1、2013届重庆市高三九校联合诊断考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设复数 满足 ,则复数 的共轭复数（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 得， ， 所以 ，故选 B。 考点：本题主要考查复数的概念及其代数运算。 点评：简单题，首先求 Z，再确定其共轭复数。实部相等，虚部符号相反。 规定记号 “ ”表示一种运算，即： ，设函数 。且关于 的方程为 恰有四个互不相等的实数根 ，则 的值是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由定义知 = ，在同一坐标系内，分别画出 y= ,y= 的图象，均关于直线 x=-2对称，所以= 的四个根满足 = ，故选 D。 考点：本题主要考查
2、函数的概念，方程的根。 点评：新定义问题，关键是理解新定义运算的意义。 设双曲线 的右焦点为 ，右准线 与两条渐近线交于 两点，如果 是等边三角形，则双曲线的离心率 的值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：双曲线 C的右焦点 F（ c,0），右准线 l的方程为： x= ，两条渐近线方程为： y= 两交点坐标为 P( ， )、 Q( ， - ) 设 M为 PQ与 x轴的交点， PFQ为等边三角形，则有 |MF|= |PQ|（如图） c- = ( + )，即 解得 b= a， c=2a e=2，故选 C。 考点：本题主要考查双曲线的标准方程及其几何性质，直线与双曲线的位置关系。 点评：
3、典型题，利用数形结合思想，发现 a,b,c,e的关系。 已知直线 ，则 “ ”是 “ 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：由 1（ a-2） +(a-2) a=0得， a=2或 a=-1，所以 “ ”是 “的充分不必要条件，故选 A。 考点：本题主要考查充要条件的概念，两直线垂直的条件。 点评：小综合题，直线的一般式方程下，两直线垂直的充要条件是“ ”。 下图给出 4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：图 说明函数定义域为 R，有 ， 结合图 知其为 ，即 为 ；又图 意味函数
4、定义域为 ，所以其对应 ，至此，知应选 B。 考点：本题主要考查常见幂函数的图象和性质。 点评：简单题，由图象所在区域对照函数定义域、值域，由函数单调性对照图象的升降情况。 已知变量 满足约束条件 则 的最小值为（ ） A 1 B 2 C 4 D 10 答案： B 试题分析：画出可行域及直线 x+5y=0（如图），平移直线 x+5y=0，发现，当直线经过点（ 2,0）时， 的最小值为 2，故选 B. 考点：本题主要考查简单线性规划的应用。 点评：简单题，第一步是准确做出可行域，第二步是明确目标函数过何点是取到最值。 下列命题中，真命题是（ ） A B 是 的充要条件 C D命题 的否定是真命题
5、。 答案： D 试题分析： A ，不正确，因为 ； B 是 的充要条件，不正确，因为由 推不出 ； C ，不正确， 因为； 故选 D。 考点：本题主要考查命题真假的判断，充要条件的概念。 点评：小综合题，各命题涉及知识点不同，扩大了考查的覆盖面。 下列不等式中正确的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 “同号两数取倒数，不等号反向 ”知 B不对；由 “不等式两边同除或同乘一个负数，不等号反向 ”知 C,D均不正确，故选 A。 考点：本题主要考查不等式的性质。 点评：简单题，利用不等式的性质及一些 “小结论 ”。 已知： 为单位向量， ，且 ，则 与 的夹角是（ ） A B C D
6、 答案： D 试题分析：由已知得 ，且 ，所以 与 的夹角是 ，故选 D。 考点：本题主要考查平面向量的夹角计算。 点评：简单题，利用向量的夹角计算公式，单位向量其模为 1. 已知 ，那么角 是（ ） A第一或第二象限角 B第二或第三象限角 C第三或第四象限角 D第一或第四象限角 答案： C 试题分析：因为 ，所以 异号，角 终边只有第三或第四象限角，故选 C。 考点：本题主要考查三角函数的定义，三角函数的符号。 点评：简单题，三角函数在各象限为正的符号记忆： “一全正，二正弦，三两切，四余弦 ”。 填空题 已知函数 的定义域为 部分对应值如下表， 为 的导函数，函数 的图象如图所示： -2
7、0 4 1 -1 1 若两正数 满足 ，则 的取值范围是 答案： 试题分析：由图象知函数 f（ x）在 -2， 0上， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减； 函数 f（ x）在 0， +）上， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增； 或 ， 表示点（ a， b）与点（ -3， -3）连线斜率， 故 的取值范围为 考点：本题主要考查导数的应用，应用导数研究函数的单调性，简单线性规划的应用。 点评：典型题，本题不但考查导数的应用，简单线性规划的应用，而且较好地考查了数形结合思想。 已知数列 满足 ， ，则数列 的前 2013项的和 答案： 试题分析：因为数列 满足 ， ，所以 ， ， ，
8、 数列周期为 3，所以。 考点：本题主要考查数列的递推公式及数列的性质。 点评：简单题 ,从已知出发，确定数列的项，从而认识数列的周期性。 二次函数 的图象与 轴所围成的封闭图形 的面积为 答案： 试题分析：令 y=0，得 x= ，所以二次函数 的图象与 轴所围成的封闭图形的面积为 2 =2 = 。 考点：本题主要考查定积分的几何意义及其计算。 点评：简单题，数形结合，利用定积分完成面积计算。 已知函数 ，则 答案： 试题分析：因为函数 ，所以 = ，从而 = 。 考点：本题主要考查分段函数的概念，指数函数、对数函数的性质。 点评：基础题，常考题型，注意分段函数中自变量的范围。 已知抛物线 ，
9、则它的焦点坐标为 答案： 试题分析： 即 ，所以抛物线 ，则它的焦点坐标为（ 0,1） . 考点：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质。 点评：易错题，首先应将抛物线方程化为标准方程，然后写出焦点坐标。 解答题 （本题满分 13分） 已知函数 （ ）求函数 的最小正周期； （ ） ，求函数 的最大值及相应的自变量 x的取值 答案：（ 1）函数 的最小正周期 （ 2） 时，有。 试题分析：（ 1） 2 分 ， 4 分 函数 的最小正周期 6 分 （ 2）由 ，得 10 分 由图像知当 即 时，有 13分 考点：本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数图象和性质。 点评：典型题，此类题目是高考常
10、考题型，关键是首先准确地化简三角函数。在由 确定函数值域过程中易出错，应特别注意。 （本题满分 13分）已知 与两平行直线 都相切，且圆心 在直线 上， （ ）求 的方程； （ ）斜率为 2的直线 与 相交于 两点， 为坐标原点且满足，求直线 的方程。 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）由题意知 的直径为两平行线 之间的距离 解得 ， 3 分 由圆心 到 的距离 得 ，检验得 6 分 的方程为 7 分 （ 2）由（ 1）知 过原点，若 ，则 经过圆心， 9 分 易得 方程： 13 分 （注：其它解法请参照给分） 考点：本题主要考查圆的标准方程，直线与圆相交的位置关系，直线的点斜
11、式方程，圆的几何性质，点到直线的距离公式。 点评：中档题，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解答。 （本题满分 13分） 在锐角 中，内 角 对边的边长分别是， 且 （ ）求 （ ）若 ， ，求 ABC的面积 答案：（ 1） = ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）由正弦定理有 即 又在锐角 中 故 = 6 分 （ 2）由余弦定理及已知条件得， 由 平方可得， 联立 可得 ， 13 分 考点：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积计算。 点评：典型题，综合考查了正弦定理、余弦定理的应用，能较好地考查学生的计算
12、能力及转化与化归思想，本题属于中档题。 （本题满分 12分）已知函数 （ ）求函数的单调区间； （ ） a为何值时，方程 有三个不同的实根 答案：（ ） 在 单调递增； 在 单调递减。 （ ）当 时 有三个不同的实根。 试题分析：（ ） 由 得 由 得 在 单调递增； 在 单调递减 6 分 （ ）由（ ）知 ， 8 分 有三个不同的实根，则 解得 11 分 当 时 有三个不同的实根 12 分 考点：本题主要考查导数的应用，研究函数的单调性、极值、函数图象。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（ 2）通过研究函数的单调性及极值情况，明确了函数图象的大致形态，确定得到方程根的个数。本题较
13、好地考查了数形结合思想。 （本题满分 12分）如图，在平面直坐标系 中，已知椭圆，经过点 ，其中 e为椭圆的离心率且椭圆 与直线 有且只有一个交点。 （ ）求椭圆 的方程； （ ）设不经过原点的直线 与椭圆 相交与 A， B两点，第一象限内的点在椭圆上，直线 平分线段 ，求：当 的面积取得最大值时直线 的方程。 答案：（ ） ；（ ） 。 试题分析：（ ） 椭圆经过点 ， 又 ， ， 椭圆的方程为 2 分 又 椭圆 与直线 有且只有一个交点 方程 即 有相等实根 椭圆的方程为 5 分 （ ）由（ ）知椭圆的方程为 故 设不经过原点的直线 的方程 交椭圆 于 由 得 6 分 7 分 直线 方程为
14、 且 平分线段 = 解得 8分 又 点 到直线 的距离 9分 设 由直线 与椭圆 相交于 A， B两点可得 求导可得 ，此时 取得最大值 此时直线 的方程 12 分 考点：本题主要考查椭圆标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线方程，点到直线的距离。 点评：求椭圆的标准方程是几何的基本问题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，常常运用韦达定理，本题属于中档题。 （本题满分 12分）设数列 的前 项和为 ，满足，且 。 （ ）求 的值； （ ）求数列 的通项公式； （ ）设数列 的前 项和为 ，且 ，证明：对一切正整数 ， 都有： 答案：（ ） ， ；（ ） （ ）利用 ，推出 。 试题分析：（ ） 4 分 （ ）由 得 检验知 ， 满足 变形可得 数列 是以 1为首项， 1为公差的等差 解得 7 分 （ ）由（ ）知 代入得 = 8 分 即 12 分 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和，不等式证明。 点评：典型题，本题首先由 的故选，确定数列的通项公式是关键。不等式证明中运用了 “放缩法 ”，本题较难。
