1、2013届辽宁省铁岭高中高三上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 ，则下列不等式 ； ； ； 中，正确的不等式有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： B 试题分析 : 所以 所以 正确； ，所以 错误；明显 也错误； ，所以 正确 . 考点：本小题考查不等式的性质及基本不等式 . 点评：对于此类题目，学生应该记清不等式的各条性质的适用范围，尤其是其中变量的符合 . 已知函数 ，且函数 在区间（ 0， 1）内取得极大值，在区间（ 1， 2）内取得极小值，则 的取值范围为( ) A B C D 答案： B 试题分析 : 因为函数 在区间（ 0， 1）内取得极大值
2、， 在区间（ 1， 2）内取得极小值，所以 即 画出可行域如图所示， 为可行域内的点到的距离的平方，由图可知，距离的最小值为 距离的最大值为 ，所以 的取值范围为 考点：本小题主要考查导数与极值的关系以及线性规划的应用 . 点评：对于此类问题，必须牢固掌握导数的运算，利用导数求单调性以及极值和最值 .本题导数与线性规划结合，学生必须熟练应用多个知识点，准确分析问题考查的实质，正确答题 . 设向量 满足： 以 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析 :因为 所以以 的模为边长构成的三角形为直角三角形，且三条边长度分别为 所以其
3、内切圆半径为 ，稍微移动内切圆可得交点最多为 个 . 考点：本小题主要考查向量加减法的几何意义 . 点评：对于此类问题，学生要重视数形结合思想的运用，学会运用图形处理向量的有关问题，同时要重视向量的有关概念 . 已知函数 则 的图象是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析 :由题意知， 可以得出函 数图象为（ C） . 考点：本小题考查函数的图象 . 点评：图象问题是高考考查的重点，对于此类问题，学生应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫，学会分析 “数 ”与 “形 ”的结合点，把几种常见题型的解题技巧理解透彻 . 已知向量 ，并且满足关系：,则 的最大值为 ( )
4、 A B C D 答案： B 试题分析 :因为 ，所以 ， 即 （）因为，所以 ， ，代入（）式， 得 整理得 因为，所以 ，所以 所以的最大值为 . 考点：本小题考查向量的基本运算及利用基本不等求最值 . 点评：高考中，主要考查利用数量积解决垂直、长度、夹角等问题，有时还与三角函数、几何结合在一起出题 .对于这类问题，学生要熟练应用公式，准确计算 . 已知圆 与直线 及 都相切，圆心在直线 上，则圆 的方程为（ ） A B C D 答案： B 试题分析 :（法一）根据答案：中的选项得出圆心和半径，分别代入验证即可 . （法二）依题意设圆心为 ，半径为 ，因为圆 与直线 及都相切，所以 ，解得
5、 所以圆心为，进而可求得 考点：本小题考查圆的方程的求法 . 点评：对于已知直线与圆相切的问题，首先要用圆心到直线的距离等于圆半径，这样可以简化运算 . 等差数列 中， ， 是方程 的两个根，则数列 前 项和 （ ） A B C D 答案： D 试题分析 :因为 是方程 的两个根，所以，又因为数列 为等差数列，所以所以 所以 所以，所以 所以数列 前 项和考点：本小题考查通项公式的求法及裂项相消法求数列的前 项和 . 点评：对于此类问题，学生应该掌握求通项公式的几种方法和求数列前 项和的方法等，准确分清该用哪种方法，并且在计算过程中要找清除项数，不要增加也不要减少 . 已知点 在不等式组 确定
6、的平面区域内，则点所在平面区域的面积是（ ） A B C D 答案： C 试题分析 : 因为点 在不等式组 确定的平面区域内，所以满足 . 令 则 所以 所在平面区域是如图所示的等腰直角三角形 易求三角形的面积为 考点：本小题考查线性规划中求面积问题 . 点评：线性规划是高考的热点问题，在高考中，多以小题的形式出现，有时也以解答题的形式出现 .解决这类问题要特别注意准确画出 平面区域，还要注意适当转化 . 定义在 上的函数 ，则 的图像与直线 的交点为 、 、 且 ，则下列说法错误的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析 :容易求出 分别代入验证可得 D错误 . 考点：本小题考查方程的
7、根的问题 . 点评：解决这类问题，要抓住问题的本质，合理转化，准确计算 . 已知等差数列 与等比数列 各项都是正数，且 ， ，那么一定有（ ） A B C D 答案： B 试题分析 : 因为 为等差数列，所以 因为 为等比数列，且各项都是正数，所以 .又因为 ， ， 所以 考点：本小题考查等差数列、等比数列的性质及基本不等式的运用 . 点评：等差数列和等比数列既相互区别，又相互联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，将两类数列综合起来考查是高考的重点 .学生容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，二是不能灵活利用等差等比数列的性质，导致运算较为复杂 . 已知函数 ， ，则函数的振幅
8、为（ ） A B C D 答案： A 试题分析 : = + = = 所以振幅为 考点：本小题考查两角和与差的正弦公式以及辅助角公式，和的性质 . 点评：高考中对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中，需要利用这些公式，先把式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质 . 已知命题 关于 的方程 有实根，命题 关于 函数在 上为增函数，若 “ 或 ”为真命题， “ 且 ”为假命题，则实数 取值范围为（ ） A B C D 答案： C 试题分析 :命题 若为真命题，需要 命题若为真命题，需要 因为 “ 或 ”为真命题，
9、 “ 且 ”为假命题，所以 真 假或 假 真 .若 真 假，则有： 即 若假 真，则有： 即 综上所述，实数 取值范围为. 考点：本小题考查根据命题的真假，求参数的取值范围 . 点评：含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的（一个或两个）命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件 . 填空题 设 为 的内心，当 时， ，则的值为 _. 答案： 试题分析 :以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，则 ,内心 一定在 轴上，设内心 的坐标为 ，则到三边的距离相等 .因为直线 的方程为 : 所以 ，解得 所以内心 的坐标为 .所以代入 ，解得考点：本小题
10、考查平面向量的线性表示及运算 . 点评：对于此类问题，学生可以选择恰当建立坐标系，尽可能多地把点放在坐标轴上，这样可以简化计算 . 已知曲线 的切线 过点 ，则切线 的斜率为 _. 答案： 或 试题分析 : 设切点为 ，所以切线的斜率为，解得 或 所以切线 的斜率为 或 . 考点：本题考查用导数求切线的斜率 . 点评：对于此类问题，学生要分清所给点是否在曲线上 . 若 与 相交于 两点，且两圆在点 处的切线互相垂直，则线段 的长度是 答案： 试题分析 :如右图所示 ,由题意知 , 所以 所以 所以 考点：本小题考查圆与圆的位置关系、两圆相交时的相关计算 . 点评：直线和圆所涉及到的知识是整个几
11、何的基础，并渗透到几何的各个部分，该部分试题一般难度不大，主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，尤其是相切和相交考查较多 . 中， ，三角形面积为 ，则 的值为 . 答案： 试题分析 :由正弦定理得：所以考点：本小题考查正弦定理的应用及二倍角的余弦公式 . 点评：正弦定理与余弦定理是高考的必考内容，各类题型都可能出现，预计在今后的高考中对该考点的考查仍将以解三角形为载体进行考查，同时还应注意解三角形及三角函数及三角变换的结合问题 . 解答题 （本小题满分 10分） 已知 是 的三个内角，若向量 ，且 。 （ 1）求证： ； （ 2）求 的最大值。 答案：（ 1）见 （ 2） 试题分析 : （ 1
12、）证明：由已知得 , 1 分 即 , 故 , 整理得 , 3 分 即 4 分 （ 2）解： = . 6 分 故 10 分 考点：本小题以向量为载体，考查三角恒等变换及正余弦定理 . 点评：平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向量描述 .它需要根据向量运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体 .考查的要求并不高，解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题 . （本小题满分 12分） 已知定义域为 的函数 是奇函数 （ 1）求 的值； （ 2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析
13、:（ 1）因为 是奇函数，所以 ，即 2 分 又由 知 综上所述， 4 分 （ 2）由（ 1）知 ， 易知 在 上为减函数 6 分 又因 是奇函数，从而有不等式： 等价于 ， 8 分 因 为减函数，由上式推得： 即对一切 有： ， 从而判别式 12 分 考点：本小题考查函数的奇偶性、单调性及恒成立问题 . 点评：函数的奇偶性、单调性及恒成立问题，都是高考中常考的内容 .解决恒成立问题一般都转化成求最值来解决，而要求函数的最值，函数的单调性是高考中一定会考查的内容 . （本小题满分 12分） 等比数列 的前 项和为 ，已知对任意的 ，点 均 在函数且 均为常数 )的图像上 . （ 1）求 的值；
14、 （ 2）当 时，记 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）因为对任意的 ,点 均在函数 且均为常数 )的图像上 .所以得 . 2 分 当 时 , , 当 时 , , 4 分 又因为 为等比数列 ,所以 ,公比为 ,所以 . 6 分 （ 2）当 时， , , 则 两式相减 ,得 = 所以 12 分 考点：本题主要考查了等比数列的定义 ,通项公式 ,以及已知 求 的基本题型 ,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和 . 点评：由前 项和 求 时，不要忘记分 和 两种情况讨论；错位相减法求前 项和 是高考中常考的内容，求解过程中一般运
15、算比较麻烦，学生容易出现错误，所以求解时一定要细心 . （本小题满分 12分） 设平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 求： （ ）求实数 的取值范围； （ ）求圆 的方程； （ ）问圆 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论 答案：（ ） 且 （ ） （ ）见 试题分析 :（ ）令 0，得抛物线与 轴交点是 ； 令 ，由题意 且 0， 解得 且 2 分 （ ）设所求圆的一般方程为 ， 令 0 得 ，这与 0 是同一个方程，故 令 0 得 ，此方程有一个根为 ，代入得出 所以圆 的方程为 . 6 分 （ ）圆 必过定点 和 证明：法一
16、：将 代入圆 的方程，得左边 右边 ， 所以圆 必过定点 同理可证圆 必过定点 12 分 法二：圆 的方程为 可化为令 解得 或 所以圆 必过定点 和 12 分 考点：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法 点评：由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，在做题时要合理选用，如果选择不恰当，可能会造成运算过于复杂而无法求解 . （本小题满分 12分） 已知 ，解不等式 答案：当 时原不等式的解集为 ；当 时，解集为 ； 当 时，解集为 。 试题分析 :原不等式可化为 （ 1）当 时，原不等式为 2 分 （ 2）当 时，原不等式化为 . 4 分 当 时，原不等式等价于 ，由于 ，可解
17、得 ; 8 分 当 时，原不等式等价于 ， 由于 ，可解得 或 10 分 综上，当 时原不等式的解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 12 分 考点：本小题主要考查含参数的不等式的解法 . 点评：由于在 中，分子中 的系数中含有字母 ，分类讨论就从这里引起。对于不等式 ，分子中的系数 不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变 . （本小题满分 12分） 已知函数 在 上是增函数，在 上是减函数 （ 1）求函数 的式； （ 2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）是否存在实数 ，使得方程 在区间 上恰有两个相异实数根，若存在
18、，求出 的范围，若不存在说明理由 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析 : 依题意得 ，所以 ， 从而 4 分 ， 令 ，得 或 （舍去）， 因为 在 递减，在 递增，且 ， 所以 8 分 设 ， 即 ， 又 ， 令 ，得 ；令 ，得 所以函数 的增区间为 ，减区间为 要使方程有两个相异实根，则有 ， 解得 12 分 考点：本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用导数判断函数的单调性，解决有关方程的综合问题 . 点评：纵观历年高考试题，利用导数讨论函数单调区间是函数考查的主要形式，是高考热点，是解答题中的必考题目，在复习中必须加强研究，进行专题训练，熟练掌握利用导数判断函数单调区间的方法，总结函数单调性应用的题型、解法，并通过加大训练强度提高解题能力 .
