1、2013届辽宁省沈阳二中高三第一阶段测试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 MN中元素的个数是（ ） A 0个 B 1 个 C 2个 D多个 答案： A 试题分析：集合 中的元素是数，集合 中的元素是点，数集与点集没有交集 考点：集合的交集运算 点评：两集合的交集是由两集合相同的元素构成的集合 已知 为定义在 上的可导函数，且 对于 恒成立，则（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设在 R上是增函数， 考点：函数单调性比较大小 点评：本题的难点在于构造新函数 若函数 有实数零点，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：函数 有实数零点，所
2、以关于 x的方程有实根，设 有非正实根，设 有实数根，考点：函数零点的确定 点评：将函数零点转化为方程有实数根 函数 在 上恒为正数，则实数 的取值范围是（ ） A B CD 答案： C 试题分析：设 ，由题意可知 且 时 ，结合二次函数 的单调性可得 综上 考点：函数单调性及最值 点评：本题结合函数图象分析考虑 若函数 的导函数 ，则函数 的单调递减区间是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 令 得 ，所以 的减区间为，而 可以由 向左平移 1个单位得到，所以 的减区间为考点：导数求单调区间及图像平移 点评：本题还可由导函数求出原函数 ，进而计算 后求导得单调区间 函数 ，则函数
3、的值域是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：函数定义域 ，设 其中锐角 满足， ， 当 时 取最大值 ，当 时取得最小值 2，所以函数值域 考点：换元法求值域 点评：将 x值换成三角函数是本题的关键 设 是函数 的反函数，若 ，则 的最小值是（ ） A 1 B 2 C D 4 答案： D 试题分析： 的反函数为 当且仅当时 成立，取最小值 4 考点：反函数及均值不等式 点评：均值不等式求最值注意等号成立条件 对于任意 ，函数 的值恒大于零，那么的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：利用选择题代入验证的方法求解，当 时 不满足恒大于零， A排除；当 时 不满足对于任
4、意函数值 ， C排除；当 时 对于任意 有；当 时 对于任意 有 项正确 考点：函数单调性最值 点评：此题采用验证的方法较简单 若 的大小关系是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， 时 在 上是增函数，又 考点：利用单调性比较函数值大小 点评：首先通过函数导数确定单调区间，使 x值位于同一单调区间，而后比较大小 “ ”是 “函数 在区间 上为减函数 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：函数 在区间 上为减函数 或 是 的充分不必要条件 考点：条件关系及函数单调性 点评：此题要将函数分成二次函数与一次函数
5、两种情况考虑 设 ，则 的大小关系是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ， ，考点：比较大小 点评：直接比较大小不容易时，可借助于中间量，如 0,1 已知集合 ，集合 ，集合 ，则（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ，考点：集合的交并补运算 点评：集合的交并补运算常借助于数轴求解 填空题 三棱锥 中， 两两垂直，且 .设 是底面 内的一点，定义 ，其中 分别是三棱锥,三棱锥 三棱锥 的体积，若 ，且恒成立，则正实数 的最小值为 _ 答案： 试题分析：三棱锥体积 考点：三棱锥体积及均值不等式求最值 点评：本题关键由 恒成立转化为求 的最小值 如果实数 满足 ，则
6、的取值范围是 _ 答案： 试题分析：首先做出可行域：由 围成的三角形，设变形为 令 得 过定点，结合图形可知直线过 时斜率最小为 ，过 时斜率最大为 2，由 可知斜率 考点：线性规划求最值 点评：本题的关键是所求分式最值转化为过可行域的直线斜率范围 若不等式 对于一切 恒成立，则 的取值范围是_ 答案： 试题分析： 变形为 恒成立考点：不等式恒成立求参数 点评：不等式恒成立中求参数范围首先将不等式中参数分离，进而转化为求函数最值问题 对任意的函数 在公共定义域内，规定 ，若 ，则 的最大值为 _ 答案： 试题分析：定义域 令 得 ，时 取得最大值 1 考点：分段函数求值 点评：先将函数写成分段
7、函数，再结合图像求其最大值 解答题 选修 45 ： 不等式选讲 已知实数 满足 ，且有 求证： 答案：证明： 是方程的两个不等实根， 得 而 得所以 ，即 试题分析： 是方程 的两个不等实根， 则 ，得 -5分 而 即 ，得 所以 ，即 -10分 考点：不等式证明 点评：本题证明过程中的转化有一定难度，学生不易想到 选修 44 ：坐标系与参数方程 已知直线 l经过点 P(1,1),倾斜角 ， （ 1）写出直线 l的参数方程。 （ 2）设 l与圆 相交与两点 A、 B，求点 P到 A、 B两点的距离之积。 答案：（ 1） （ 2） 2 试题分析：（ 1）倾斜角 ， 直线的参数方程是-5分 （ 2
8、）因为点 A,B都在直线 l上，所以可设它们对应的参数为 t1和 t2，则点 A,B的坐标分别为 ， 以直线 l的参数方程代入圆的方程 整理得到 因为 t1和 t2是方程 的解，从而 t1t2 -2， 所以 |PA| |PB|= |t1t2| |-2| 2-10分 考点：直线参数方程 点评：利用参数方程求距离使计算得到了很大的简化 选修 41 ：几何证明选讲 如图， PA 切 O 于点 ， D 为 的中点，过点 D 引割线交 O 于 、 两点 求证 : 答案：证明： ， DP=DA DP2=DB DC，即 ，所以 ， 试题分析：证明：因为 与圆相切于 ， 所以 ， 因为 D为 PA中点，所以
9、DP=DA， 所以 DP2=DB DC，即 5 分 因为 ， 所以 ， 所以 10分 考点：平面几何证明 点评：利用切割线定理结合相似三角形 （本小题满分 12分） 已知 ，其中 是自然对数的底数，（ 1）讨论 时， 的单调性。 （ 2）求证：在（ 1）条件下， （ 3）是否存在实数 ，使 得最小值是 3，如果存在，求出 的值；如果不存在，说明理由。 答案： (1) 增区间 ，减区间 （ 2）证明： ，（ 3）存在 试题分析：（ 1） 令 得 ，令 得 增区间 ，减区间 （ 2）由（ 1）可知 ， ， 定义域令 得 ，令 得 ，所以 的最大值为 成立 （ 3） ，当 时 恒成立， 无最小值；当
10、 时，令 得 ，令 得考点：判定函数单调性求其最值 点评：本题借助函数的导数求出单调区间进而计算其最值 （本小题满分 12分） 定义在 上的奇函数 ，已知当 时， （ 1）写出 在 上的式 （ 2）求 在 上的最大值 （ 3）若 是 上的增函数，求实数 的范围。 答案：（ 1） （ 2）当 时， 最大值为 ，当 时， 最大值为 ，当 时， 最大值为 （ 3）试题分析：（ 1） 又 是奇函数 （ 2）设 函数变形为 对称轴，当 时，最大值 ，当 时，最大值，当 时，最大值 （ 3）函数 是增函数，对称轴 ， 考点：求分段函数式最值及单调性的应用 点评：本题第二问中求最值注意参数范围的讨论 （本小
11、题满分 12分） 定义在 上的函数 ，对于任意的实数 ，恒有 ，且当 时， 。 （ 1）求 及 的值域。 （ 2）判断 在 上的单调性，并证明。 （ 3）设 ， ，,求 的范围。 答案：（ 1） ， （ 2） 在 上是减函数，证明：在R上取 规定 ，计算 ，所以 ，是减函数（ 3） 试题分析：（ 1） ，当 时， 。则 ，综上 4 分 （ 2）设 ， ，又 ， ， 在 上是减函数 8 分 （ 3） ，由 ， ， 12 分 考点：抽象函数求值判定单调性 点评：本题对学生有难度，抽象函数不易掌握 （本小题满分 12分） 解关于 的不等式 （其中 是常数，且 ） 答案：当 时， 当 时， 当 时，试
12、题分析： ， ， 6 分 当 时， 8 分 当 时， 10 分 当 时， 12 分 考点：含参数的一元二次不等式求解 点评：要对两根的大小分情况讨论从而确定不等式的解集 （本小题满分 10分） 定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ， （ 1）求 在 上的表达式 ; （ 2）若 ，且 ,求实数 的取值范围。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由 可知 周期 ，时 即，当 时即 综上 5分 （ 2） 当 ，当 的值域是 8 分 10 分 考点：求函数式及参数范围 点评：本题中第一小题利用 将 x的范围转化到区间 上进行求解 （本题满分 12分） 已知函数 . （ 1）当 时，求证：函数
13、 在 上单调递增； （ 2）若函数 有三个零点，求 的值； （ 3）若存在 ，使得 ，试求 的取值范围。 答案：（ 1）证明： ，由于 所以 故函数在 上单调递增（ 2） （ 3） 试题分析：（ 1） 由于 ，故当 时， ，所以 ， 故函数 在 上单调递增 -4分 （ 2）当 时，因为 ，且 在 R上单调递增， 故 有唯一解 所以 的变化情况如下表所示： x 0 - 0 递减 极小值 递增 又函数 有三个零点，所以方程 有三个根， 而 ，所以 ，解得 -8分 （ 3）因为存在 ，使得 ， 所以当 时， 由（ ）知， 在 上递减，在 上递增， 所以当 时， ， 而 ， 记 ，因为 （当 时取等号）， 所以 在 上单调递增，而 ， 所以当 时， ；当 时， ， 也就是当 时， ；当 时， 当 时，由 相关试题 2013届辽宁省沈阳二中高三第一阶段测试理科数学试卷（带）
