1、2013届黑龙江省集贤县第一中学高三上学期期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据交集的运算规律知 . 考点：本小题主要考查交集的运算 . 点评：求解集合的运算，要看清集合中的元素是什么，运算是可以借助韦恩图或数轴辅助解决 . 抛物线 的焦点为 ，其上的动点 在准线上的射影为 ，若 是等边三角形，则 的横坐标是（ ） A B CD 答案： A 试题分析：设准线与 轴的交点为 P，在 中， ，所以 ，所以 . 考点：本小题主要考查抛物线的性质 . 点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质非常重要，而且经常应用
2、，要牢固掌握 . 已知 ，且关于 的函数 在 上有极值，则 与 的夹角范围（ ） A B C D 答案： C 试题分析：函数 在 上有极值，即对应的方程有解，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 与 的夹角范围为 . 考点：本小题主要考查函数的极值，向量的夹角 . 点评：解决本小题时要注意两个向量的夹角的取值范围 . 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中真命题的是（ ） A若 ，则 B若 ，则C若 则 D若 ，则 答案： D 试题分析： A中直线与平面也可能相交或平行，不一定垂直，所以不正确； B中两个平面不一定平行，以三棱柱为例即可证明，所以不正确； C中两个平面可能相交也可能平行，
3、所以不正确；根据面面垂直的判定定理可知 D正确 . 考点：本小题主要考查空间直线、平面间的位置关系 . 点评：解决此类问题，要充分发挥空间想象能力，紧扣相应的判定定理和性质定理，定理中要求的条件缺一不可 . 已知过点 的直线 斜率为 2，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为直线 斜率为 2，所以 ，因为直线过点 ，所以 ，所以 。 考点：本小题主要考查两角和的正切公式 . 点评：本小题根据公式计算即可，难度较低 . 设变量 满足约束条件 ，则 的最小值（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据约束条件画出可行域，可行域是一个直角三角形，再画出目标函数，通过平移可知该目
4、标函数在 处取得最大值，所以最大值为 -8. 考点：本小题主要考查线性规划 . 点评：解决线性规划问题，首先要正确画出可行域，然后通过平移目标函数找到取最优解的点，有时要转化 成斜率或距离等求解 . 将函数 的图像上的所有点，向右平行移动 个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），所得图像的式（ ） A B C D 答案： C 试题分析：将函数 的图像上的所有点，向右平行移动 个单位长度，得到函数 ，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），得到 . 考点：本小题主要考查三角函数图象的变换 . 点评：三角函数图象的变换中要注意左右平移的单位是相对于 说
5、的，而周期变换改变的只是 的系数的值，要注意各种变换的顺序 . 若 是真命题，则实数 的取值范围（ ） A B CD 答案： C 试题分析：若 是真命题，则方程 有两个不相等的实数根，所以 实数 的取值范围 . 考点：本小题主要考查特称命题，二次函数根的问题 . 点评：解决本小题的关键是根据题意将问题转为为方程有两个不相等的实数根，进而用判别式求解 . 如图是一个几何体的三视图，侧视图是一个等边三角形，根据尺寸（单位：）可知这个几何体的表面积为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由三视图可知，该几何体是一个放倒的三棱柱，该三棱柱的底面是边长为 2的正三角形，侧棱长为 2，所以该几何体
6、的表面积为. 考点：本小题主要考查三视图，表面积 . 点评：解决与三视图有关的问题，关键是根据三视图正确还原几何体 . ，若 ，则 =（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意可知，当 时， ，解得 ，或 ，均不符合 ，都舍去；当 时， ，符合要求，所以 . 考点：本小题主要考查分段函数求值 . 点评：已知分段函数的函数值求参数的值，要分情况讨论，分段解出参数值后还要注意是 否符合范围要求 . 等差数列 的前项 和为 ，若 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为数列 是等差数列，根据等差数列的性质知： ，所以考点：本小题主要考查等差数列的性质 . 点评：等差数
7、列是一种很重要的数列，它的性质要灵活运算，可以简化运算 . 若直线 过圆 的圆心，则 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：圆 的圆心为（ -1,2），因为直线过圆心，所以考点：本小题主要考查圆的方程，点与直线的关系 . 点评：圆的方程有标准方程和一般方程两种形式，它们的互化要灵活掌握 . 填空题 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 。 答案： 试题分析：底面是正六边形，侧棱垂直底面，顶点都在同一球面上，所以球心到每个顶点的距离为球半径，且球心在 高度的中心轴上，球的半径为 1，
8、所以球的体积为 . 考点：本小题主要考查六棱柱及球的体积 . 点评：求解本小题的关键是求出球半径 . 直线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是 。 答案： 试题分析：由题意可知 ，所以在点 处的切线的斜率为 2，所以切线方程为 ，令 得 ；令 得 ，所以三角形的面积为 考点：本小题主要考查导数的应用，三角形面积的计算 . 点评：导数的几何意义就是在某点处的切线的斜率，主要用来求切线方程 . 已知向量 ，若 ，则 的最小值为 。 答案： 试题分析： ，所以. 考点：本小题主要考查向量的数量积，基本不等式 . 点评：利用基本不等式求解时，要注意 “一正二定三相等 ”三个条件缺一不可 .
9、函数 的定义域是 。 答案： 试题分析：要使函数有意义，需 ，解得函数的定义域为 . 考点：本小题主要考查对数函数的定义域 . 点评：函数的定义域一定要写成集合或区间的形式 . 解答题 （ 10分）已知集合（ 1）若 ，求 实数的值； （ 2）若 ，求实数 的取值范围。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由题意可知 ， 2 分 ， 4 分 . 5 分 （ 2）由（ 1）知， ， 7 分 若 ，则 或 ， 实数 的取值范围为 。 10 分 考点：本小题主要考查一元二次不等式的求解，和集合的运算 . 点评：求解集合的运算时，一般要借助数轴辅助解决 . （ 12分）已知等差数列 的公差 ，
10、 是等比数列，又。 （ 1）求数列 及数列 的通项公式； （ 2）设 ，求数列 的前 项和 。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）设数列 的公比为 ， 由 得 ，解得， 5 分 （ 2）由（ 1）得 ， ， ， ， ， ， . 12 分 考点：本小题主要考查等差等比数列是通项公式和错位相减法求和 . 点评：错位相减法高考经常考查的内容，思路不难，但是运算量较大，要仔细运算，异面出错 . （ 12分） 的三个内角 的对边分别为 ，且 。 （ 1）求角 的大小。 （ 2）当 取最大值时，求角 的大小。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由 由正弦定理得： ， 又 6 分 （ 2
11、） ， ， ， . 12 分 考点：本小题主要考查三角函数的化简求值 . 点评：三角函数是每年高考必考的内容，难度不大，但是三角函数中公式比较多，解题时要灵活选择，还要注意各公式的适用条件，有时还要结合三角函数的图象数形结合解决问题 . （ 12分）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，为 中点， 面 ， ， 为中点。 （ 1）求证： 面 。 （ 2）求证： 面 。 （ 3）求直线 与平面 所成角的正切值。 答案：（ 1）利用中位线证出 ，再利用线面平行的判定定理即可； （ 2）先证 ，再证 ，进而利用线面垂直的判定定理证明即可； （ 3） 试题分析：（ 1）连结 , ， 4 分 （ 2）
12、， ， 8 分 （ 3）、 12 分 考点：本小题主要考查线面平行、线面垂直的证明和二面角的求解 . 点评：立体几何问题，主要是考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，证明时要注意紧扣相应的判定定理和性质定理，定理中要求的条件缺一不可 . （ 12 分）已知椭圆 的右焦点为 ，离心率 ，椭圆 上的点到 距离的最大值为 ，直线 过点 与椭圆 交于不同的两点 。 （ 1）求椭圆 的方程。 （ 2）若 ，求直线 的方程。 答案：（ 1） （ 2） 或 试题分析：（ 1）由题意知： ，所以 故椭圆的方程为 . 4 分 （ 2）容易验证直线 的斜率不为 0，故可以设直线 方程为 ， 代入 中，得 ， 设
13、，则根与系数的关系得 ， 则： 解得 ，所以直线 的方程为 或 . 12 分 考点：本小题主要考查椭圆的标准方程和椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，弦长公式 . 点评：圆锥曲线问题也是高考必考内容，难度较大，综合性较强，解题时要注意数形结合思想和转化思想以及设而不求等思想的应用 . （ 12分）已知函数 （ 1）求函数 的单调区间和值域。 （ 2）设 ，求函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围。 答案：（ 1）增区间为 ，减区间为 ，值域 （ 2） 试题分析：（ 1） ， ， 由 得 且 ， 由 得， 或 ， 又已知 ， 的增区间为 ，减区间为 ， 而 ，且 在区间 上连续， 的值域 . 6 分 （ 2）由 ，得 ， ，则 ， 在区间 上是减函数。 的值域为 ， 根据题意，有 ， 则 ，解得 ， 实数 的取值范围为 。 12 分 考点：本小题主要考查函数的性质及应用 . 点评：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等都是高考考查的重点，高考中一般在压轴题的位置上出现，要灵活运用各种思想方法和技巧解决问题 .
