1）（ ） （ ） （ 2）（ ）（ ） （ 3）以当 时， 取得最小值 36 试题分析： (1)设 M= , 依题意根据矩阵变换可求得 ， 4 分 再坐标转移法得 . 7 分 （ 2）（ ）根据极坐标与直角坐标的转化公式 可得圆的直角坐标方程为： . （ ）将 的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得 ， 由 ，故可设 是上述方程的两根， 所以 ，又直线 过点 ，故结合 t的几何意义得， = . （ 3）解：由柯西不等式得 4 分 当且仅当 时等号成立， 5 分 此时 , 6 分 所以当 时， 取得最小值 36. 7 分 考点：本小题主要考查矩阵的变换、极坐标和直角坐标的转化、参数方程和柯西不等式的应用等，考查学生的转化问题的能力和 运算求解能力 . 点评：选修内容考查一般都比较简单，将涉及到的内容理解，公式记住并能灵活应用即可 .
