1、2013届辽宁省沈阳市第二十中学高三高考领航考试（二）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 则复数 为实数的充要条件是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 为实数，所以 ，故选 D。 考点：本题主要考查充要条件的概念，复数的代数运算，复数的概念。 点评：小综合题，复数为实数，虚部为 0，故须先计算 。 关于 的方程 ，给出下列四个命题： 存在实数 ，使得方程恰有 2个不同实根； 存在实数 ，使得方程恰有 4个不同实根； 存在实数 ，使得方程恰有 5个不同实根； 存在实数 ，使得方程恰有 8个不同实根； 其中假命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： A 试题
2、分析：关于 x的方程 可化为（ 1） 或 （ -1 x 1）（ 2） 当 k=-2时，方程（ 1）的解为 ，方程（ 2）无解，原方程恰有 2个不同的实根； 当 k= 时，方程（ 1）有两个不同的实根 ，方程（ 2）有两个不同的实根 ，即原方程恰有 4个不同的实根； 当 k=0时，方程（ 1）的解为 -1， +1， ，方程（ 2）的解为 x=0，原方程恰有 5个不同的实根； 当 k= 时，方程（ 1）的解为 ， ，方程（ 2）的解为 ， ， 即原方程恰有 8个不同的实根 四个命题都是真命题故选 A。 考点：本题主要考查函数方程思想，分类讨论思想。 点评：中档题，通过讨论 x的范围，将方程中的绝对
3、值符号去掉，这是一般思路。而 k实施分类讨论又是基于函数值域。 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100名年龄为17.5岁 -岁的男生体重 (kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这 100名学生中体重在 56.5,64.5的学生人数是（ ） A 20 B 30 C 40 D 50 答案： C 试题分析：由图可知：则 56.5 64.5段的频率为（ 0.03+0.052+0.07） 2=0.4， 则频数为 1000.4=40人 故选 C 考点：本题主要考查频率分布直方图。 点评：简单题，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于 1频率、频数的关系：频率 =频数
4、数据总和。 高三（一）班学要安排毕业晚会的 4各音乐节目， 2个舞蹈节目和 1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ） A 1800 B 3600 C 4320 D 5040 答案： B 试题分析：先确定舞蹈节目 以外的 5个节目，有 种方法， “造 ”了 6个空，从中选取两个安排舞蹈节目，有 种方法，所以共有方法 =3600（种），故选 B。 考点：本题主要考查解答排列组合问题。 点评：基础题，解答排列组合问题，往往从特殊元素、特殊位置入手，一般有“直接法 ”、 “间接法 ”两种思路。 过双曲线 M: 的左顶点 A作斜率为 1的直线 ,若 与双曲线 M的两条渐近
5、线分别相交于 B、 C,且 |AB|=|BC|,则双曲线 M的离心率是 ( ) A. B. C. D. 答案： A 试题分析：由题可知 A（ -1， 0），所以直线 L的方程为 y=x+1，两条渐近线方程为 y=-bx或 y=bx， 联立 y=x+1和 y=-bx得 B的横坐标为 ， 同理得 C的横坐标为 ， |AB|=|BC|， B为 AC 中点， 有 ， 即有 - ，解得 b=3或 0（舍去 0） 所以 e= ，故选 A。 考点：本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线的几何性质。 点评：中档题，结合图形特征，分析得到坐标关系，从而建立了 b的方程，使问题得解。 对于 R上可导的任意函数
6、 f（ x），若满足（ x-1） 30，则必有（ ） A f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） 答案： C 试题分析：因为对于 R上可导的任意函数 f（ x），若满足（ x-1） 30，所以 时， 30，函数 f(x)是增函数； 时， 0， f(x)是减函数。所以 f(1) f(2),f(1) f(2),由不等式性质， 得 f（ 0） f（ 2） 32f（ 1），故选 C。 考点：本题主要考查导数应用于研究函数的单调性，不等式的性质。 点评：简单题，从（ x-1） 30出发，确定得到 f(x)单调性情况，从而明确f(1) f(2),f(1) f(2),进一步利用不等式的性质，得出答案：。 如果
7、 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则（ ） A 和 都是锐角三角形 B 和 都是钝角三角形 C 是钝角三角形， 是锐角三角形 D 是锐角三角形， 是钝角三角形 答案： D 试题分析：因为三角形内角范围是（ ），在此范围内，角的正弦均为正值，的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，所以是锐角三角形。 若 是锐角三角形，由 ，, ， 得 , , ， 那么， = ，这与三角形内角和是 相矛盾； 若 是直角三角形，不妨设 = ， 则 sin =1=cos ，所以 在（ 0， ）范围内无值 所以 是钝角三角形 故选 D 考点：本题主要考查三角函数的诱导公式，三角形内角和定理，分类
8、讨论思想。 点评：中档题，应用分类讨论思想，对 的可能情况进行讨论，通过排除锐角三角形、直角三角形的情况，肯定其为钝角三角形。 与向量 的夹角相等，且模为 1的向量是 ( ) A B 或 C D 或 答案： B 试题分析：因为 | |=| |,所以由向量的平行四边形法则， + 平分 ， 夹角。所以所求向量与 + 平行。 而 + =(4,-3), 因此所求单位向量为 或 ，选 B。 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量夹角的概念。 点评：基础题，向量是既有大小又有方向的量，因此，确定向量要确定其模和方向。利用坐标运算，通过解方程（组）也可使问题得解。 如图，平面 平面 ， A ， B
9、， AB与两平面 、 所成的角分别为和 ，过 A、 B分别作两平面交线的垂线，垂足为 A、 B，则 AB AB ( ) （ A） 2 1 （ B） 3 1 （ C） 3 2 （ D） 4 3 答案： A 试题分析：因为平面 平面 ， A ， B ， AB与两平面 、 所成的角分别为 和 ，过 A、 B分别作两平面交线的垂线，垂足为 A、 B，所以连 A B，AB，则角 BA B= ，角 ABA= ， 所以在三角形 ABB中， AB=B B= ，在三角形 A AB中， A B= ，在三角形 A AB中， AB= = ,故 AB AB=2 1，选 A。 考点：本题主要考查立体几何中的面面垂直关系，
10、线面角的概念，直角三角形中的边角关系。 点评：简单题，立体几何问题，往往立足于转化成平面几何问题。 已知 是等差数列， ，其前 10项和 ，则其公差（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以 =70，解得 =4，所以 = ，故选 D。 考点：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式。 点评：基础题，等差数列中元素的互求问题，往往通过构建方程组解决。 若直线 与圆 相交于 P、 Q 两点，且 POQ 120（其中 O为原点），则 k的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：直线 过定点（ 0,1）在圆上 ,且 与圆 相交于P、 Q 两点， POQ 120，所以由平面几何
11、知识得 ，解得 ，说明本题有误。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，直线的斜率与倾斜角。 点评：中档题，直线与圆的位置关系问题，往往借助于几何图形，利用数形结合思想探寻解题途径。 若 ，则 等于（ ） A BC D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ， = ，故选 A。 考点：本题主要考查两角差的正切公式，同角公式。 点评：简单题，注意到已知条件，利用两角差的正切公式可求得 。 填空题 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 答案： 试题分析：观察三视图可知，该几何体是一个球与圆柱的椎体，球、圆柱底面直径为 2，圆柱高为 3，所以该几何体的表面积是 4+2+23=
12、12。 考点：本题主要考查三视图，几何体的表面积计算。 点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。 若 的展开式中 的系数是 80，则实数 a的值是 答案： 试题分析：由二项式定理的通项公式得： ，令 5-r=3，得 r=2，所以由 =80得， a=2. 考点：本题主要考查二项式定理的通项公式。 点评：简单 题，利用二项式定理的通项公式，确定 a的方程，进一步求解。 已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值是 答案： 试题分析：函数 f（ x） =2sinx（ 0）在区间 上的最小值是 -2， 则 x的取值范围是
13、， - 或 ， 或 6 的最小值等于 。 考点：本题主要考查三角函数图象和性质，不等式的性质 点评：基础题，根据题意首先建立了 的不等式，进一步确定其范围。这是解答此类问题的一般方法。 若集合 ，则 AB等于 - 答案： 试题分析：因为 ， 所以 AB= ，故答案：为 。 考点：本题主要考查集合的运算，函数的值域。 点评：简单题，确定较好的交集，应首先明确集合中的元素，根据交集的定义计算。 解答题 以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线 C：，过极点的直线 （ 且 是参数）交曲线 C于两点 0， A，令 OA的中点为 M. (1)求点 M在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）
14、. (2)当 时，求 M点的直角坐标 . 答案： (1) ， (2) 试题分析：（ 1）因为 OA的中点为 M.，而 OA= ，所以 OM= OA，点 M在此极坐标下的轨迹方程是 。 （ 2） 时， ，所以 x=cos = ,y=sin = ，即 M点的直角坐标是 。 考点：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，直角坐标与极坐标的互化。 点评：简单题，因为 OA的中点为 M.，所以 OM= OA，利用的是几何关系法。 如图， 的外接圆的切线 与 的延长线交于点 ， 的平分线与 交于点 D. (1)求证： (2)若 是 的外接圆的直径，且 ， 1.求 长 . 答案： (1)略， (2)1 试题分析：
15、（ 1） AE是圆的切线， ABC= CAE AD是 BAC的平分线， BAD= CAD， 从而 ABC+ BAD= CAE+ CAD ADE= ABC+ BAD， DAE= CAD+ CAE， ADE= DAE，得 EA=ED AE是圆的切线， 由切割线定理，得 =EC EB 结合 EA=ED，得 （ 2）由（ 1）及 ABE与 ECA可得 AC=1. 考点：本题主要考查圆的切线定理，切割线定理。 点评：中档题，涉及圆的问题，往往与三角形相关联，利用三角形相似或三角形全等解决问题。 已知函数 。 （ ）设 ，讨论 的单调性； （ ）若对任意 恒有 ，求 的取值范围。 答案：（ I） 所以 在
16、各区间内的增减性如下表： 区间 （ ，） （ ，t） （ t，1） （ 1， +） 的符号 + + + 的单调性 增函数 减函数 增函数 增函数 （ II） a的取值范围为（ ， 2） 试题分析：（ I） 的定义域为（ ， 1） （ 1， ） 因为 （其中 ）恒成立，所以 当 时， 在（ ， 0） （ 1， ）上恒成立，所以 在（ ， 1） （ 1， ）上为增函数； 当 时， 在（ ， 0） （ 0， 1） （ 1， ）上恒成立，所以在（ ， 1） （ 1， ）上为增函数； 当 时， 的解为：（ ， ） （ t， 1） （ 1， + ） （其中 ） 所以 在各区间内的增减性如下表： 区间 （
17、，） （ ，t） （ t，1） （ 1， +） 的符号 + + + 的单调性 增函数 减函数 增函数 增函数 （ II）显然 已知 是等差数列， 是公比为 的等比数列， ，记为数列 的前 项和， （ 1）若 是大于 的正整数 ，求证： ； （ 2）若 是某一正整数 ，求证： 是整数，且数列 中每一项都是数列 中的项； （ 3）是否存在这样的正数 ，使等比数列 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由； 答案：（ 1） （ 2）存在 使得 中有三项 成等差数列。 试题分析：设 的公差为 ，由 ，知 ，（ ） （ 1）因为 ，所以 ， ， 所以 （ 2） ，由
18、， 所以 解得， 或 ，但，所以 ，因为 是正整数，所以 是整数，即 是整数，设数列中任意一项为 ，设数列 中的某一项 = 现在只要证明存在正整数 ，使得 ，即在方程中 有正整数解即可，所以 ，若 ，则 ，那么 ，当时，因为 ，只要考虑 的情况，因为 ，所以 ，因此 是正整数，所以 是正整数，因此数列 中任意一项为 与数列 的第 项相等，从而结论成立。 （ 3）设数列 中有三项 成等差数列，则有 2 设 ，所以 2 ，令，则 ，因为 ，所以，所以 ，即存在 使得 中有三项成等差数列。 考点：本题主要考查等比数列的通项公式、求和公式，等差数列的概念。 点评：难题，等比数列、等差数列相关内容，已是
19、高考必考内容，其难度飘忽不定，有时突出考查求和问题，如 “分组求和法 ”、 “裂项相消法 ”、 “错位相减法 ”等，有时则突出涉及数列的证明题，如本题，突出考查学生的逻辑思维能力。本题解法中，注意通过构造 “一般项 ”加以研究，带有普遍性。 已知椭圆 C1: ,抛物线 C2: ,且 C1、 C2的公共弦AB过椭圆 C1的右焦点 . ( )当 AB 轴时 ,求 、 的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB上； ( )是否存在 、 的值，使抛物线 C2的焦点恰在直线 AB上？若存在，求出符合条件的 、 的值；若不存在，请说明理由 . 答案：（ ） m 0， .此时 C2的焦点坐标为（ ， 0
20、），该焦点不在直线 AB上 . （ II）满足条件的 、 存在，且 或 ， 试题分析：（ ）当 AB x轴时，点 A、 B关于 x轴对称，所以 m 0，直线AB的方程为： x =1，从而点 A的坐标为（ 1， ）或（ 1， - ） . 因为点 A在抛物线上 .所以 ，即 .此时 C2的焦点坐标为（ ， 0），该焦点不在直线 AB上 . （ II）： 假设存在 、 的值使 的焦点恰在直线 AB上，由（ I）知直线 AB的斜率存在，故可设直线 AB的方程为 由 消去 得 设 A、 B的坐标分别为（ x1,y1） , （ x2,y2） , 则 x1,x2是方程 的两根， x1 x2 . 由 消去 y
21、得 . 因为 C2的焦点 在直线 上， 所以 ，即 .代入 有 . 即 . 由于 x1,x2也是方程 的两根，所以 x1 x2 . 从而 . 解得 又 AB过 C1， C2的焦点，所以 ， 则 由 、 式得 ，即 解得 于是 因为 C2的焦点 在直线 上，所以 . 或 由上知，满足条件的 、 存在，且 或 ， 考点：本题主要考查直线方程，椭圆及抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系。 点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题解答过程中，主要运用了抛物线的几何性质。结合抛物线的焦半径公式，建立了 k的方程。 已知两个正四棱锥 P-ABCD与 Q-AB
22、CD的高分别为 1和 2,AB=4. ( )证明 PQ 平面 ABCD; ( )求异面直线 AQ 与 PB所成的角 ; ( )求点 P到平面 QAD的距离 . 答案：（ ）由 P-ABCD与 Q-ABCD都是正四棱锥，得到 PO 平面ABCD， QO 平面 ABCD. 从而 P、 O、 Q 三点在一条直线上，所以 PQ 平面 ABCD. （ ） .( ) . 试题分析：（ ）连结 AC、 BD，设 . 由 P-ABCD与 Q-ABCD都是正四棱锥，所以 PO 平面 ABCD， QO 平面ABCD. 从而 P、 O、 Q 三点在一条直线上，所以 PQ 平面 ABCD. （ ）由题设知， ABCD
23、是正方形，所以 AC BD. 由（ ）， QO 平面 ABCD. 故可分别以直线 CA、 DB、 QP为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是 P（ 0， 0，1）， A（ ， 0， 0）， Q（ 0， 0， -2）， B（ 0， ， 0） . 所以 于是 . 从而异面直线 AQ 与 PB所成的角是 . ( )由（ ），点 D的坐标是（ 0， - ， 0）， ， ，设 是平面 QAD的一个法向量，由 得 . 取 x=1，得 . 所以点 P到平面 QAD的距离 . 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，距离及角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考
24、必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题解法较多，特别是求角及距离时，运用了 “向量法 ”，实现了问题的有效转化。对考生 计算能力要求较高 A、 B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4只小白鼠组成，其中 2只服用 A，另 2只服用 B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用 A有效的小白鼠的只数比服用 B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用 A有效的概率为 ，服用 B有效的概率为 。 （ ）求一个试验组为甲类组
25、的概率； （ ）观察 3个试验组，用 表示这 3个试验组中甲类组的个数，求 的分布列和数学期望。 答案： (1) P=P(B0 A1)+P(B0 A2)+P(B1 A2)= ； ( )的分布列为 : 0 1 2 3 P 试题分析： (1)设 Ai表示事件 “一个试验组中，服用 A有效的小鼠有 i只 , i=0,1,2, Bi表示事件 “一个试验组中，服用 B有效的小鼠有 i只 , i=0,1,2, 依题意有 : P(A1)=2 = , P(A2)= = . P(B0)= = , P(B1)=2 = , 所求概率为 : P=P(B0 A1)+P(B0 A2)+P(B1 A2) = + + = (
26、 )的可能值为 0,1,2,3且 B(3, ) . P(=0)=( )3= , P(=1)=C31( )2= , P(=2)=C32( )2 = , P(=3)=( )3= 的分布列为 : 0 1 2 3 P 考点：本题主要考查离散性随机变量的分布列。 点评：典型题，利用概率知识解决实际问题，在高考题中常常出现，这类题目解答的难点在于求随机变量的概率。 关于 的不等式 ，其中 是实参数 . （ 1）当 时，解上面的不等式 . (2)若 ，上面的不等式均成立，求实数 的范围 . 答案： (1)R， (2) 试题分析：（ 1） t=1时，原不等式化为 |x-2|-|x-1| 1，由绝对值的几何意义知，. （ 2）由绝对值不等式的性质 ，即恒成立，解得 ，所以实数 的范围 。 考点：本题主要考查简单绝对值不等式的解法。 点评：简单题，解简单绝对值不等式，一般要考虑去绝对值的符号。有时利用绝对值的几何意义则更为简单。
