1、2013年上海市奉贤区高考二模理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 直线 与双曲线 的渐近线交于 两点，设 为双曲线上的任意一点，若 ( 为坐标原点 )，则下列不等式恒成立的是（ ） （ A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，由于直线 与双曲线 的渐近线交于两点可知交点为（ 2， 1）（ 2， -1），那么设 为双曲线 上的任意一点，( 为坐标原点 )，则可知，那么可知点 P到在实轴端点时距离原点最近，可知最小值为 a，即可知 ，即可知考点：向量的坐标运算，双曲线的性质 点评：主要是考查了双曲线的几何性质以及向量的坐标运算，属于中档题。 数列 前 项和为 ，已知 ，且对任意正整数 ，
2、都有，若 恒成立，则实数 的最小值为（ ） A B C D 4 答案： B 试题分析：由 am+n=am an，分别令 m和 n等于 1和 1或 2和 1，由 a1求出数列的各项，发现此数列是首项和公比都为 的等比数列，利用等比数列的前 n项和的公式表示出 Sn，而 Sn a恒成立即 n趋于正无穷时，求出 Sn的极限小于等于a，求出极限列出关于 a的不等式，即可得到 a的最小值解：令 m=1， n=1，得到 a2=a12= ，同理令 m=2， n=1，得到 a3= ，所以此数列是首项为 ，公比也为 的等比数列 S n a恒成立即 n+时， Sn的极限 a，所以 ，故答案：为 考点：等比数列 点
3、评：此题考查了等比数列关系的确定，掌握不等式恒成立时所满足的条件，灵活运用等比数列的前 n项和的公式及会进行极限的运算，是一道综合题 设事件 ， ，已知 = ， = , = ，则 ， 之间的关系一定为（ ） A两个任意事件 B互斥事件 C非互斥事件 D对立事件 答案： A 试题分析：根据题意，如果 ， 是互斥事件则其并事件的概率为其和，显然已知 = ， = , = ，成立，但是显然不是对立事件，因为概率和必须为 1，当时根据并事件的含义可知，虽然概率和相等，但是可能A,B之间有交事件，这样就不一定是互斥事件了，可以运用集合的交集和并集的思想来理解即可，故选 A. 考点：随机事件 点评：主要是考
4、查了互斥事件和对立事件的概率的关系的运用，属于基础题。 下列命题中正确的是（ ） A函数 与 互为反函数 B函数 与 都是增函数 C函数 与 都是奇函数 D函数 与 都是周期函数 答案： C 试题分析：根据题意，由于函数 与 互为反函数，只有在给定的区间 内成立，对于函数 与 都是增函数后者成立，当时前者是周期函数，显然不成立，对于 D, 是单调函数，不是周期函数，错误，故选 C. 考点：正弦函数的性质运用 点评：解决的关键是利用正弦函数的奇偶性和单调性以及周期性来求解，属于基础题。 填空题 函数 的最小正周期是 _ 答案： 试题分析：因为 ，那么结合周期公式 故可知答案：为 。 考点：三角函
5、数的周期公式 点评：解决的关键是根据已知关系式化为单一三角函数，借助于周期公式得到，属于基础题。 如图放置的等腰直角三角形 ABC薄片 ( ACB 90， AC 2)沿 x轴滚动，设顶点 A(x， y)的轨迹方程是 y f(x)，当 0, 时 y f(x)= _ 答案： 试题分析：根据题意，由于等腰直角三角形 ABC薄片 ( ACB 90， AC 2)沿x轴滚动，设顶点 A(x， y)的轨迹方程是 y f(x)，当 0, 时 y f(x)即可知点运用轨迹是圆，那么根据最高点的坐标为（ 2， 2 ） 和（ 4， 2 ） ，以及利用直径为 AB的长度可知为 4 ，得到式为。 考点：轨迹方程，式 点
6、评：解决的关键是根据点的运动中满足的坐标关系式来得到，属于难度题。 椭圆 上的任意一点 (除短轴端点除外 )与短轴两个端点 的连线交 轴于点 和 ，则 的最小值是 答案： 试题分析：求出椭圆上下顶点坐标，设 P（ xo， yo） K（ xk， 0） N（ xn， 0），利用 K， P， B1三点共线求出 K， N的横坐标，利用 p在椭圆上，推出 |OK| |ON|=a2即可 . 解：由椭圆方程知 B1（ 0， -b）， B2（ 0， b）另设 P（ xo， yo） K（ xk， 0） N（ xn，0） ,由 K， P， B1三点共线 , 同理 ，利用点在椭圆上，那么可知 |OK| |ON|=a
7、2，即 利用均值不等式可知其最小值为 2a,故答案：为2a 考点：向量共线 ,椭圆的性质 点评：本题是中档题，思路明确重点考查学生的计算能力，也可以由向量共线，或由直线方程截距式等求得点 M坐标 设正项数列 的前 项和是 ，若 和 都是等差数列，且公差相等，则 答案： 试题分析：设公差为 d，首项 a1，由于 和 都是等差数列，且公差相等， 两端平方得： 4（ 2a1+d） =a1+3a1+3d+2 ，两端再平方得： 16a12+8a1d+d2=4a1（ 3a1+3d）， 4a12-4a1d+d2=0， d=2a1，又两数列公差相等 a2-a1=d=2a1，解得 故可知 考点：等差数列 点评：
8、本题考查等差数列的性质，考查等差中项的性质，考查化归与方程思想，属于难题 设 是定义在 上以 2为周期的偶函数，已知 ，则函数 在 上的式是 答案： 试题分析：根据题意，由于 是定义在 上以 2为周期的偶函数，那么当， ，可知当 x , ,那么利用周期性可知， 在 上的式就是将 x , 的图像向右平移 2个单位得到的，因此可知，答案：为 。 考点：函数奇偶性、周期性的运用 点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即周期性，奇偶性，单调性等有关性质 已知函数 ，且 ，则不等式 的解集是 答案： 试题分析：根据题意，由于函数 ，且 ，则说明 f(2)=0，可知 等价于 结合指数函数图像可
9、知当 x=2函数图像有个交点在交点的右侧满足题意，因此得到 ，故答案：为 。 考点：对数不等式 点评：解决的关键是根据对数函数的性质来得到求解，属于基础题。 在极坐标系中，直线 的位置关系是 _ 答案：相离 试题分析 ：根据题意，由于极坐标系中，直线可知对应的直角坐标方程为 y-x=1, ，那么利用圆心（ 0， 1），圆的半径为 1，点到直线的距离公式可知 d 1，可知其位置关系为相离。故答案：为相离 考点：简单曲线的极坐标方程 点评：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直
10、角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化 在 的二项展开式中，常数项是 答案： 试题分析：根据题意，由于 展开 式中其通项公式为令 8-2r=0,r=4，可知常数项为第 5项，且为 ,故答案：为 70。 考点：二项式定理 点评：本题考查二项式定理的应用，准确掌握公式是基础和前提 已知正数 、 满足 ，则 的最小值是 答案： 试题分析：解： x 0， y 0， xy( )2，又 x+y=xy， x+y( )2， （ x+y） 24（ x+y）， x+y4故答案：为： 4 考点：基本不等式 点评：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于 x+y的二次不等式是关键，属
11、于基础题 执行如图所示的程序框图，输出的 值为 答案： 试题分析：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加 S=21+22+ 的值 S=21+22+ =63故答案：为： 63 考点：程序框图 点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： 分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理） 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模 已知直线 与函数 及函数 的图像分别相交于 、 两点，则
12、、 两点之间的距离为 答案： 试题分析：确定 A， B两点的横坐标，再作差，即可求得 A， B两点之间的距离根据题意，直线 与函数 及函数 的图像分别相交于 、两点，由 3x=a，可得 x=log3a；由 4 3x=a，可得 x=log3 =log3a-log34， A， B两点之间的距离为 log3a-（ log3a-log34） =log34，故答案：为： 考点：两点之间的距离 点评：本题考查两点之间的距离，考查学生的计算能力，属于基础题 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为 ，容器的高为 10cm，制作该容器需要 cm2的铁皮答案： 试题分析：由题意可
13、知，制作该容器需要铁皮面积，就是圆锥的侧面积，求出圆锥的底面半径即可解答本题解：该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45，容器的高为 10cm所以圆锥的底面半径是 10cm圆锥的侧面积是： 2010 cm2，故答案：为： 考点： 点评：本题考查旋转体的侧面积，是基础题 若实数 t满足 f(t) -t，则称 t是函数 f(x)的一个次不动点设函数与反函数的所有次不动点之和为 m，则 m _ 答案： 试题分析：函数 y=lnx的图象与直线 y=-x有唯一公共点（ t， -t）则有 t=-ln（ -t）， ex=-x x=ln（ -x） x=-t故两个函数的所有次不动点之和 m=t+（ -t） =0解
14、：函数 y=lnx的图象与直线 y=-x有唯一公共点（ t， -t）则有 t=-ln（ -t），而 ex=-x x=ln（ -x） x=-t故两个函数的所有次不动点之和 m=t+（ -t） =0，故答案：为 0 考点：函数零点 点评：本题以新定义为载体，考查了函数图象的对称性的灵活运用 ，属于中档题 关于 的方程 的一个根是 ，在复平面上的一点 对应的复数 满足 ，则 的取值范围是 答案： 试题分析：根据题意，由于 的方程 的一个根是则另一个根为 1-ni，那么结合韦达定理可知 m=-2， n=1,由于在复平面上的一点 对应的复数 满足 ，说明点 Z在单位圆上，那么利用单位圆上点于（ -2，
15、1）两点之间的距离可知 的取值范围是，故答案：为 。 考点：一元二次方程的解与复数的几何意义 点评：本题考查一元二次方程的解与复数的几何意义，本题解题的关键是求出一元二次方程的解，根据解对应的点的 位置确定符号，本题是一个中档题目 解答题 长方体 中，底面 是正方形， ， 是上的一点 求异面直线 与 所成的角； 若 平面 ，求三棱锥 的体积； 答案： (1) (2) 试题分析：以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 1分 依题意， ， ， ， ， 所以 ， 3分 所以 ， 所以异面直线所成角为 6分 设 ，则 7分 因为 平面 ， 平面 ，所以 9分 所以 ，所
16、以 ， 10分 所以 考点：异面直线所成的角，椎体的体积 点评：解决的关键是能合理的建立空间直角坐标系，然后借助于法向量和直线的方向向量来表示求解，属于基础题。 位于 A处的雷达观测站，发现其北偏东 45，与 相距 20 海里的 B处有一货船正以匀速直线 行驶， 20分钟后又测得该船只位于观测站 A北偏东的 C处， 在离观测站 A的正南方某处 E，（ 1）求 ； （ 2）求该船的行驶速度 v（海里 /小时）； 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1） 2分 6分 （ 2）利用余弦定理 10分 该船以匀速直线行驶了 20分钟的路程为 海里， 该船的行驶速度 （海里 /小时） 14分 考点：解
17、三角形的运用 点评：解决的关键是根据同角公式和余弦定理来求解，属于基础题。 三阶行列式 ， 元素 的代数余子式为 ， (1) 求集合 ； (2)函数 的定义域为 若 求实数 的取值范围； 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ 1）、 = 3分 7分 （ 2）若 则说明在 上至少存在一个 值，使不等式成立， 8分 即在 上至少存在一个 值，使 成立， 9分 令 则只需 即可。 11分 又 当 时， 从而 13分 由 知， 14分 考点：行列式的运用，函数定义域，交集 点评：解决的关键是能利用行列式得到集合 P，然后借助于集合的知识和函数知识来分析求解，属于基础题。 已知数列 an中， a2
18、=1，前 n项和为 Sn，且 （ 1）求 a1， a3； （ 2）求证：数列 an为等差数列，并写出其通项公式； （ 3）设 ，试问是否存在正整数 p， q(其中 1pq)，使 b1， bp， bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组 (p， q)；若不存在，说明理由 答案： (1) a1=S1= =0, a3=2 (2) an=n-1 (3) 存在唯一正整数数 对 (p， q)=(2， 3)，使 b1， bp， bq成等比数列 试题分析：解： (1)令 n=1，则 a1=S1= =0 2分； a3=2； 3分 （ 2）由 ，即 ， 得 - ，得 5分 于是， + ，得 ，即 7分 又
19、a1=0， a2=1， a2-a1=1， 所以，数列 an是以 0为首项， 1为公差的等差数列 所以， an=n-1 9分 法二 - ，得 5分 于是， 7分 所以， an=n-1 9分 (3)假设存在正整数数组 (p， q)，使 b1， bp， bq成等比数列， 则 lgb1， lgbp， lgbq成等差数列， 10分 于是， 11分 所以， ( )易知 (p， q)=(2， 3)为方程 ( )的一组解 12分 当 p3，且 p N*时， 0， 故数列 (p3)为递减数列 14分 于是 0，所以此时方程 ( )无正整数解 15分 综上，存在唯一正整数数 对 (p， q)=(2， 3)，使 b
20、1， bp， bq成等比数列 16分 考点：等差数列和等比数列 点评：解决的关键是根据等差数列和等比数列的性质以及定义来求解运用。属于基础题。 动圆 过定点 ，且与直线 相切，其中 .设圆心 的轨迹 的程为 （ 1）求 ； （ 2）曲线 上的一定点 ( 0) ，方向向量 的直线 （不过P点）与曲线 交与 A、 B两点，设直线 PA、 PB斜率分别为 ， ，计算； （ 3）曲线 上的两个定点 、 ，分别过点 作倾斜角互补的两条直线 分别与曲线 交于 两点，求证直线 的斜率为定值； 答案：（ 1） （ 2） 0（ 3） 试题分析：（ 1）过点 作直线 的垂线，垂足为 ，由题意知：，即动点 到定点 与定直线 的距离相等，由抛物线的定义知，点 的轨迹为抛物线， 2分 其中 为焦点， 为准线，所以轨迹方 程为 ； 4分 （ 2）证明：设 A( )、 B( ) 过不过点 P的直线方程为 5分 由 得 6分 则 ， 7分 = = 8分 = =0. 10分 （ 3）设 ， = = 12分 设 的直线方程为为 与曲线 的交点由 ， 的两根为 则 14分 同理 ，得 15分 代入（ *）计算 17分 18分 考点：直线与抛物线的位置关系的运用 点评：解决的关键是能利用直线方程与抛物线方程建立方程组，结合韦达定理和斜率公式来的饿到求解，属于中档题。
