1、2013届重庆市重庆一中高三上学期第四次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 ，所以 = ，由 ，所以 =，所以 。 考点：集合的运算；函数定义域的求法。 点评：求函数的定义域需要从以下几个方面入手：（ 1）分母不为零 ；（ 2）偶次根式的被开方数非负；（ 3）对数中的真数部分大于 0；（ 4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1 ； （ 5） y=tanx中 xk+/2； y=cotx中 xk等； ( 6 )中 。 下列命题中，真命题的个数为 ( ) （ 1）在 中，若 ，则 ； （ 2）已知
2、 ，则 在 上的投影为 ； （ 3）已知 ， ，则 “ ”为假命题； （ 4）已知函数 的导函数的最大值为 ，则函数的图 象关于 对称 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：（ 1）在 中，若 ，则 ；正确。 （ 2）已知 ，所以则 在 上的投影为 ，错误。 （ 3）已知 ，真命题； ，真命题；则“ ”为假命题，正确。 （ 4）若函数 的导函数的最大值为 ，则 ，所以 ，由 得： ，所以函数 的图象关于 对称，错误。 考点：投影的概念；命题真假的判断；复合命题真假的判断；导数运算法则。 点评：此题考查的知识点较为综合。熟练掌握函数 的对称轴的求法。属于中档题。 已知 分别为双曲
3、线 的左、右焦点， 为双曲线左支上的一点 ,若 的值为 ，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 =8a 又由双曲线的的定义知： 联立 ，解得： ，因为 为双曲线左支上的一点 ,所以|PF2|+|PF1|=6a|F1F2|=2c，即 e= 3，所以双曲线的离心率的取值范围是（ 1， 3 考点：双曲线的简单性质；双曲线的定义。 点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法： 直接利用公式 ； 利用变形公式： （椭圆）和（双曲线） 根据条件列出关于 a、 b、 c的关系式，两边同除以 a,利用方程的思想，解出 。 定义在 上的函数 ，如果存在函数 ，使得对一
4、切实数 都成立，则称 是函数 的一个 “亲密函数 ”，现有如下的命题： (1)对于给定的函数 ，其 “亲密函数 ”有可能不存在，也可能有无数个； (2) 是 的一个 “亲密函数 ”； (3)定义域与值域都是 的函数 不存在 “亲密函数 ”。 其中正确的命题是（ ） A (1) B (2) C (1)(2) D (1)(3) 答案： A 试题分析： (1)对于给定的函数 ，其 “亲密函数 ”有可能不存在，也可能有无数个；正确。 (2) 是 的一个 “亲密函数 ”；不正确。因为当。 (3)定义域与值域都是 的函数 不存在 “亲密函数 ”。错误。例如 ，则为 f(x)的亲密函数。 考点：函数的综合应
5、用。 点评：本题是以抽象函数为依托，考查学生的阅读的能力，没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的 相应的性质是解决问题的关键 已知平面区域如右图所示， 在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则 的值为 （ ） A B CD不存在 答案： C 试题分析：由目标函数 得 ，因为 ，所以函数的斜率为负，要是 在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，需满足 ,又 ，所以 。 考点：线性规划的有关知识。 点评：当目标函数与直线 AC平行时，满足取得最大值的最优解有无数多个。分析出这一条是做此题的关键。 不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A
6、 B C D 答案： A 试题分析：根据几何意义易知函数 的最大值为 4，所以要满足不等式 对任意实数 恒成立，只需 恒成立，所以。 考点：含绝对值不等式的解法；恒成立问题。 点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路 1： 在 上恒成立 ；思路 2: 在 上恒成立 。 是 “直线 和直线 垂直 ”的 ( ) A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：若直线 和直线 垂直，则，所以由 可以推出 “直线和直线 垂直 ”；但直线和直线 垂直不一定能推出 ，所以 是 “直线和直线 垂直 ”的充分不必
7、要条件。 考点：充分、必要、充要条件的判断；直线垂直的条件。 点评：直线 平行的条件： ； 直线 垂直的条件： 。 双曲线 的渐近线与圆 相切，则 = ( ) A B 2 C 3 D 6 答案： A 试题分析：易知双曲线 的渐近线方程为 ，又渐近线与圆相切，所以 。 考点：双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式。 点评：熟记双曲线的渐近线方程：双曲线 的渐近线方程为 ；双曲线 的渐近线方程为 。属于基础题型。 在等差数列 中 a3 a4 a5 12， 为数列 的前 项和，则 S7 ( ) A 14 B 21 C 28 D 35 答案： C 试题分析：因为 a3 a4 a5 1
8、2，所以由等差数列的性质得 3a4 12，即 a4 4， 所以 S7 。 考点：等差数列的性质；等差数列前 n项和的性质。 点评：熟练掌握等差数列前 n项和的性质： 。 若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为 ( ) A -2 B 2 C -4 D 4 答案： D 试题分析：易知椭圆 的右焦点为 ，因为抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，所以 。 考点：抛物线的简单性质；椭圆的简单性质。 点评：注意椭圆中 关系式与双曲线中 的不同。 填空题 已知椭圆 ， 是其左顶点和左焦点， 是圆上的动点，若 ，则此椭圆的离心率是 答案： 试题分析：因为 ，所以当点 P分别在（ b， 0）时比值相等
9、，即，同除以 a2可得 e2+e-1=0，解得离心率 e= 。 考点：椭圆的简单性质。 点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法： 直接利用公式 ； 利用变形公式： （椭圆）和（双曲线） 根据条件列出关于 a、 b、 c的关系式，两边同除以 a,利用方程的思想，解出 。 椭圆 的左、右焦点分别为 F1、 F2，过椭圆的右焦点 F2作一条直线 l交椭圆与 P、 Q两点，则 F1PQ内切圆面积的最大值是 答案： 试题分析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2倍，且 F1PQ的周长是定值 8，所以只需求出 F1PQ面积的最大值 设直线 l方程为 x=my+1，与椭圆方程联立得（
10、3m2+4） y2+6my-9=0，设 P（ x1，y1）， Q（ x2， y2），则， ， 所以内切圆面积的最大值是 。 考点：椭圆的简单性质。 点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值，解题的关键是转化为求 F1PQ面积的最大值 已知圆： 上任意一点 处的切线方程为： 。类比以上结论有：双曲线： 上任意一点 处的切线方程为： 答案： 试题分析：因为圆： 上任意一点 处的切线方程为：，所以类比以上结论有：双曲线： 上任意一点处的切线方程为： 。 考点：类比推理。 点评：类比推理是特殊到特殊的推理。其一般步骤是： 找出两类事物之间的相似性或一致性； 用一类事物的性质去推
11、测另一类事物的性质，得出一个明确的命题。 (如图所示）函数 在点 P处的切线方程是 ，则= 答案： 试题分析：因为函数 在点 P处的切线方程是 ，所以，所以 =2. 考点：导数的几何意义。 点评：我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程，尤其要注意切点这个特殊点，充分利用切点即在曲线方程上，又在切线方程上，切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。属于基础题。 复数 z 的共轭复数是 答案： 试题分析： z ，所以共轭复数为 。 考点：复数的运算。 点评：复数在考试中一般是必出的一道小题，放在较靠前的位置，属于简单题，要求学生必须 得分。因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握。同时
12、，也要熟记一些常用公式： 。 解答题 (本小题满分 13分 )已知向量 与 ，其中 。 若 ，求 和 的值； 若 ，求 的值域。 答案：（ 1） ， .（ 2） 。 试题分析：（ 1） ,求得 又 , ， . （ 2） 又 ， ， , ，即函数 的值域为 。 考点：向量平行的条件；同角三角函数关系式；和差公式；三角函数的值域。 点评：本题以向量的方式来给出题设条件，来考查三角有关的知识，较为综合。同时本题对答题者公式掌握的熟练程度要求较高，是一道中档题 (本小题满分 13分 )设数列 的前 项和为 ，且 ；数列 为等差数列，且 。 求证：数列 是等比数列，并求 通项公式； 若 ， 为数列 的前
13、 项和，求 。 答案： ； 。 试题分析：（ 1）由 , ,即 ，又 所以 ，所以 。. （ 2）数列 为等差数列，公差 , 从而 ， = = 从而 . 考点：等差数列的性质；等比数列的定义和通项公式；数列前 n项和的求法。 点评：我们要熟练掌握求数列通项公式的方法。公式法是求数列通项公式的基本方法之一，常用的公式有：等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及公式 。此题的第一问求数列的通项公式就是用公式，用此公式要注意讨论 的情况。 (本小题满分 13分 )已知抛物线 上一动点 ,抛物线内一点, 为焦点且 的最小值为 。 求抛物线方程以及使得 |PA|+|PF|最小时的 P点坐标 ; 过 (1
14、)中的 P点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于 C、 D两点 ,直线 CD是否过一定点 若是 ,求出该定点坐标 ; 若不是 ,请说明理由。 答案： (2,2). 过定点 。 试题分析： (1)过 A,P分别做准线的垂线 ,设垂足为 ,则 |PF|=|PH|,由图象可知 ,当 |PA|+|PF|取最小值即是 点到准线的距离 ,此时 P点为 AA0与抛物线的交点 .故 ,此时抛物线方程为 , P点坐标为 (2,2). (2)设 , ,直线 即 即 , 由 PA PB有 得 代入到 中，有 , 即 即 ,故直线 AB过定点 。 考点：抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与抛物线的综合应用。 点评：
15、抛物线的定义在考试中经常考到，我们要熟练掌握。此题的第一问解答的关键是： 利用抛物线的定义把 “ 的最小值 ”抓化为 “点 A到准线的距离。 ” (本小题满分 12分 )已知函数 。 如果 ，函数在区间 上存在极值，求实数 a的取值范围； 当 时，不等式 恒成立，求实数 k的取值范围。 答案： ； 。 试题分析：（ 1）因为 ， x 0，则 ， （ 1分） 当 时， ；当 时， . 所以 在（ 0， 1）上单调递增；在 上单调递减， 所以函数 在 处取得极大值 . 因为函数 在区间 （其中 ）上存在极值， 所以 解得 . （ 2）不等式 即为 记 所以 令 ，则 ， ， 在 上单调递增， ，
16、从而 ,故 在 上也单调递增，所以 ， 所以 . 考点：利用导数来研究函数的单调性和极值。 点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路 1： 在 上恒成立 ；思路 2: 在 上恒成立 。 ( 本小题满分 12分 )如图所示，已知圆 为圆上一动点，点 在 上，点 在 上，且满足的轨迹为曲线 。 求曲线 的方程； 若过定点 F（ 0， 2）的直线交曲线 于不同的两点 （点 在点 之间），且满足 ，求 的取值范围。 答案： ； 。 试题分析：（ 1） NP为 AM的垂直平分线， |NA|=|NM| 又 动点 N的轨迹是以点 C（ -1， 0）， A（ 1
17、， 0）为焦点的椭圆 . 且椭圆长轴长为 焦距 2c=2. 曲线 E的方程为 （ 2）当直线 GH斜率存在时，设直线 GH方程为 得 设 ， 又当直线 GH斜率不存在，方程为 . 考点：向量的运算；椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用。 点评：求轨迹方程的一般方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化 转化成某一已知曲线的定义条件。 (本小题满分 12分 ) 已知曲线 ，从 上的点作 轴的垂线，交 于点 ，再从点 作 轴的垂线，交 于点， 设 .。 求数列 的通项公式； 记 ，数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小 ； 记 ，数列 的前 项和为 ，试证明： 。 答案： ； ;（ 3） 试题分析：（ 1）依题意点 的坐标为 ， ， ； （ 2）由（ 1）知， ，由 ， ， 当 时， ； （ 3）当 时，有：， 又 ， ， 所以对任意的 ，都有 . 考点：数列的性质；数列通项公式的求法；数列前 n项和的求法。 点评：若已知递推公式为 的形式求通项公式常用累加法。 注： 若 是关于 n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ; 若 是关于 n的二次函数，累加后可分组求和 ; 是关于 n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ; 是关于 n的分式函数，累加后可裂项求和。
