1、2013届辽宁省宽甸二中高三最后一模理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，考点：解不等式及集合交集 点评：解对数不等式指数不等式要结合对数函数指数函数的单调性，集合的交集是由两集合的相同的元素构成的集合 已知双曲线 ， 为双曲线 的右焦点，点 , 为 轴正半轴上的动点。 则 的最大值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意知 ，设 ， ，由三角形余弦定理可得 最大为 考点：双曲线性质及解三角形均值不等式 点评：将求的角转化为三角形三边表示，进而可看做求函数的最值点问题，其间用到了均值不等式 求最值 在一列数 中，已知
2、 ，且当 时，其中， 表示不超过实数 的最大整数（如）则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： 变形为，依次代入 可知呈现周期性，周期为 4，各式累和得 考点：数列求和 点评：本题数列求和结合递推公式的特点采用累和的方法，求解时充分利用其周期性推测出数列中后边项的值，其中正确找到各式中的整数部分是关键 定义在 上的函数 满足： ，且函数 为奇函数。给出以下 3个命题： 函数 的周期是 6； 函数 的图像关于点 对称； 函数 的图像关于 轴对称。 其中，真命题的个数是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：周期为 6，函数 为奇函数，图像关于原点对称，向左平移 个单位得 ，所以
3、关于点 对称， 是奇函数即 是偶函数 考点：函数周期性奇偶性 点评：函数 则周期为 ， 则周期为 ，函数是奇函数则满足 ，函数是偶函数则满足 已知抛物线 和点 ， 为抛物线上的点，则满足 的点有（ ）个。 A B C D 答案： A 试题分析：设方程无解，所以点 不存在 考点：抛物线方程及两点间距离 点评：两点 间距离 若 ，则 等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设考点：函数导数 点评：本题貌似二项式定理的题目，实质是函数导数题，学生不易联想到函数知识 已知以 为直径的半圆，圆心为 ， 为半圆上任意点， 在线段上，则 的最小值是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由三
4、角形法则可知考点：向量运算及均值不等式 点评：结合三角形法则将 化简，转化为两向量的数量积，均值不等式的变形公式 在求最值时应用广泛 已知数列 成等差数列， 成等比数列，则（ ） A B C 或 D 答案： A 试题分析： 成等差数列， 成等比数列，所以， 考点：等差数列等比数列性质 点评：在本题的求解中 的值是易错点，题目中 构成等比数列，同为奇数项，所以应同为负数 若某程序框图如右下图所示，则该程序运行后输出的 a等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：程序执行过程中数据的变化情况如下：考点：程序框图 点评：程序框图题关键是分析清楚循环结构执行的次数 如图所示是某一容器的三视图，
5、现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间 变化的可能图像是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由三视图可知该几何体是圆锥，顶点在下，底面圆在上，在匀速注水过程中水面高度 随着时间 的增大而增大，且刚开始时截面积较小，所以高度 变化较快，随着水面的升高，截面圆面积增大，高度变化速度减缓，因此函数的瞬时变化率逐渐减小，导数减小，图像为 B项 考点：函数导数的定义 点评：本题通过高度的瞬时变化率的变化情况得到 函数的导数的大小，从而通过做出的切线斜率的变化得出正确图像 已知在 ABC中， 、 为三角形的内角， ： ， ：。那么 是 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要
6、条件 D即不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：三角形中结合二倍角公式及正弦定理得所以 是 的充分必要条件 考点：充分条件与必要条件及解三角形 点评：若 则 成立，则 是 的充分条件， 是 的必要条件，另本题中还用到了正弦定理 实现边与角的互相转化 已知 ， 且 则 的虚部为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，则 的虚部为 考点：复数 点评：在复数 中实部为 ，虚部为 ，复数运算时 填空题 已知不等式 对 恒成立，则 。 答案： 试题分析： 变形为 ，当 时 ，当 时，设 ，当 时，当 时 ，同理当时 考点：函数最值 点评：在不等式恒成立求参数范围的题目中常采用分离参数法转化
7、为求函数最值问题 四面体 ABCD中， ，则四面体ABCD外接球的半径为 。 答案： 试题分析：由各棱长可知该四面体是长方体中的四个顶点构成的几何体，其中相等的边长分别为长方体的相对的面的对角线，设长方体长宽高分别为，相加得 考点：三棱锥的性质 点评：本题要把握住三棱锥对边长度相同这一点联想到长方体，三棱锥的外接球与长方体的外接球是相同的，因此转化为长方体外接球 已知实数 满足不等式 ，若 的最大值与最小值分别为 和 ，则实数 的取值范围是 。 答案： 试题分析：由不等式可知点 在由 构成的正方形及内部，则满足直线 和直线 在正方形区域内 考点：线性规划 点评：线性规划问题 先做出其可行域，在
8、将所求问题转化为与可行域有公共点时的最值求解 袋中装有 6个不同的红球和 4个不同的白球，不放回地依次摸出 2个球，在第 1次摸出红球的条件下，第 2次摸出的也是红球的概率为 。 答案： 试题分析：记第一次摸出红球为事件 A，第二次摸出红球为事件 B，则所求概率为 考点：条件概率 点评：在事件 A发生的条件下事件 B发生的概率为 解答题 已知直线 是过点 ，方向向量为 的直线。圆方程（ 1）求直线 l的参数方程； （ 2）设直线 l与圆相交于 、 两点，求 的值。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ ） 的参数方程为 （ 为参数） 5分 （ ）由 可将 ，化简得 。 将直线 的参数方程代入
9、圆方程得 ， 10分 考点：参数方程极坐标方程及直线与圆相交的位置关系 点评：极坐标方程化直角坐标方程时的关系式如图， 是圆 的直径， 为圆上一点， ，垂足为 ，点 为圆 上任一点， 交于点 ， 交 于点 求证：（ 1） ；（ 2） 答案：（ 1） ， ， ， （ 2）延长 与 O交于点 N，由相交弦定理得，且 ， 由（ 1） 试题分析：（ 1） ， ， ， ； 5分 （ 2）延长 与 O交于点 N，由相交弦定理， 得 ，且 ， ，由（ 1） 10分 考点：平面几何证明 点评：由直线与圆相交时产生的边角关系得到相似三角形，借助于相似三角形实现边与角的互化 已知函数 ， ， （ 1）若 在 存在
10、极值，求 的取值范围； （ 2）若 ，问是否存在与曲线 和 都相切的直线？若存在，判断有几条？并求出公切线方程，若不存在，说明理由。 答案：（ 1） （ 2）存在一条公切线，切线方程为： 试题分析：（ ） 依题有： 则 在 上有变号零点； 令 ，则 当 ，则 ；当 ，则 因此， 在 处取得极小值。 3分 而 ， ， 易知， 当存在两个变号零点时， ，可得： 当存在一个变号零点时， ，可得： 综上，当 在 上存在极值时， 的范围为： 6分 ( ) 当 时， ， 易知 是 与 的一个公共点。 若有公共切线，则 必为切点， ， 可知 在 处的切线为 而 ， 则 可知 在 处的切线也为 因此，存在一条
11、公切线，切线方程为： 。 12分 考点：函数单调性极值最值 点评：函数在某区间有极值，则在区间上有变号零点，转化为导函数最大值最小值一正一负，第二问找到两函数的公共点 是求解的关键，只需求在该点处的两条切线看其是否相同 椭圆 与 轴负半轴交于点 ， 为椭圆第一象限上的点，直线 交椭圆于另一点 ，椭圆左焦点为 ，连接 交 于点 D。 （ 1）如果 ，求椭圆的离心率； （ 2）在（ 1）的条件下，若直线 的倾斜角为 且 ABC的面积为 ，求椭圆的标准方程。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由题意知： 、 设 ， 则 由 即： 得， 3分 则 由 ，得 6分 （ 2）依题意，可知直线 所
12、在直线方程为： 由（ 1）可知，椭圆方程可化为： 可得 9分 由面积可得， ， 椭圆的标准方程为 : 12分 考点：椭圆方程性质及直线与椭圆的位置关系 点评：在求离心率时关键是找到关于 的齐次方程，圆锥曲线中的向量关系式一般都转换为点的坐标运算 已知在正方体 中 ， 分别是 的中点， 在棱上，且 （ 1）求证： ; （ 2）求二面角 的大小 答案：（ 1）建立空间直角坐标系 ，设正方体棱长为 4， ， （ 2） 试题分析：如图建立空间直角坐标系 ，设正方体棱长为 4，则 （ 1） ， ， 4分 （ 2）平面 的一个法向量为 6分 设平面 的一个法向量为 即 令 ，则 ， 可取 10分 如图可知
13、，二面角为钝角。 二面角 的大小为 12分 考点：线线垂直的判定及二面角的求解 点评：利用空间向量求解立体几何体首先找到直线的方向向量和平面的法向量，证明直线垂直只需证明法向量垂直，求二面角需首先求出两法向量的夹角 在一段时间内，某种商品价格 （万元）和需求量 之间的一组数据为： 价 格 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量 12 10 7 5 3 （ 1）进行相关性检验； （ 2）如果 与 之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当价格定为 1.9万元，需求量大约是多少？（精确到 0.01 ） 参考公式及数据： ， ，相关性检验的临界值表： n-2 1 2 3 4 5 6 7 8
14、 9 10 小概率 0.01 1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.708 答案：（ 1）从而有 99%的把握认为 与 之间具有线性相关关系（ 2），当价格定为 万元时，需求量大约为 试题分析：（ 1） 作统计假设： 与 不具有线性相关关系。 1分 由小概率 0.01与 在附表中查得： 2分 ， 3分 4分 5分 6分 ，即 从而有 99%的把握认为 与 之间具有线性相关关系，去求回归直线方程是有意义的。 8分 （ 2）回归系数 ， 对 的回归直线方程是 当 时， 。 这说明当价格定为 万元时，需求量大约为 。 12分
15、考点：相关性检验与回归方程 点评：求回归方程主要是将已知数据代入公式计算出 ；相关性检验的步骤：写出列联表，求出观测值 ，观测值与边界值比较得结论 在 ABC中， ，记 ， ABC的面积为 ，且满足. （ 1）求 的取值范围； （ 2）求函数 的最大值和最小值 . 答案：（ 1） （ 2） ， 试题分析： (1)由 ，得 。 ， 。 故 的取值范围为 。 6分 （ 2）注意到 = = 8分 ， 。 故当 ，即 时， ； 10分 故当 ，即 时， 。 12分 考点：解三角形与三角函数化简求值 点评：本题主要涉及到向量的数量积三角形面积的计算及三角函数性质，求最值时要注意自变量 角的取值范围 已知 （ 1）若不等式的解集为空集，求 的范围； （ 2）若不等式有解，求 的范围。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：设 等价于 : 其图像为 : 由图像知 : 当 时， 无解 5分 当 时 , 有解 10分 考点：解不等式 点评：将不等式转化为两函数比较函数值，绝对值函数常转化为分段函数，通过作出函数图像得到其值域，借助图像求 的范围
