1、2013届重庆市高三九校联合诊断考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若命题 p： ，则 p 为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题 p： ，的否定是 x R，使得 sinx x，故选 C。 考点：本题主要考查全称命题与特称命题的之间的关系的应用。 点评：基础题，全称命题的否定是特称命题。 如果 导函数图像的顶点坐标为 ，那么曲线 上任一点的切线的倾斜角 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 的导数为 ，因为其图像的顶点坐标为 ，所以 图象开口向上，最小值为 - ，即 ，任一点的切线的倾斜角 的取值范围是 ，选 D。 考
2、点：本题主要考查导数的几何意义，直线的倾斜角，二次函数的图象和性质，正切函数的性质。 点评：小综合题，曲线在某点的导数，就是过该点的切线的斜率。 要得到函数 的图像，可以把函数 的图像（ ） A向右平移 个单位 B向左平移 个单位 C向右平移 个单位 D向左平移 个单位 答案： B 试题分析：因为 = ，所以为得到函数的图像，可以把函数 的图像向左平移 个单位， 即 = ，故选 B。 考点：本题主要考查三角函数图象变换，三角函数辅助角公式。 点评：简单题，首先化简函数，是解答此类题的关键。 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A若 B若 C若 D若 答案： C 试
3、题分析： A若 ，不正确， m,n在两个平面内，可能平行、异面； B若 ，不正确，并没明确 n在那个平面内； C若 ，正确。因为 ， ， 所以 ，又 ，故 ，选 C。 考点：本题主要考查立体几何中的平行及垂直关系。 点评：典型题，要求牢记立体几何中的定理。 已知 ，且 7，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 所以 ， 两式相加可得 ，又 7，所以 18-18-7=11， 故选 A。 考点：本题主要考查函数的奇偶性，函数的概念。 点评：基础题，此类题可从一般入手，得出结论。 等比数列 的前 项和为 ，且 成等差数列若 ，则（ ） A 7 B 8 C 15 D 16 答案： C
4、 试题分析： 。 故选 C。 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等比数列的通项公式、求和公式。 点评：基础题，首先从 成等差数列出发，建立关于公比 q 的方程，进一步求 若变量 满足约束条件 则 的最大值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： B 试题分析：画出可行域（如图）及 x-2y=0，平移 x-2y=0知经过点（ 1,-1）时，的最大值为 3，故选 B。 考点：本题主要考查简单线性规划的应用。 点评：简单题，第一步是准确做出可行域，第二步是明确目标函数过何点是取到最值。 已知 ， ， ，则 的大小关系是 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由指数函数性质
5、1, ,由对数函数性质0，故选 D。 考点：本题主要考查指数函数、对数函数的性质。 点评：简单题，涉及指数函数、对数函数值比较大小，常常引入 “1,0， -1”等为媒介。 设集合 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：应用交集、补集的定义得 ，故选 B。 考点：本题主要考查集合的运算。 点评：简单题，应用交集、补集的定义。 向量 ，若 ，则 = （ ） A（ 3， -1） B（ -3， 1） C（ -2， -1） D（ 2 ， 1） 答案： A 试题分析：因为 ， ，所以 ， x=1，=（ 3， -1）， 故选 A。 考点：本题主要考查向量的垂直，向量的坐标运算。 点评：简单题，
6、 ，常考知识点之一。 填空题 已知圆 C： 直线 过点 P（ 1,2），且与圆 C交于 A B两点，若 |AB| ，则直线 的方程 _ _ 答案： 或 试题分析：分两种情况考虑： （ i）当直线 l的斜率不存在时（或直线 l与 x轴垂直）， 由 P（ 1， 2），得到直线 l为 x=1， 该直线与圆 x2+y2=4相交于两点 A（ 1， ）， B（ 1， - ）， 满足 |AB|=2 ，符合题意； （ ii）当直线 l的斜率存在时，设直线 l的斜率为 k， 由 P（ 1， 2），得到直线 l方程为 y-2=k（ x-1），即 kx-y+（ 2-k） =0， 由圆的方程 x2+y2=4，得到圆心
7、坐标为（ 0， 0），半径 r=2， 圆心到直线 l的距离 d= ，又 |AB|=2 ， d2+ =r2，即（ ） 2+（ ） 2=4， 整理得： -4k=-3，解得： k= ， 此时直线 l的方程为 x-y+（ 2- ） =0，即 3x-4y+5=0， 综上知，直线 l的方程为 或 。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，直线的点斜式方程，圆的标准方程，勾股定理，垂径定理，以及点到直线的距离公式。 点评：中档题，利用分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解答。 已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆
8、的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为 答案： 试题分析：因为双曲线 的离心率为 2，所以 1+ =4， =3，又双曲线焦点与椭圆 的焦点相同，即焦点在 x轴上，故双曲线的渐近线方程为 。 考点：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质。 点评：基础题，圆锥曲线中 A,b,c,e的关系要熟悉，并做到灵活运用。 在 中， 三内角 所对边的长分别为 ，且 分别为等比数列 的 ，不等式 的解集为 ，则数列 的通项公式为 答案： 试题分析：不等式 的解集为 ， 即 = ，所以 a=2,c=4， 因而等比数列 的首项为 2，公比为 2，其通项公式为 。 考点：本题主要考查一元二次不等式的解法，等比数列
9、的概念及通项公式。 点评：小综合题，首先通过解不等式，确定得到 a,c，进一步明确首项、公比得解。 某几何体的三视图如图所示，它的体积为_ 答案： 试题分析：由三视图可知，该几何体是一个圆锥与半球的组合体，球半径为 3，圆锥底面半径为 3，母线长为 5，所以其高为 4，故几何体体积为= 。 考点：本题主要考查三视图及几何体体积计算。 点评：基础题，必考类型的题目，正确认识几何体特征是关键。 函数 的定义域是 _ _ 答案： 试题分析：由已知得 解得函数定义域为 。 考点：本题主要考查对数函数性质，函数定义域求法。 点评：基础题，求函数定义域，要考虑偶次根式，被开方数非负；对数的真数大于 0等。
10、 解答题 （ 13分）如图，在四棱锥 中，底面 为边长为 4的正方形，平面 ， 为 中点， （ 1）求证： （ 2）求三棱锥 的体积 答案：（ 1）证明：连接 ，交 AB于 F，连接 EF 推出 进一步得到 （ 2） . 试题分析：（ 1）证明：因为 为 的中点，连接 ，交 AB 于 F，连接 EF 四边形 为正方形 为 CD的中点 又 PD 面 ABE， EF 面 ABE， 5 分 （ 2） 四边形 为正方形 平面 , 平面 面 PAC 平面 , 平面 10 分 在 中， ， AC=4，则 为 的中点 13 分 考点：本题主要考查立体几何中平行、垂直及几何体体积的计算。 点评：典型题，立体几
11、何中平行、垂直关系的证明及角的计算问题是高考中的必考题，象立体几何中的计算问题，往往要 “一作、二证、三计算 ”。 （ 13分）已知函数 （ 1）若 求 的值域； （ 2）若 为函数 的一个零点，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：3 分 令 ，则 由三角函数的图像知 6分 （ 2）方法一： 为函数 的一个零点 8分 13分 方法二： 为函数 的一个零点 8分 13分 方法三： 为函数 的一个零点 8 分 当 为偶数时，原式 = 当 为奇数时，原式 = 综上所述知原式 = 13分 考点：本题主要考查三角函数诱导公式，三角函数恒等变换，三角函数性质，函数零点的概念。 点评：中档题
12、，本题较全面地考查了三角函数知识，将三角函数与零点结合在一起考查，并不多见。 （ 13分）已知数列 是公差为正的等差数列 ,其前 项和为 ,点 在抛物线 上；各项都为正数的等比数列 满足 （ 1）求数列 ， 的通项公式； （ 2）记 ,求数列 的前 n项和 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1） 当 时， 1分 3分 数列 是首项为 2，公差为 3的等差数列 4 分 又 各项都为正数的等比数列 满足 5分 解得 6分 7分 （ 2） 8分 9分 10分 - 知 12分 13分 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和。 点评：典型题， “裂项相消法 ”“错
13、位相消法 ”求数列的前 n项和属于常考题目，本题解答首先确定数列的通项公式是关键。 （ 12分）在锐角 中，已知内角 A、 B、 C所对的边分别为 ，向量 ,且向量 （ 1）求角 的大小； （ 2）如果 ，求 的面积 的最大值 答案：（ 1） ；（ 2） 的最大值为 。 试题分析：（ 1） 2分 即 ， 4 分 又 ，所以 ，则 ，即 6 分 （ 2）由余弦定理得 即 7分 ，当且仅当 时等号成立 9分 所以 ， 得 所以 11分 所以 的最大值为 12分 考点：本题主要考查三角恒等变换，余弦定理的应用，向量的坐标运算。 点评：典型题，综合考查了三角恒等变换，余弦定理的应用，向量的坐标运算，能
14、较好地考查学生的计算能力。 （ 12分）已知函数 （ 1）若 ，求函数 在点（ 0， ）处的切线方程； （ 2）是否存在实数 ，使得 的极大值为 3若存在，求出 值；若不存在，说明理由。 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：由题意知： 2 分 （ 1）当 时， ，则： ， 4分 所以函数 在点（ 0， ）处的切线方程为： 6 分 （ 2）令： ，则： ，所以： 7 分 1）当 时， ，则函数在 上单调递增，故无极值。 8分 2）当 时 + 0 - 0 + 极大 极小 所以： ，则12 分 考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的极值。 点评：中档题，本题属于导数应用中的基本问
15、题，（ 2）通过研究函数的极值情况，确定得到 a的方程，从而得解。 （ 12分）如图所示，椭圆 C： 的离心率 ，左焦点为 右焦点为 ，短轴两个端点为 与 轴不垂直的直线 与椭圆 C交于不同的两点 、 ，记直线 、 的斜率分别为 、，且 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）求证直线 与 轴相交于定点，并求出定点坐标 （ 3）当弦 的中点 落在 内（包括边界） 时，求直线 的斜率的取值。 答案：（ 1） （ 2）直线 与 轴相交于定点（ 0， 2）；（ 3）。 试题分析：（ 1）由题意可知：椭圆 C的离心率 ， 故椭圆 C的方程为 2 分 （ 2）设直线 的方程为 ， M、 N 坐标分别为 由 得 4分 将韦达定理代入，并整理得 ，解得 直线 与 轴相交于定点（ 0， 2） 7分 （ 3）由（ 2）中 ，其判别式，得 设弦 AB的中点 P坐标为 ，则 ， 弦 的中点 落在 内（包括边界） 将坐标代入，整理得 解得 由 得所求范围为12 分 考点：本题主要考查椭圆标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，不等式组解法。 点评：求椭圆的标准方程是几何的基本问题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，常常运用韦达定理，本题属于中档题。
