1、2013年上海市四区（静安、杨浦、青浦、宝山）高考二模理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，若对于任意 ，存在 ， 使得 成立，则称集合 是 “ 集合 ”. 给出下列 4个集合： 其中所有 “ 集合 ”的序号是 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：对于 ，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可对于 ，画出图象，说明满足 集合的定义，即可判断正误；对于 ，画出函数图象，说明满足 集合的定义，即可判断正误；对于 ，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足 集合定义 解：对于 y= 是以 x， y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为 90，在同一支上，任意（ x1， y1） M，不存
2、在（ x2， y2） M，满足 集合的定义；对任意（ x1， y1） M，在另一支上也不存在（ x2， y2） M，使得 x1x2+y1y2=0 成立，所以不满足 集合的定义，不是好集合对于 M=（ x， y） |y=ex-2，如图（ 2）在曲线上两点构成的直角始存在，例如取 M（ 0， -1）， N（ ln2， 0），满足 集合的定义，所以正确对于 M=（ x， y） |y=cosx，如图（ 3）对于任意（ x1， y1） M，存在（ x2， y2） M，使得 x1x2+y1y2=0 成立，例如（ 0， 1）、（ ， 0）， yox=90，满足 集合的定义，旋转 90，都能在图象上找到满足题
3、意的点，所以集合 M是好集合；对于 M=（ x， y） |y=lnx，如图（ 4）取点（ 1， 0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是 集合故选 A 考点：命题真假的判断 , 元素与集合的关系 点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查 了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题 若直线 经过点 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据直线 经过点 ，则 ，那么点 M在单位圆上，可知直线与单位圆有交点，则说明圆心到直线的距离小于等于圆的半径 1，那么利用点到直线的距离公式 ，故答案：为 B. 考点：直线与圆的位置关
4、系 点评：主要是考查了圆的参数方程以及直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。 已知圆 的极坐标方程为 ，则 “ ”是 “圆 与极轴所在直线相切 ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案： A 试题分析：根据题意，圆 的极坐标方程为 ，可知圆心为（ 0， ），半径为 的圆，而 a=2 则说明圆心为（ 0， 1），半径为 1，显然与坐标轴相切，满足充分性，但是反之， a=-2也成立，故不是必要条件，因此充分不必要条件选 A 考点：圆的极坐标方程 点评：解决的关键是根据极坐标化为直角坐标方程，利用直线与圆的位置关系来判定，属于解题。 已知 ， ，则
5、的值等于 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于 ， ，则故答案：选 D 考点：两角和差的正切公式，同角关系式 点评：主要是考查了三角函数的同角公式以及两角差的正切公式的运用，属于基础题。 填空题 已知全集 ，集合 ，则 答案： 试题分析：根据题意，由于全集 ，集合 =x|x3或x-1因此结合数轴法可知， 。 考点：补集 点评：主要是考查了一元二次不等式的求解以及补集的运算，属于基础题。 给出 30行 30列的数表 ： ，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数 按顺序构成数列 ，存在正整数 使 成等差数列，试写出一组的值 答案： 试题分析：根据题意，由于对角
6、线上的数 按顺序构成数列，那么可知其通项公式为 ，利用累加法可知，由于存在正整数使 成等差数列，那么根据通项公式可知当 s=15,t=25时能满足题意，故可知得到一组 的值 ，答案：为 。 考点：数列的综合运用 点评：主要是考查了等差数列的公式和性质以及数列递推式的运用，属于中档题。 已知两个不相等的平面向量 ， ( )满足 | | 2，且 与 - 的夹角为 120，则 | |的最大值是 答案： 试题分析：根据题意，由于两个不相等的平面向量 ， ( )满足 | | 2，且 与 - 的夹角为 120，即可知 ，那么可知 2 =，展开利用向量数量积的性质可知得到 | |的二次函数，利用二次函数性质
7、可知其模的最大值为 。故答案：为 。 考点：平面向量以及运用 点评：本题主要考查了向量的平行四边形法则的应用，三角形的正弦定理及正弦函数性质的简单应用 各项为正数的无穷等比数列 的前 项和为 ，若 ， 则其公比 的取值范围是 . 答案： 试题分析：根据题意，由于各项为正数的无穷等比数列 的前 项和为，由于 ，则可知 ，那么根据极限的公式可知，当 的取值范围是 成立，故答案：为 。 考点：等比数列的极限问题 点评：本题考查等比数列的极限问题，解题时要熟练掌握无穷递缩等比数列的极限和 某中学在高一年级开设了 门选修课，每名学生必须参加这 门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙 名学生，这 名学生
8、选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示 ) 答案： 试题分析：根据题意，由于题目中要求高一年级开设了 门选修课，每名学生必须参加这 门选修课中的一门，那么对于年级的甲、乙、丙 名学生，她们选择选修课的所有情况即为 ，而选修课互不相同的的情况即为 ,结合随机事件的概率公式得到为 。 考点：分步乘法计数原理 点评：主要是考查了随机事件的概率求解，结合计数原理来得到，属于基础题。 已知圆锥底面半径与球的半径都是 ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 答案： 试题分析：根据题意，由于球的半径为 1，那么可知其体积公式为 ，而圆锥的体积公式等于 V=SH= h= ，可
9、知其高为 4，那么利用母线长和底面的半径以及高勾股定理可知圆锥的母线长 ，故答案：为 。 考点： 圆锥和球的体积 点评：主要是考查空间几何体简单的体积运算，属于基础题。 执行如图所示的程序框图，若输入 的值是 ，则输出 的值是 答案： -14 试题分析：根据题意，由于输入 的值是 ，那么起始量 n=1,s=0,那么第一次循环得到 s=1,n=2;依次可知得到为 s=1,n=3;s=0,n=4;s=-2,n=5;s=-5,n=6,s=-9,n=7;s=-14,n=8，则此时输出 s=-14，答案：为诶 -14. 考点：流程图 点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基
10、础题 若复数 满 足 （ 是虚数单位），则 答案： 试题分析：根据题意，由于 ，故可知那么可知其 ，故答案：为。 考点：复数相等 点评：主要是考查了复数的概念和复数相等的运用，属于基础题。 已知直线 的倾斜角大小是 ，则 答案： 试题分析：根据题意，由于直线 ，可知其斜率为 -2，可知 tan =-2,那么根据二倍角公式可知 ，故答案：为 。 考点：直线的倾斜角 点评：主要是考直线的一般式表示直线的斜率，进而利用二倍角公式求解正切值，属于基础题。 若关于 的二元一次方程组 有唯一一组解，则实数的取值范围是 答案： 试题分析：根据题意，由于关于 的二元一次方程组 有唯一的一组解，则说明联立方程后
11、，得到（ 3m-1） x-1=0,只要 3m-1 不为零即可，可知 m的取值范围是 。 考点：方程组的解 点评：主要是考查了二元一次方程组的求解，属于基础题。 已知函数 和函数 的图像关于直线 对称， 则函数 的式为 答案： 试题分析：根据题意，由于函数 和函数 的图像关于直线对称，则可知 是 的反函数，那么可以解得,故答案：为 考点：反函数 点评：本题属于基础性题，解题思路清晰，方向明确，注意抓住函数 y=ex的图象与函数 y=f（ x）的图象关于直线 y=x对称这一特点，确认 f（ x）是原函数的反函数非常重要，是本题解决的突破口 已知双曲线的方程为 ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 答
12、案： 试题分析：根据题意，由于双曲线的方程为 ，可知，则可知焦点在 x轴上，渐近线方程为 y= ，那么化为一般式，结合点到直线的距离公式可知 d ,g故答案：为 1. 考点：双曲线的几何性质 点评：解决的关键是熟悉双曲线中 a,bc表示其渐近线方程以及点到直线的距离公式的运用，属于基础题。 函数 的最小正周期 答案： 试题分析：根据题意， 结合行列式的运算可知，=cos x-sin x+2sinxcosx=cos2x+sin2x= ,故可知周期公式，答案：为 。 考点：三角函数的周期 点评：主要是运用行列式表示函数式，然后借助于周期公式求解，属于基础题。 若 展开式中含 项的系数等于含 项系数
13、的 8倍，则正整数 答案： 试题分析：根据题意，由于 展开式 Tr+1=Cnr （ 2x） r，含 项的系数等于含 项系数的 8倍， ，故答案：为 5. 考点：二项式系数和系数 点评：本题考查二项式系数的性质，要牢记展开式中中各项的系数和与二项系数和的不同意义与各自的求法 解答题 在棱长为 的正方体 中， 分别为 的中点 （ 1）求直线 与平面 所 成 角的大小； （ 2）求二面角 的大小 答案： (1) (2) 试题分析：（ 1）解法一：建立坐标系 平面 的一个法向量为 因为 ， ， 可知直线 的一个方向向量为 设直线 与平面 成角为 ， 与 所成角为 ，则 解法二： 平面 ，即 为 在平面
14、 内的射影， 故 为直线 与平面 所成角， 在 中， , （ 2）解法一：建立坐标系如图平面 的一个法向量为 设平面 的一个法向量为 ，因为 ， 所以 ，令 ，则 由图知二面角 为锐二面角，故其大小为 解法二：过 作平面 的垂线，垂足为 ， 即为所求 ，过 作 的垂线设垂足为 ， 即 在 中 所以 二面角 的大小为 考点：空间中角的求解 点评：解决的关键是利用角的定义作图来结合几何中的性质定理和判定定理来得到，解三角形得到，或者建立空间直角坐标系，运用向量法来求解。属于中档题。 如图所示，扇形 ，圆心角 的大小等于 ，半径为 ，在半径上有一动点 ，过点 作平行于 的直线交弧 于点 （ 1）若
15、是半径 的中点，求线段 的大小； （ 2）设 ，求 面积的最大值及此时 的值 答案： (1 )(2) 时， 取 得最大值为 . 试题分析：解 :（ 1）在 中， ， 由 得 ，解得 （ 2） ， ， 在 中，由正弦定理得 ，即 ,又 解法一：记 的面积为 ，则 ， 时， 取得最大值为 . 解法二： 即 ，又 即当且仅当 时等号成立 , 所以 时， 取 得最大值为 . 考点：余弦定理和三角形面积 点评：主要是考查了解三角形边角的转换，以及三角形面积公式的求解的综合运用，属于基础题。 已知函数 （ 1）若 是偶函数，在定义域上 恒成立，求实数的取值范围； （ 2）当 时，令 ，问是否存在实数 ，使
16、 在上是减函数，在 上是增函数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由 答案： (1) (2) 试题分析：解 :（ 1） 是偶函数， 即 ， 又 恒成立即 当 时 当 时， ， 当 时， ， 综上： （ 2） 是偶函数，要使 在 上是减函数在 上是增函数，即只要满足在区间 上是增函数在 上是减函数 令 ，当 时 ； 时 ，由于 时， 是增函数记 ，故 与 在区间上有相同的增减性，当二次函数 在区间上是增函数在 上是减函数，其对称轴方程为 考点：函数的性质的综合运用 点评：主要是考查了函数奇偶性和单调性以及不等式的恒成立问题的综合运用，属于基础题。 已知点 ， 、 、 是平面直角坐标系上的
17、三点，且 、 、成等差数列，公差为 ， （ 1）若 坐标为 ， ，点 在直线 上时，求点 的坐标； （ 2）已知圆 的方程是 ，过点 的直线交圆于两点， 是圆 上另外一点，求实数 的取值范围； （ 3）若 、 、 都在抛物线 上，点 的横坐标为 ，求证：线段的垂直平分线与 轴的交点为一定点，并求该定点的坐标 答案：（ 1） 或 （ 2）当 时， 或 ；当 时， 或 （ 3） 试题分析：解（ 1） ，所以 ，设 则 ，消去 ，得 ， （ 2分） 解得 ， ,所以 的坐标为 或 （ 2）由题意可知点 到圆心的距离为 （ 6分） （ ）当 时，点 在圆上或圆外， ， 又已知 ， ，所以 或 （ ）当
18、 时，点 在圆内， 所以 ， 又已知 ， ，即 或 结论：当 时， 或 ；当 时，或 （ 3）因为抛物线方程为 ，所以 是它的焦点坐标，点 的横坐标为 ，即 设 ， ，则 ， ， ， 所以 直线 的斜率 ，则线段 的垂直平分线 的斜率则线段 的垂直平分线 的方程为 直线 与 轴的交点为定点 考点：直线与圆，抛物线 点评：解决的关键是利用直线与圆的位置关系，以及抛物线的几何性质来求解斜率和中垂线方程，属于中档题。 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ( )， ，设， （ 1）求证：数列 是等比数列； （ 2）若 ， ，求实数 的最小值； （ 3）当 时，给出一个新数列 ，其中 ，设这个新数列的前
19、项和为 ，若 可以写成 ( 且 )的形式，则称 为“指数型和 ”问 中的项是否存在 “指数型和 ”，若存在，求出所有 “指数型和 ”；若不存在，请说明理由 答案：（ 1）根据等比数列的定义，相邻两项的比值为定值。 （ 2） -9 （ 3） 当 为偶数时， ，存在正整 数 ，使得， ， , ，所以 且， 相应的 ，即有 ， 为 “指数型和 ”； 当 为奇数时， ，由于 是个奇数之和，仍为奇数，又 为正偶数，所以不成立，此时没有 “指数型和 试题分析：解：（ 1） ， ， ，当时， =2，所以 为等比数列 ， （ 2） 由（ 1）可得 ； ， ， 所以 ，且 所以 的最小值为 -9 （ 3）由（ 1）当 时 ， 当 时， ， ， 所以对正整数 都有 由 ， ， ( 且 )， 只能是不小于 3的奇数 当 为偶数时， ， 因为 和 都是大于 1的正整数， 所以存在正整 数 ，使得 ， ， , ，所以 且 ， 相应的 ，即有 ， 为 “指数型和 ”； 当 为奇数时， ，由于 是个奇数之和， 仍为奇数，又 为正偶数，所以 不成立，此时没有 “指数型和 ” 考点：数列和函数的 综合运用 点评：解决的关键是能利用数列的定义和数列的单调性来求解参数的值，同事能借助于新定义来求解，属于基础题。
