1、2013届福建省福州文博中学高三上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ， ，则 为（ ） A 1,2,4 B 2,3,4 C 0,2,4 D 0,2,3,4 答案： C 试题分析：因为 A=1,2,3,B=2,4,则根据补集的概念得到 ,那么，故选 C. 考点：本试题主要考查了集合的并集和补集的运算。 点评：解决该试题的关键是理解补集的含义和并集的概念。 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为 “互为生成 ”函数。给出下列函数： ； ； 其中 “互为生成 ”函数的是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：根据已知条件可知 f（ x） =s
2、inx+cosx= sin(x+ )； f(x)= (sinx+cosx)=2sin(x+ ) f（ x） =sinx； f(x)= sinx+ 显然只有 ，可以经过平移两个函数的图象能够重合， 两个函数之间，与 要想重合，不仅需要平移，还必须有伸缩变换才能实现 故选 D 考点：本题是基础题，实质考查函数图象的平移和伸缩变换问题，只要掌握基本知识，领会新定义的实质，不难解决问题 点评：解决该试题的关键是化简函数 ，使之成为一个角的一个三角函数的形式，观察 ，不难推出满足题意的函数，即可得到选项 已知正六边形 ABCDEF的边长为 1，则 的值为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由
3、正六边形的性质可知 , ,代入向量的数量积的运算可知 ，故选D. 考点：本试题主要考查了向量的数量积的运算 . 点评：解题的关键是熟练应用正六边形的性质 . 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由三视图可知，该几何体是下部为圆柱体，上部是半径为 1的球，直接求表面积即可。 由三视图容易推知几何体是：上部是半径为 1的球，下部是底面直径为 2的圆柱体，高为 3，该几何体的表面积为： 3 2+2+4r2=12，故答案：为： 12，故选 D. 考点：本题考查三视图、组合体的表面积考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象
4、能力和基本的运算能力；中档题 点评：解决该试题的关 键是将三视图还原为几何体。 如图所示的是函数 图象的一部分，则其函数式是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：函数的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，从而得到函数的式由函数的图象的顶点坐标可得 A=1，由再由五点法作图可得 1（ - ） +=0，可得 = ， 故函数式是 y=sin(x+ )，故选 A 考点：本试题主要考查利用 y=Asin（ x+ ）的图象特征，由函数 y=Asin（ x+ ）的部分图象求式，由函数的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，属于中档题 点评：解决该试题的关键是根
5、据图像求解 A， ， 的值。 已知 ,则 （ ） A B C 5 D 25 答案： C 试题分析：因为 ，则 ，故 ，选 C. 考点：本试题主要考查了向量的数量积的运算以及性质的运用。 点评：解决该试题的关键是将求解向量的模长转化为向量的数量积来得到，采用平方的方法得到。 若圆 关于直线 对称，则直线的斜率是 ( ) A 6 BC D 答案： D 试题分析：因为圆关于某一直线对称，说明直线必定过圆心，故圆 x2+y2-6x+6y+14=0关于直线 l： ax+4y-6=0对称，则直线通过圆心（ 3， -3），故 3a-12-6=0， a=6，斜率 k=- ，故选 D 考点：本题是基础题，考查直
6、线与圆的位置关系，考查对称知识、计算能力 点评：解决该试题的关键是明白直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到 a的值，然后求出直线的斜率 曲线 在点（ 处切线的倾斜角为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：先求出曲线方程的导函数，把 x=1代入导函数中求出的函数值即为切线方程的斜率，根据直线斜率与倾 斜角的关系得到倾斜角的正切值等于切线方程的斜率 .因为 y=x2,那么函数在点 x=1处的导数值为 y=1,故该点的切线的斜率为 1，那么可知倾斜角为 ，选 B。 考点：本试题主要考查了会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握直线斜率与倾斜角间的关系，灵活运用反三角函数值
7、化简求值，是一道综合题 点评：解决该试题的关键是曲线上过某点切线方程的斜率就是该点的导数值。 设 ，则 “ ”是 “直线 与直线 平行 ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线 l1： A1x+B1y+C1=0与直线 l2： A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是 A1B2=A2B1A2C1可得答案： （ 1）充分性： 当 a=1时，直线 l1： x+2y-1=0与直线 l2： x+2y+4=0平行； （ 2）必要性： 当直线 l1： ax+2y-1=0与直线 l2： x+2y+4=0平
8、行时有： a 2=2 1，即： a=1 “a=1”是 “直线 l1： ax+2y-1=0与直线 l2： x+2y+4=0平行 ”充分必要条件 故选 C 考点：本试题主要考查了充分条件、必要条件、充分必要条件以及两直线平行的充要条件，属于基础题型，要做到熟练掌握。 点评：解决该试题的关键是对于两条直线平行的要分为斜率存在和斜率不存在两种情况来分析。两直线平行的充要条件是 A1B2=A2B1A2C1。 函数 的零点所在的区间为（ ） A（ -1， 0） B（ ， 1）C（ 1， 2） D（ 1， ） 答案： B 试题分析：令 f（ x） =x+lnx=0， 可得 lnx=-x，再令 g（ x） =
9、lnx， h（ x） =-x，在同一坐标系中画出 g（ x）， h（ x）的图象， 可知 g（ x）与 h（ x）的交点在（ 0， 1），从而函数 f（ x）的零点在（ 0， 1）， 故选 B 考点：本试题主要考查了函数零点的概念和零点存在性定理的运用，属于基础题。 点评：解决该试题的最简单的方法令函数 f（ x） =0得到 lnx=-x，转化为两个简单函数 g（ x） =lnx， h（ x） =-x，最后在同一坐标系中画出 g（ x）， h（ x）的图象，进而可得答案： 已知各项均为正数的等比数列 ， =16，则 的值（ ） A 16 B 32 C 48 D 64 答案： D 试题分析：由题
10、意各项均为正数的等比数列 ， =16，而由等比中项可知 ， ，那么可知 ，所以 ，故选 D. 考点：本试题主要考查了等比数列的通项公式中等比中项性质的灵活运用。 点评：解决该试题的关键是根据等比中项简化运算。 函数 在其定义域上是 ( ) A奇函数 B偶函数 C增函数 D减函数 答案： B 试题分析：因为 f(x） =2sin(x+ )=2cosx,那么可知在其定义域内有增区间也有减区间，并且呈现周期性出现，而 f(-x)=2cos(-x)=2cosx=f(x),且定义域为 R，因此利用偶函数的定义可知选 B. 考点：本试题主要考查了函数的单调性和奇偶性的判定。 点评：解决该试题的关键是将函数
11、式化到最简，然后结合定义判定。 填空题 表 1中数阵称为 “森德拉姆筛 ”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字 206共出现 次。 答案： 试题分析：第 1行数组成的数列 A1j（ j=1， 2， ）是以 2为首项，公差为 1的等差数列，第 j列数组成的数列 A1j（ i=1， 2，）是以 j+1为首项，公差为 j的等差数列，求出通项公式，可以求出结果第 i行第 j列的数记为 Aij那么每一组 i与 j的解就是表中一个数 因为第一行数组成的数列 A1j（ j=1， 2， ）是以 2为首项，公差为 1的等差数列， 所以 A1j=2+（ j-1） 1=j+1， 所以第 j列数组成的数列 A1
12、j（ i=1， 2， ）是以 j+1为首项，公差为 j的等差数列， 所以 Aij=（ j+1） +（ i-1） j=ij+1 令 Aij=ij+1=206， 即 ij=205=1205=541=415=2051， 所以，表中 206共出现 4次 故答案：为： 4 考点：本试题主要考查了行列模型的等差数列的应用，要求利用首项和公差写出等差数列的通项公式，灵活运用通项公式求值，是中档题目 . 点评：解决该试 题的关键是灵活运用公式得到 Aij=（ j+1） +（ i-1） j=ij+1求解运算得到结论。 实数 满足不等式组 ，那么目标函数 的最小值是_. 答案： -6 试题分析：处理的思路为：根据
13、已知的约束条件 x-y+50， x+y0,x3 画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值 当直线 z=2x+4y过（ 3， -3）时， Z取得最小值 -6 故答案：为： -6 考点：本题考查的知识点是线性规划，用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中 的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解 点评：解决该试题的关键是确定平移目标函数时那个点是最优解的点。 已知等差数列 中， ，则前 10项的和 _. 答案：
14、试题分析：由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前 n项和公式，代入 n=10得出结果即为 ，那么，故可知数列的基本量，那么则 故答案：为 210. 考点：本试题主要考查了等差数列的通项公式的运用。 点评：若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解 若 ，则 的最小值为 答案： 试题分析：因为 x0,那么 ，当且仅当 取得等号，那么可知函数的最小值为 。故答案：为 。 考点：本试题主要考查了均值不等式求解最值的运用。 点评：解决该试题的关键是准确运用一正二定三项等来得到。 解答题 （ 12分）设函数 的图象经过点 （ 1）求 的式，并求
15、函数的最小正周期 （ 2）若 且 ，求 的值。 答案：（ 1）函数的最小正周期 ； （ 2） 。 试题分析：（ 1）将参数 m代入公式中可知满足题意的解。 （ 2）由于已知中代入第一问的式可知 ，结合二倍角公式得到。 解：（ 1） 函数 的图象经过点 ， .2 分 .3 分 函数的最小正周期 4 分 （ 2） 6 分 又因为 9 分 12分 考点：本试题主要考查了三角函数的性质和三角函数的恒等变换的运用。 点评：解决该试题的关键是将所求的函数式化为但一三角函数，然后结合二倍角公式求解。 （ 12分）已知如图：平行四边形 ABCD中， ，正方形 ADEF所在平面与平面 ABCD垂直， G， H分
16、别是 DF， BE的中点 （）求证： GH 平面 CDE； （）若 ，求四棱锥 F-ABCD的体积 答案：（ 1）见；（ 2） 。 试题分析：（ 1）证明 GH 平面 CDE，利用线面平行的判定定理，只需证明HG CD； （ 2）证明 FA 平面 ABCD，求出 SABCD，即可求得四棱锥 F-ABCD的体积 考点：本试题主要考查了线面平行，考查四棱锥的体积，属于中档题 点评：解决该试题的关键是正确运用线面平行的判定。 解： , 且 四边形 EFBC 是平行四边形 H为 FC的中点 -2分 又 G是 FD的中点 -4分 平面 CDE， 平面 CDE GH 平面 CDE -6分 （ 2） 平面
17、ADEF 平面 ABCD，交线为 AD 且 FA AD， FA 平面 ABCD. -8 , 又 ， BD CD-10分 -12分 12分）某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为 ABC、 ABD，经测量 AD=BD=14， BC=10,AC=16, C= D (I)求 AB的长度； ( )若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由 答案：（ ） A、 B两点的距离为 14.（ ） 试题分析：（ ）在 ABC中，由余弦定理得 cosC 的值，在 ABD中，由余弦定理
18、得 cosD 的值，由 C= D得 cosC=cosD，求得 AB=7，从而得出结论 （ ）小李的设计符合要求，因为由条件可得 S ABD S ABC，再由AD=BD=AB=7，得 ABD是等边三角形由此求得 S ABC的值，再乘 以 5000，即得所求 解：（ ）在 中，由余弦定理得 在 中，由余弦定理及 整理得 4 分 由 得： 整理可得 ， 6 分 又 为三角形的内角，所以 , 又 , ,所以 是等边三角形， 故 ，即 A、 B两点的距离为 14.8 分 （ ） 小李 的 设计符合要求 .理由如下： 因为 12 分 所以 考点：本试题主要考查了余弦定理的应用，考查三角形面积的计算，考查利
19、用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题 点评：解决该试题的关键是能灵活运用余弦定理得到 cosD的值。 （ 12分）过点 Q 作圆 C： 的切线，切点为 D，且 QD 4 (1)求 的值； (2)设 P是圆 C上位于第一象限内的任意一点，过点 P作圆 C的切线 l，且 l交 x轴于点 A，交 y 轴于点 B，设 ，求 的最小值 (O 为坐标原点 ). 答案： (1) （ 2） 取得最小值为 6。 试题分析：（ 1）由题设知， 是以 D为直角顶点的直角三角形 ,结合勾股定理得到 r的值。 （ 2）根据线与圆相切以及均值不等式和向量的坐标关系得到。 解： (1) 圆 C： 的圆心为 O(0， 0
20、)，于是由题设知， 是以 D为直角顶点的直角三角形， 故有 （ 2）设直线 的方程为 即 则 直线 与圆 C相切 当且仅当 时取到 “=”号 取得最小值为 6。 考点：本试题主要考查了直线与圆的位置关系的运用。 点评：解决该试题的关键是利用线圆相切则有圆心到直线的距离于圆的半径。 （ 12分）已知等差数列 的公差大于 0,且 是方程 的两根 ,数列 的前 项的和为 ，且 （ 1）求数列 ， 的通项公式； （ 2）记 ,求证： ； （ 3）求数列 的前 项和 答案：（ 1） （ 2）见；（ 3） 。 试题分析：（ 1）由已知可得， a3+a5= 14， a3 a5=45 且 a5 a3，联立方程
21、解得 a5，a3，进一步求出数列 an通项，数列 bn中，利用递推公式 bn= sn-sn-1， n2 s1 ， n=1 （ 2）把（ 1）中求得的 an和 bn代入 cn=anbn，求得 cn，进而可求得 cn+1-cn求得结果小于等于 0，原式得证 （ 3）用错位相减求数列 cn的前 n和 解：（ 1） ， 是方程 的两根，且数列 的公差 0， =5， =9，公差 3 分 又当 =1时，有 当 数列 是首项 ，公比 等比数列， 4 分 （ 2）由（ 1）知 6 分 8 分 （ 3） ，设数列 的前 项和为 ， （ 1） (2) 10 分 得： 化简得： 12 分 考点：本试题主要考查了等差
22、数列的通项公式和等比数列的通项公式，属基础题 点评：解决该试题的关键是利用递推公式求通项，体现了数学中的转化思想；一般的，若数列 an为等差数列， bn为等比数列，求数列 an bn的前 n和可采用错位相减法 （ 14分）设函数 . （ 1）当 时，求 的极值； （ 2）当 时，求 的单 调区间； （ 3）若对任意 及 ，恒有成立，求 的取值范围 答案：（ ） 的极小值为 ，无极大值 . （ ）当 时， 的递减区间为 ；递增区间为 . 当 时， 在 单调递减 . 当 时， 的递减区间为 ；递增区间为 . （ ） . 试题分析：（ 1）将 a=0代入函数式中可知，函数的导数，然后运用导数的符号与
23、单调性的关系求解单调区间，并得到极值。 （ 2）当 a0时，利用导函数，对于参数 a，进而分类讨论研究其单调性，看开口和判别式得到。 (3)要证明不等式恒成立，只要利用第二问的结论根据最大值和最小值得到求解。 解：（ ）依题意，知 的定义域为 . 当 时， ， . 令 ，解得 . 当 时， ；当 时， . 又 ， 所以 的极小值为 ，无极大值 . （ 4分） （ ） 当 时， ， 令 ，得 或 ， 令 ，得 ； 当 时，得 ， 令 ，得 或 ， 令 ，得 ； 当 时， . 综上所述，当 时， 的递减区间为 ；递增区间为. 当 时， 在 单调递减 . 当 时， 的递减区间为 ；递增区间为 . （ 9分） （ ）由（ ）可知，当 时， 在 单调递减 . 当 时， 取最大值；当 时， 取最小值 . 所以 . （ 11分） 因为 恒成立， 所以 ， 整理得 . 又 所以 ， 又因为 ，得 ， 所以 所以 . （ 14分） 考点：本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。 点评：解决该试题的关键是对于含有参数的导数的符号的确定，需要分类讨论思想来得到。
