1、2013届福建省福清东张中学高三上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 在复平面上，复数 的共轭复数的对应点所在的象限是 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： C 试题分析：根据题意 z=（ 1+i） i=i+i2=-1+i， 复数 z=（ 1+i） i的共轭复数 =-1-i， 复数 z=（ 1+i） i的共轭复数的对应点为（ -1， -1）， 复数 z=（ 1+i） i的共轭复数的对应点在第三象限 故选 C 考点：本试题主要考查了复数的基本概念和几何意义的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 点评：忽略了共轭复数的条件，易造成选项的错误。 已知函数
2、上的减函数，那么 a的取值范围是 ( ) A（ 1， 3） B（ 0， 1） CD（ 3， +） 答案： C 试题分析：因为已知条件可知，函数 y=f(x)在 R上递减，则要满足每一个区间都是递减的，因此 a-30,对数函数的底数 0 log22-1=0,那么根据零点存在性定理可知，函数的零点的区间是（ 2,3）故选 C. 考点：本试题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，本题是一个基础题。 点评：解决该试题的关键将区间的端点值代入之后，判定端点值的函数值异号即可。 在等比数列 中， 则 的值是（ ） A 14 B 16 C 18 D 20 答案：
3、B 试题分析：因为等比数列 中，根据等差中项的性质得到， 构成等比数列，所以说 ，那么则所求的为 = ，根据数列的等比性质得到，新数列的公比为 2，那么 = ，选 B 考点：本试题主要考查了等比数列的前 n项和性质的运用。 点评：解决该试题的关键是利用等长连续片段的和依然是等比数列。 tan300+ 的值是（ ） A 1 B 1- C -1- D -1 答案： B 试题分析：因为 tan300+ =tan(360-60)+ ,然后运用诱导公式一得到为， tan(360-60)=-tan600=- , ，故tan300+ =1- ，选 B。 考点：本试题主要考查了三角函数的诱导公式和同角公式的运
4、用。 点评：解决该试题的思路将负角化为正角，大角化为小角，化到锐角就可以了。 已知函数 则 的值是 ( ) A 10 B C -2 D -5 答案： B 试题分析：结合已知函数 f(x),要求解 先求解 当 x= , ，那么 ，将变量 x=-2代入第二段式中得到 ，故选 B。 考点：本试题主要考查了分段函数的式的运用。 点评：解决该试题的关键对于复合函数的求解，要从内向外依次求解得到。 设向量 , ,则下列结论中正确的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 那么可知根据向量共线的充要条件得到 1 2-01 0,故 不共线。选项 C错误，且，选项 D错误， 且由向量的数量积公式可知
5、 ，故选择 B错误， 而 故选项 A正确，选 A 考点：本试题主要考查了向量共线的充要条件、考查向量垂直的充要条件 点评：解决该试题的关键运用公式 判定垂直， 运用判定平行。 若四边形 ABCD满足 ，则该四边形一定不是 （ ） A梯形 B菱形 C矩形 D正方形 答案： A 试题分析：因为根据四边形中向量 共线，则说明 AD,BC 所在的直线平行且长度相等，因此作图可知该几何图形是平行四边形，因此说不能为梯形，选 A 考点：本试题主要考查向量相等的意义，和几种平面四边形的基本定义，属基础题 点评：解决该试题的关键对于向量相等的理解，对应的几何意义问题。 已知 ，则 p是 q的（ ） A充分而不
6、必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：因为命题 P： x0,y0,那么对于两个正数 x,y来说，他们的积必定为正数，因此可知条件可以推出结论，但是当 xy0时，可能 x,y都是负数，不一定推出条件，因此可知结论不能推出条件，因此得到 p是 q的充分而不必要条件，选 A. 考点：本试题主 要考查了判断一个命题是另一个命题的什么条件的一般步骤：先化简各个命题，再判断前者是否推出后者；后者是否推出前者；利用各种条件的定义加以判断 点评：解决该试题的关键对于充分条件的理解和判定，确定谁是谁的问题。 填空题 定义： ，其中 为向量 与 的夹角，若，则 等
7、于 答案： 试题分析：结合已知条件可知由题意 ，可得 25cos=-6，解得 cos=- ，再由 0可得 sin= ，那么可知，故答案：为 8. 考点：本试题主要考查了两个向量的数量积的定义，求出 sin= ，是解题的突破口，属于中档题。 点评：解决该试题的关键是求出 sin= 。 在数列 an中， a1=2， an+1=an+n，则 a100= . 答案： 试题分析：由题意知 a2-a1=1， a3-a2=2， ， a100-a99=99，所以 a100=a1+（ a2-a1） +（ a3-a2） + （ a100-a99） =1+1+2+99=4951 因此可知 a100=a1+（ a2-
8、a1） +（ a3-a2） + （ a100-a99） =2+1+2+99=2+ =4952故答案：为 4952. 考点：本试题主要考查了数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答。 点评：解决该试题的关键能根据累加法的思想得到其前 n项的和。 设 是定义在 R上的奇函数，且当 时， 则的值等于 答案： -1 试题分析： f（ x）是定义在 R上的奇函数， f（ -2） =-f（ 2），又 当 x 0时， f（ x） =log2x， f（ 2） =log22=1， f（ -2） =-1，故答案：是 -1 考点：本试题主要考查了函数的奇偶性及函数值，深刻理解以上有关知识是解决问题的关键。 点评
9、：解决该试题的关键结合奇偶性能将 f(-2)=-f(2)转化代入已知关系式中解得。 若变量 满足约束条件 则 的最大值为 _ 答案： 试题分析：画出约束条件表示的可行域，然后确定目标函数取得最大值时的位置，求解即可 由题意可知变量 x， y满足约束条件 x-1,yx,x+y1的可行域如图，目标函数z=3x+y的最大值是函数的图象经过点 A，即 y=x,x+y=1的交点 A（ , ），时取得所以目标函数的最大值为： 2故答案：为： 2 考点：本试题主要考查了线性规划最优解的运用。 点评：解决该试题的关键准确作出可行域，然后利用平移法结合直线的截距得到最值。 解答题 （本小题满分 12分） 已知
10、A、 B、 C坐标分别为 A（ 3， 0）， B（ 0， 3）， C（ ），（ 1）若 ，求角 的值 （ 2）若 ，求 的值 答案：解：（ ）（ ）由 试题分析：（ 1）结合已知中点的坐标，表示出向量的坐标。利用向量的模长相等得到角 的关系式，进而求解。 （ 2）结合向量的数量积为 -1，那么可知 sin +cos 的值，然后代入关系式中，先化简后求解值。 考点：本试题主要考查了向量的坐标运算求解模长和数量积 问题。 点评：解决该试题的关键对于三角函数中同角关系的运用和二倍角公式的准确表示 （本小题满分 12分） 已知数列 的首项为 2，点 在函数 的图像上 （ ）求数列 的通项公式； （ ）
11、设数列 的前 项之和为 ，求 的值 答案：解（ I） 点 在函数 的图象上， 2分 数列 是以首项为 2公差为 2的等差数列， 4分 6分 （ ） 8分 ， 9分 10分 - 12分 试题分析：（ I）将（ an， an+1）代入 f（ x） =x+2，利用等差数列的定义即可证明数列 an是等差数列，可求其通项公式； （ II）利用等差数列的前 n项和公式得到 ，进而裂项法求解前 n项和公。 考点：本试题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的简单应用，解决的方法是公式法，是容易题。 点评：解决该试题的关键先理解等差数列定义得到其通项公式，然后裂项法得到求和。 (本题满分 12分 )
12、 已知函 数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+b(a,b R). (1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 3，求 a,b的值； (2)若 f(x)为 R上的单调递增函数，求 a的取值范围 . 答案：解：（ 1）由函数 f(x)的图象过原点，得b=0, 1 分 又 f(x)=3x2+2ax+(a+6), 3 分 f(x)在原点处的切线斜率是 3，则 a+6=3,所以 a=-3. 6 分 （ 2）若 f(x)为 R上的单调递增函数，则 f(x) 在 R上恒成立 . 即 3x2+2ax+(a+6)0在 R上恒成立， 8 分 因此 0，有 4a2-12(a+6) 0 10 分
13、 即 a2-3a-18 0解得 12 分 试题分析：（ ）根据函数 f（ x）的图象过点 P（ 1， 2）与函数图象在点 P处的切线斜率为 8，建立关于 a和 b的方程组，解之即可； （ ）由（ ）得 f（ x）， f(x)为 R上的单调递增函数则令 f（ x） 0即可求出 a的范围 考点：本试题主要考查了导函数的正负与原函 数的单调性之间的关系，以及利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题。 点评：解决该试题的关键对于导数几何意义的运用和单调递增时要满足到导函数恒大于等于零来得到。 （本小题满分 13分）设数列 的前项和为 ，且 ， 为等差数列
14、，且 ， ( )求数列 和 通项公式； ( )设 ，求数列 的前 项和 答案：（ 1）当 时， 1 分 当 时， ， 3 分 此式对 也成立 4 分 ， 从而 ， 又因为 为等差数列， 公差 ， 5 分 6 分 （ 2）由（ 1）可知 ， 7 分 所以 9 分 - 得： 12 分 13 分 试题分析：（ ）由 an= 可求数列 an的通项公式，进而可求数列 bn通项公式； （ ）由（ ）可知 cn=(2n-1) 2n-1，故可用错位相减法来求数列的前 n项和 考点：本试题主要考查了数列的求通项和 求和的综合应用，涉及等差等比数列以及错位相减法求和，属中档题。 点评：解决该试题的易错点是错位相减
15、法的准确求解，尤其是项数的确定问题。 （本小题满分 13分） 在锐角 中，已知内角 . . 所对的边分别为 . . ，向量， ，且向量 共线 （ 1）求角 的大小； （ 2）如果 ，求 的面积 的最大值 答案：解：（ 1）由向量 共线有： 2 分 即 ， 4 分 又 ，所以 ，则 = ，即 6 分 （ 2）由余弦定理得 即 7 分 ，当且仅当 时等号成立 9 分 所以 ， 得 所以 12 分 所以 的最大值为 13 分 试题分析：（ 1）根据共线向量的坐标满足的关系得到一个关系式，利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，即可求出 tan2B的值，然后由锐角 B的范围求出 2B的
16、范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 B的度数； （ 2）由 b， cosB的值，利用余弦定理及基本不等式即可求出 ac的最大值，根据三角形的面积公式进而得到三角形 ABC 面积的最大值。 解：（ 1）由向量 共线有： 2 分 即 ， 4 分 又 ，所以 ，则 = ，即 6 分 （ 2）由余弦定理得 即 7 分 ，当且仅当 时等号成立 9 分 所以 ， 得 所以 12 分 所以 的最大值为 13 分 考点：本试题主要考查了掌握向量关系时满足的条件，灵活运用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题。 点评：解决该 试题的难点是运用均值不等式得到 ac的最大值。
