1、2013届重庆市铜梁中学高三 3月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为， ， =，所以， = ，故选 A。 考点：集合的运算，指数函数的性质，不等式解法。 点评：小综合题，为进行集合的运算，首先明确集合中的元素。 过双曲线 : 的左焦点 ，作圆：的切线，切点为 E，延长 FE交双曲线右支于点 P，若，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 为 的中点，令右焦点为 ，则 为 的中点，则 ， 为切点， 在 中， ，即 ，故离心率 ;故选 B 考点：平面向量的线性运算，双曲线的定义及其几何性质。
2、点评：中档题，从平面向量的关系式出发，确定得到 E为中点，结合双曲线的定义，确定 a,b,c的关系。 若函数 满足 ,且 时， ，函数 ，则函数 在区间 -5,5内与 轴交点的个数为（ ） A 5 B 7 C 8 D 10 答案： C 试题分析：因为 f（ x+2） =f（ x），所以函数 y=f（ x）（ x R）是周期为 2函数， 因为 x -1， 1时， f（ x） =1-x2，所以作出它的图象，则 y=f（ x）的图象如图所示：（注意拓展它的区间） 再作出函数 的图象， 容易得出到交点为 8个故选 C 考点：常见函数的图像和性质，分段函数的概念。 点评：中档题，涉及函数图象问题，往往需
3、要画出函数的图象，利用数形结合思想加以处理。注意周期函数的一些常见结论：若 f（ x+a） =f（ x），则周期为a；若 f（ x+a） =-f（ x），则周期为 2a；若 f（ x+a） = ，则周期为 2a。 设实数 ， 满足条件 ，若目标函数 的最大值为 12，则 的最小值为（ ） A B C D答案： D 试题分析：画出可行域及直线 ax+by=0，平移直线 ax+by=0，当直线经过点 A（ 4,6）时， 的最大值为 12，即， 2a+3b=6，所以，= ，故选 D。 考点：简单线性规划的应用，均值定理的应用。 点评：小综合题，简单线性规划的应用问题，遵循 “画，移，解，答 ”等步骤
4、。本题应先求 a,b相关和为定值，利用均值定理进一步解题。 从 9名学生中选出 4人参加辩论赛，其中甲、乙、丙三人至少有两人入选的不同选法的种数为（ ） A 36 B 51 C 63 D 96 答案： B 试题分析：由题意 9名学生中选出 4人参加辨论比赛，其中甲、乙、丙三人至少有两人入选的不同选法有两类， 一类是三人中有两人参加，入选种数为 C32C 62=45， 一类是三人都参加，入选种数为 C33C 61=6， 所以总的入选种数有 45+6=51，故选 B。 考点：计数原理，简单组合应用问题。 点评：简单题，排列组合应用问题，关键是首先区分是排列，还是组合应用问题，主要看 “顺序的有无
5、” ， 此类问题，往往与计数原理相结合，分类或分步解决问题。 按下列程序框图来计算： 如果输入的 = 5, 应该运算（ ）次才停止 . A 2 B 3 C 4 D 5 答案： C 试题分析：输入的 = 5,按 逐次计算可得 13， 37， 109， 327，所以，应运算 4次才能停止，选 C。 考点：程序框图的功能识别。 点评：简单题，从高考命题看，此类问题难度不大，注意明确算法功能，根据变量受到的限制，判断运行次数。 已知锐角 满足 ，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为，锐角 满足 ， 所以， ，两边平方得， = ，故选 A。 考点：和差倍半的三角函数公式。 点评：中
6、档题，灵活运用三角公式进行变换。涉及正弦、余弦的和积互化问题，往往通过平方得以实现。 某空间几何体的三视图如图所示，该空间几何体的体积是（ ） A B 10 CD 答案： C 试题分析：该几何体是一个三棱锥，底面为直角边长分别为 4， 5的直角三角形，几何体的高为 4，所以，该空间几何体的体积是 ，故选 C。 考点：三视图，几何体体积计算。 点评：简单题，涉及三视图的题目，已成为高考保留题型，一般难度不大。要注意遵循三视图画法规则，正确还原几何体。 下列说法正确的有（ ）个 “ ”是 “ ”的充分不必要条件 若命题 ，则 命题 “若 ，则 ”的否命题是： “若 ，则 ” 已知 ，若 ，则 A
7、0 B 1 C 2 D 3 答案： D 试题分析： “ ”是 “ ”的充分不必要条件，不正确，因为，由得， ； 若命题 ，则 ，正确，因为，存在性命题的否定是全称命题； 命题 “若 ，则 ”的否命题是： “若 ，则 ”，正确，命题的否定要求，否定原命题的条件和结论； 已知 ，若 ，则 ，正确，因为， 31， 所以， ab0,而 ，由指数函数的性质知， ，故选 D。 考点：充要条件，命题，复合命题，指数函数、对数函数的性质。 点评：小综合题，本题综合性较强，考查知识较多，有一定难度。需综合运用数学知识加以解答。 在各项为正的等比数列 中， ，前三项和为 21，则 等于（ ） A 189 B 84
8、 C 72 D 33 答案： B 试题分析：因为，等比数列 中， ，前三项和为 21，即， 所以， q=2， = =84，故选 B。 考点：等比数列的通项公式。 点评：简单题，将所求用已知表示，简化解答过程。 填空题 如右图， 是半径为 的圆 O的两条弦，他们相交于 的中点 ，= ， ，则 =_ 答案： 试题分析：因为点 P是 AB的中点，由垂径定理知， OP AB 在 Rt OPA中， BP=AP=acos30= a 由相交弦定理知， BP AP=CP DP， 即 a a=CP a，所以 CP= 。 考点：圆的垂径定理，直角三角形边角关系，相交弦定理。 点评：中档题，平面几何选讲问题，难度一
9、般不大，综合运用三角形、圆的性质加以解决。 已知圆的参数方程为 为参数），直线 的极坐标方程为，若圆与直线相切，则实数 _ 答案：或 -8 试题分析： 为参数），即即， ，圆心到直线的距离应等于圆的半径，即 ，故 2或 -8。 考点：极坐标、参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系。 点评：中档题，首先将参数方法、极坐标方程化为普通方程，实现 “化生为熟 ”，进一步研究直线与圆的位置关系。有 “几何法 ”“代数法 ”两种方法。 在实数范围内，不等式 的解集为 _ 答案： 试题分析： 即， ，而由绝对值的几何意义表示数轴上点 x到点 - ， 的距离之和，所以，不等式的解集为 。 考点：绝对值
10、不等式的解法。 点评：中档题，绝对值不等式的求解问题，往往要去绝对值符号， 基本方法有：分段讨论法、平方法，有时利用绝对值的几何意义，更为简单。 在 中，角 所对边长分别为 ，若 成等差数列，则角 的最大值为 _ 答案： 试题分析：因为， 成等差数列，所以， ， ，又，余弦函数在（ 0， ）是减函数，所以，角 的最大值为 。 考点：余弦定理的应用，等差数列的概念，均值定理的应用。 点评：小综合题，注意确定 cosC的表达式，利用均值定理确定其取值范围。 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等
11、方面的关系，要从这 10000人中再用分层抽样方法抽出 200人作进一步调查，则在 1500， 3000（元）月收入段应抽出 _人 .答案： 试题分析：由图知， 1500， 3000收入段的频率是0.0004500+0.0005500+0.0005500=0.7 故用分层抽样方法抽出 200人作进一步调查，则在 1500， 3000收入段应抽出人数为 0.7200=140. 故答案：为 140. 考点：频 率分布直方图，分层抽样。 点评：简单题，解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率，再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数。 已知复数 ， 是 z的共轭复数，则 等于 _ 答案：
12、 试题分析：因为， ，所以， =1. 考点：复数的代数运算，复数的概念，复数模的计算。 点评：简单题，注意通过分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。 解答题 已知向量 ，设函数 （ I）求 的式，并求最小正周期 ; （ II）若函数 的图像是由函数 的图像向右平移 个单位得到的，求的最大值及使 取得最大值时 的值 答案：（ I） ; （ II） 时， 试题分析：（ I）（ ） 故最小正周期为 （ II） 故当 ；即 时， 考点：平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数公式，正弦型函数图象的变换，三角函数的图像和性质。 点评：典型题，本题综合性较强，利用三角公式，将研究对象 “化一 ”，是高
13、考要求的基本问题，在此基础上，进一步研究函数的图象和性质。函数图象的平移遵循 “左加右减，上加下减 ”。 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问 题的概率分别为 且各轮问题能否正确回答互不影响 . （ ）求该选手被淘汰的概率； （ ）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望 . （注：本小题结果可用分数表示） 答案：（ ） （ ） 的分布列为 1 2 3 试题分析：（ ）记 “该选手能正确回答第 轮的问题 ”的事件为 ， 则 ， ， 该选手被淘汰的概率 （ ） 的可能值为 1,2,3
14、 ； 的分布列为 1 2 3 考点：独立事件的概率计算，随机变量的分布列及其数学期望。 点评：典型题，涉及概率计算，随机变量的分布列及其数学期望等问题，是高考经常考查的题型，此类问题，关键是明确基本事件，正确运用概率计算公式，细心计算。 定义在 上的函数 同时满足以下条件： 在 上是减函数，在 上是增函数； 是偶函数； 在 处的切线与直线 垂直 . （ I）求函数 的式； （ II）设 ，若存在 ，使 ，求实数 的取值范围 . 答案：（ I） ;（ II） 试题分析：（ I） ，由 得： ；由 得：；由 得： 解得： ；故 （ II）由（ I）知： ；由 得 :存在 ，使得有解 即 ；令 ，即
15、， 令 ，得 或 故 在 上单调递增，在 上单调递减； ；故 ；所以 考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的性质。 点评：典型题，在给定区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。涉及 “不等式恒成立 ”问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值问题，利用导数加以解决。 如图，四棱锥 中， 是正三角形，四边形 是矩形，且平面 平面 ， ， ( ) 若点 是 的中点，求证： 平面 ； （ II）若点 为线段 的中点，求二面角 的正切值 . 答案：（ ）证明：设 ， 交于点 ，连接 ，易知 为 的中位线， 故 ，又 平面 ， 平面 ，得 平面 （ ）解：过 做 交 于 ，过 作 交 于
16、 , 由已知可知 平面 ， ，且 , 过 作 交 于 ,连接 ,由三垂线定理可知： 为所求角 如图， 平面 , ,由三垂线定理可知， 在 中，斜边 ， ，得 , 在 中， ,得 ,由等面积原理得， B到 CE边的高为则 ; 在 中， ,则 ， 故： 法 2建立如图所示的空间直角坐标系， 则 , , ; , （ I）设平面 的法向量为 ， 则 即 ；推出 即 , 平面 。 （ II） ,故 试题分析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则 , , ; , （ I）设平面 的法向量为 ， 则 即 ； 即 令 ，则 ；又 ,故 即 ,而平面 所以 平面 。 （ II）设平面 的法向量为 ， , 则 即
17、； 即 令 ，则 ；由题可知平面 的法向量为 故 ,故 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、角计算。 点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。 设椭圆 的右焦点为 ，直线 与 轴交于点 ，若 （其中 为坐标原点） （ I）求椭圆 的方程； （ II）设 是椭圆 上的任意一点， 为圆 的任意一条直径（ 、 为直径的两个端点），求 的最大值 答案：（ I）椭圆
18、 的方程为 ； （ II）当 时， ，故 试题分析：（ I）由题设知， ， ， 由 ， 得 解得 所以椭圆 的方程为（ II）方法 1：设点 ，因为 的中点坐标为 ， 所以 所以 因为点 在圆 上，所以 ，即 因为点 在椭圆 上，所以 ，即 故 因为 ，所以当 时， 法 2：由题知圆 N: 的圆心为 N；则 从而求 的最大值转化为求 的最大值； 因为点 在椭圆 上，设点 所以 ，即 又因为 ,所以 ； 因为 ，所以当 时， ，故 方法 3： 若直线 的斜率存在，设 的方程为 ， 由 ，解得 因为 是椭圆 上的任一点，设点， 所以 ，即 所以 故 因为 ，所以当 时， ，故 若直线 EF的斜率不
19、存在，此时 EF的方程为 ； 由 ，解得或 . 不妨设 E(0， 3),F(0， 1)； 因为点 在椭圆 上，设点 所以 ，即 所以 ，故因为 ，所以当 时， ，故 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算。 点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和 a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（ 2）注意讨论直线的斜率存在、不存在两种情况，易于忽视。熟练进行平面向量的坐标运算，是正确解题的关键。 设数列 满足 ，若数列 满足： ，且当时， （ I） 求 及 ; （ II）证明： ,（注： ） . 答案：（ I） （ II）注意 而 当 时， ，即 。 试题分析：（ I） 由 得 ， 所以 为等比数列；所以 （ II）由 ，得 ； 由 - 得： ，则（ ） 当 时， ，即 考点：本题主要考查等比数列的通项公式， “放缩法 ”，数学归纳法。 点评：典型题，本题综合性较强，处理的方法多样。涉及数列不等式的证明问题，提供了 “放缩、求和、证明 ”和 “数学归纳法 ”等证明方法，能拓宽学生的视野。
