1、2013年上海市青浦区高考一模（即期末）数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知函数 是定义在 上的单调增函数且为奇函数，数列 是等差数列， ，则 的值（ ） A恒为正数 B恒为负数 C恒为 0 D可正可负 答案： A 试题分析： 函数 是定义在 上的奇函数， f(0)=0，又函数 在 上的单调递增，且数列 是等差数列， ， ， ， 的值恒为正数 考点：本题考查了函数的性质及等差数列的性质 点评：利用函数的性质取判断抽象函数值的符号是解决此类问题的关键 已知复数 在复平面上对应点为 ，则 关于直线的对称点的复数表示是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设 z=x+yi，则 得 l方程：
2、 x+y-2=0， 复数 在复平面上对应点为 为（ 1,2）， 点 （ 1,2）关于直线 x+y-2=0对称的点为（ 0,1），故其复数表示为 i,故选 B 考点：本题考查了复数的几何意义及点关于直线的对称 点评：复数的几何意义有两点：一是复数与复平面内的点一一对应；二是复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应 对于原命题 “周期函数不是单调函数 ”，下列陈述正确的是（ ） A逆命题为 “单调函数不是周期函数 ” B否命题为 “周期函数是单调函数 ” C逆否命题为 “单调函数是周期函数 ” D以上三者都不对 答案： D 试题分析： 原命题 “周期函数不是单调函数 ”， 否命题 “若一个函数不是
3、周期函数，则它是单调函数 ”； 逆命题 “若一个函数不是单调函数，则它是周期函数 ”； 逆否命题 “若一个函数是单调函数，则它不是周期函数 ”，故选 D 考点：本题考查了四种命题的概念 点评：写出一种命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写 设双曲线 的虚轴长为 2，焦距为 ， 则双曲线的渐近线方程为（ ） A B C D答案： D 试题分析： 双曲线 的虚轴长为 2，焦距为 ， b=1,c= ， ,故双曲线的渐近线方程为 即，故选 D 考点：本题考查了双曲线的性质 点评：熟练掌握双曲线渐近线的求法公式及 a,b,c的关系是解决此类问题的关键 填空题 已知集
4、合 ，且 ，则实数 的取值范围是_ 答案： 试题分析： ， ，又 ， ，故考点：本题考查了集合的运算 点评：解题的关键在于灵活运用有关知识。数集一般是通过画数轴解答，点集一般是通过画图像解答 设 ，且满足 ，则 答案： -3 试题分析： 是定义域上的奇函数， 由知， x+4=-(y-1)，故 x+y=-3 考点：本题考查了函数奇偶性的运用 点评：用已知条件构造函数进行转化是重要的数学思想方法 正六边形 的边长为 1，它的 6条对角线又围成了一个正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 答案： 试题分析：由题意这些正六边形都是相似的，其面积成等比数列， 正六边形的边长为 1， ，同理，
5、 等比数列的公比为 ，故所有正六边形的面积和为 考点：本题考查了等比数列前 n项和及极限的运算 点评：解决此类问题常用到结论：设 是公比为 q的等比数列，其中 1且则 已知 满足对任意 都有 成立，则 的取值范围是 _ _ 答案： 试题分析： 对任意 x1x2，都有 成立， 函数在 R上单调递增，故 ，解得 ，故的取值范围是 考点：本题考查了分段函数的单调性 点评：解决此类问题的关键是常常根据分段函数的单调性，构造关于 a的不等式组 已知 与 ( )直线 过点与点 ，则坐标原点到直线 MN 的距离是 答案： 试题分析： 与 ( )直线 过点 与点 ， 直线 MN 为 ，则原点到直线MN 的距离
6、为 考点：本题考查了直线方程的求法及点到直线的距离 点评：求某些直线方程时，如果利用常规的方法好象题目中缺少条件，无从下手 .这时可以从结构上分析由条件导出的一个或几个等式与所求直线应满足的条件之间的关系，得出所求直线上的点的应满足某个等式，而此等式就是所求的直线方程 甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到 四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位 服务的概率是 答案： 试题分析：记甲、乙两人同时参加 岗位服务为事件 ，那么， 即甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率是 考点：本题考查了随机事件的概率 点评：求解此类问题时要注意区分几种基本概率模型，注意语言表达的科学性和符
7、合表述的规范性，在解决本部分问题时，要注意分类讨论、等价转化等思想方法的运用 如果执行右面的框图，输入 ，则输出的数 等于 答案： 试题分析： 初始值 ，循环下去： ； ； ； 输出 考点：本题考查了程序框图的应用 点评：解决此类问题的重点是循环结构的意义，注意判断框内的条件，考查分析问题、解决问题的能力 函数 的反函数 _ 答案： 试题分析： ， ，由 得 ，故 考点：本题考查了反函数的求法 点评：指数函数与对数函数互为反函数，求解指、对数函数的反函数通常利用的是它们之间的定义域、值域、单调性等的互化，但要注意反函数的定义域 抛物线 的焦点坐标是 _ 答案： 试题分析： ， ， 焦点坐标为
8、考点：本题考查了抛物线的性质 点评：套用抛物线焦点坐标公式时要注意把抛物线方程化为标准形式 若 ，则 化简后的最后结果等于_ 答案： 试题分析： 在行列式 展开式中， 即为 的代数余子式的值元素 在第二行第三列，那么化去第二行第三列得到 的代数余子式为 (-1) 2+3 =2，解这个余子式的值为 2则 化简后的最后结果等于 2 考点：本题考查了二阶行列式的定义 点评：解决本题的关键是掌握行列式的计算方法，考查运算求解能力与转化思想属于基础题 已知正三棱柱的底面正三角形边长为 2，侧棱长为 3，则它的体积 答案： 试题分析： 正三棱柱的底面正三角形边长为 2，侧棱长为 3， 考点：本题考查了正三
9、棱柱的性质及体积公式 点评：熟记正三角形的面积公式及正三棱柱的体积公式是解决此类问题的关键 若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 答案： 试题分析：设圆柱的底面半径为 r,母线长为 l，由题意 r=l， 考点：本题考查了圆柱展开图的性质 点评：掌握圆柱的性质是解决此类问题的关键，属基础题 在 中， ， ，则 答案： 试题分析： ， ， ， 考点：本题考查了余弦定理及数量积的定义 点评：熟练掌握余弦定理及数量积的定义是解决此类问题的关键，属基础题 若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可） 答案： 试
10、题分析：设三个互不相等的实数为 a-d， a， a+d，（ d0），交换这三个数的位置后： 若 a是等比中项，则 a2=（ a-d）（ a+d），解得 d=0，不符合； 若 a-d是等比中项，则（ a-d） 2=a（ a+d），解得 d=3a，此时三个数为 a， -2a， 4a，公比为 -2或三个数为 4a， -2a， a，公比为 - 若 a+d是等比中项，则同理得到公比为 -2，或公比为 - ，所以此等比数列的公比是 -2或 - 考点：本题考查了等差数列与等比数列的综合 点评：解决等差数列、等比数列的问题时，常采用设出首项、公差、公比，利用基本量的方法列出方程组来解 解答题 (本题满分 12
11、分 ) 本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 6分 如图已知四棱锥 的底面是边长为 6的正方形，侧棱 的长为 8，且垂直于底面，点 分别是 的中点求 （ 1）异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （ 2）四棱锥 的表面积 . 答案：（ 1） (2) 144 试题分析： （ 1）解法 一：连结 ，可证 ，直线 与 所成角等于直线与 所成角因为 垂直于底面 ,所以 ,点 分别是 的中点 , ，在 中 , , , , 即异面直线 与 所成角的大小为 解法二：以 为坐标原点建立空间直角坐标系可得 ， ， ， ， 直线 与 所成角为 ，向量 的夹角为 又 ， ， 即
12、异面直线 与 所成角的大小为 （说明：两种方法难度相当） (2) 因为 垂直于底面 ,所以 ， 即 ，同理 8 分 底面四边形 是边长为 6的正方形，所以 又所以四棱锥 的表面积是 144 考点：本题考查了异面直线的夹角及四棱锥表面积的求法 点评：高考中的立体几何问题主要是探求和证明空间几何体中的平行和垂直关系以及空间角、体积等计算问题对于平行和垂直问题的证明或探求，其关键是把线线、线面、面面之间的关系进行灵活的转化在寻找解题思路时，不妨采用分析法，从要求证的结论逐步逆推到已知条件 (本题满分 14分 ) 本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分 . 已知数列 满足 （
13、1）设 ，证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式； （ 2）求数列 的前 项和 答案：（ 1）， 为等差数列又 ， （ 2） 试题分析：（ 1）， 2 分 为等差数列又 ， （ 2）设 ，则 3 考点：本题考查了等差数列的通项及数列的前 N 项和 点评：高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（ 1）数列本身的有关知识，其中有等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式；（ 2）数列与其他知识结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合以及探索 性问题；（ 3）数列的应用问题，其中主要是以增长率为主 . (本题满分 14分 ) 本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，
14、第 2小题满分 8分 . 已知 ， ，满足 （ 1）将 表示为 的函数 ，并求 的最小正周期； （ 2）已知 分别为 的三个内角 对应的边长，若对所有 恒成立，且 ，求 的取值范围 答案：（ I） ，其最小正周期为 （ II） 试题分析：（ I）由 得 即 所以 ，其最小正周期为 （ II）因为 对所有 恒成立 所以 ，且 因为 为三角形内角，所以 ，所以 由正弦定理得 ， ， ， ， 所以 的取值范围为 考点：本题考查了三角函数的性质及正余弦定理 点评：此类问题比较综合，运用时除了掌握三角函数的恒等变换之外，还要求灵活运用正余弦定理 (本题满分 16分 ) 本题共有 3个小题，第 1小题满分
15、 7分，第 2小题满分 7分 ,第 3小题满分 2分 . 设直线 交椭圆 于 两点，交直线 于点 （ 1）若 为 的中点，求证 : ； （ 2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真； （ 3）请你类比椭圆中（ 1）、（ 2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明） 答案：（ 1）设 ， 又 （ 2）逆命题：设直线 交椭圆 于 两点，交直线 于点 若 ，则 为 的中点 证明：由方程组 因为直线 交椭圆 于 两点， 所以 ，即 ，设 、 、 则 ， 又因为 ，所以 ，故 E为 CD的中点 （ 3） 为 中点的充要条件是 试题分析：（ 1）解法一：设 ， 又 解法二（点差法）：设 ， 两式相
16、减得 即 （ 2）逆命题：设直线 交椭圆 于 两点，交直线 于点 若 ，则 为 的中点 证法一：由方程组 因为直线 交椭圆 于 两点， 所以 ，即 ，设 、 、 则 ， 又因为 ，所以 ，故 E为 CD的中点 证法二：设 则 ， 两式相减得 即 又 ， 即 得 ，即 为 的中点 （ 3）设直线 交双曲线 于两点，交直线 于点 则 为 中点的充要条件是 考点：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系 点评：求过定点的圆锥曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：（ 1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程（ 2）联立法，即将直线方程与
17、双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解 (本题满分 18分 ) 本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分 . 我们把定义在 上，且满足 （其中常数 满足）的函数叫做似周期函数 （ 1）若某个似周期函数 满足 且图像关于直线 对称求证：函数 是偶函数； （ 2）当 时，某个似周期函数在 时的式为 ，求函数 ， 的式； （ 3）对于确定的 时， ，试研究似周期函数函数在区间 上是否可能是单调函数？若可能，求出 的取值范围；若不可能，请说明理由 答案：（ 1）因为 关于原点对称， 又函数 的图像关于直线对称，所以 又 ， 用 代替 得可知 ， 即函数 是偶函数；（ 2） ；（ 3） 试题分析：因为 关于原点对称， 又函数 的图像关于直线 对称， 所以 ， 又 ， 用 代替 得可知 ， 即函数 是偶函数； （ 2）当 时， ； （ 3）当 时， 显然 时，函数 在区间 上不是单调函数 又 时， 是增函数， 此时 若函数 在区间 上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有 ，解得 考点：本题考查了函数的性质 点评：函数的基本性质有单调性和奇偶性，它们是函数的两个重要的性质，在解决函数问题中起着非常重要的作用，主要用于判断函数单调性、求最值、求参数的取值范围等
