1、2014届上海市嘉定区高三上学期期末考试（一模）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 满足： 在 上是单调函数； 在 上的值域是 ，则称区间是函数 的 “和谐区间 ”下列结论错误的是（ ） A函数 （ ）存在 “和谐区间 ” B函数 （ ）不存在 “和谐区间 ” C函数 ）存在 “和谐区间 ” D函数 （ ， ）不存在 “和谐区间 ” 答案： D 试题分析：根据 “和谐区间 ”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间 即可，对函数 （ ）， “和谐区间 ” ，函数 是增函数，若存在 “和谐区间 ” ，则 ，因此方程 至少有两个不等实根，考虑函数 ，由
2、 ，得 ，可得 在 时取得最小值，而 ，即 的最小值为正，无实根，题设要求的 不存在，因此函数 （ ）不存在 “和谐区间 ”， 函数 ）的 “和谐区间 ”为 ，当然此时根据选择题的设置方法，知道应该选 D，事实上， 在其定义域内是单调增函数， “和谐区间 ” 为 ，故 D中的命题是错误的 考点：新定义的理解，函数的单调性，方程的解 将函数 （ ）的图像分别向左平移 （ ）个单位，向右平移 （ ）个单位，所得到的两个图像都与函数 的图像重合，则 的最小值为（ ） A B C D答案： C 试题分析：利用图象变换的结论，函数 （ ）的图像分别向左平移 （ ）个单位，得函数 的图象，向右平移（ ）个
3、单位，得函数 的图象，它们都与与函数 的图像重合，则最小的 应该为 ， ，从而 选 C 考点：图象的平移与诱导公式 若 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：只有第六项的二项式系数最大，说明 是偶数，且 ，于是其展开式通项为 ，常数项为 ，即 ，所以常数项为 选 A 考点：二项展开式中二项式系数与通项公式 设向量 ， ，则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 答案： B 试题分析：要说明是 “充分 ”还是 “必要 ”条件，实际上是研究两个命题，首先“ ”时， ，有
4、“ ”成立，故是必要的，又若 “ ”，则 ，不一定能得到 ，故不是充分的，因此选 B 考点：向量的平行与充分必要条件 填空题 函数 的定义域是 _ 答案： 试题分析：函数的定义域是使函数式有意义的自变量的集合，求定义域时要注意基本初等函数的定义域 考点：函数的定义域 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为 的等边三角形（图（ 1）；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（ 2）；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（ 3）； ；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、 、 级分形图则 级
5、分形图的周长为 _ 答案： 试题分析：这类问题关键是寻找规律，根据分形图的形成规律可知，从 级分形图得到 级分形图时，实际上是每条边三等分后去掉中间一段，然后增加两段，长度变为原来的 ，那么周长也变为原来的 ，即记 级分形图的周长为 ，则有 ， ，因此 考点：等比数列通项公式 已知函数 是偶函数，直线 与函数 的图像自左至右依次交于四个不同点 、 、 、 ，若 ，则实数 的值为 _ 答案： 试题分析：首先根据偶函数定义可得 ，其次有 在 轴左边，由于 以及对称性，知 ，把 代入 表达式，有，即 ，所以 ，又由刚才分析有，代入可求得 ，而 ，因此有 考点：偶函数的定义，二次方程根与系数的关系 设
6、集合 ， ，若存在实数 ，使得 ，则实数 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：首先集合 实际上是圆上的点的集合，即 表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是 1，因此两圆圆心距不大于半径这和 2，即 ，整理成关于 的不等式： ，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即 ，解得 考点：两圆位置关系及不等式有解问题 在平面直角坐标系中，动点 到两条直线 与 的距离之和等于 ，则 到原点距离的最小值为 _ 答案： 试题分析：本题考虑到两直线 与 相互垂直，且交点就是坐标原点，因此我们把这两条直线同时绕原点旋转到与坐标轴重合，在旋转过程中，动点 到原点距离的最小值不变，这
7、时动点 变成到两坐标轴的距离这和为 4，在第一象限内为线段 ， 到原点距离最小值为 ，在其它三个象限也一样最小值为 这就是所求的最小值（也可直接考虑，原 点轨迹是一个边长为 的正方形，原点是正方形的中心） 考点：轨迹问题与距离的最小值 若 存在，则实数 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：我们知道 存在的充要条件是 ，故本题中有，解之即得结论 考点： 存在的充要条件 在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ，点在直线 上运动， 为坐标原点， 为 的重心，则 的最小值为 _ 答案： 试题分析：把数量积 用坐标表示出来，应该能求出其最小值了设，由 点坐标为 ，因此，所以当 时， 取得最小值 9
8、 考点：数量积的坐标运算 已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 _ 答案： 试题分析：本题可直接根据复数模的性质 求解，则有 ，当然也可先求出 ，再求其模 考点：复数的模 已知函数 存在反函数 ，若函数 的图像经过点，则 的值是 _ 答案： 试题分析：本题关键是出函数 的反函数，由 得， ，即函数 的反函数为 ，那么这个反函数图象一定过点 ，所以 ， 考点：反函数的性质与求反函数 已知数列 的前 项和 （ ），则 的值是 _ 答案： 试题分析：只要理解数列的项 与前 项和 的关系即可很快得解， 考点：数列的项 与前 项和 的关系： 已知圆锥的母线长为 ，侧面积为 ，则此圆锥的体积为_ 答案： 试
9、题分析：要求圆锥体积，必须求出圆锥的底面半径和高，侧面积，所以 ，而 ，因此体积为 考点：圆锥的侧面积和体积 已知 为第二象限角， ，则 _ 答案： 试题分析：关键要求出 ，可通过直角三角形求解，也可利用同角间的三角函数的关系求解， 为第二象限角，则 ， 考点：同角间三角函数关系和两角和的正切公式 已知双曲线 （ ， ）满足 ，且双曲线的右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的方程为 _ 答案： 试题分析：抛物线 的焦点是 ，说明双曲线中有 ，而的关系是通过行列式给出的，我们要把它化为一般式，根据行列式的定义知，再由 ，得 ，即得双曲线方程 考点：抛物线的焦点，双曲线的标准方程 分别从集合 和
10、集合 中各取一个数，则这两数之积为偶 数的概率是 _ 答案： 试题分析：这属于古典概型，首先求出从两个集合中各取一个数和的取法总数为 ，而两数之积为偶数可从反而入手，两数之积为奇数的取法数为，因此为偶数的取法数为 12，从而所求概率为 考点：古典概型 解答题 如图，正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ， 为棱 的中点 （ 1）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （ 2）求该三棱锥的体积 答案： (1) ；（ 2） 试题分析：（ 1）求异面直线所成的角，一般是按照定义作出这个角，即作平行线，把空间角化为平面角，通过解三角形来处理，而作平行线，一般都是过异面直线中一条上的某点
11、作一条的平行线，如本题中有 是 的中 点，我们只要取 中点 ，则就有 ， （或其补角）就是所求；（ 2）要求棱锥体积，就要求出底面积（本题底面是正三角形，面积易求）和高，正棱锥中我们知道棱锥的高，侧棱，侧棱在底面上的射影构成一个直角三角形，可在这个直角三角形中求出正棱锥的高 试题：（ 1）取 中点 ，连结 、 ，因为 ，所以 就是异面直线 与 所成的角（或其补角） （ 2分） 在 中， ， ， （ 1分） 所以 （ 2分） 所以，异面直线 与 所成的角的大小为 （ 1分） （ 2）作 平面 ，则 是正 的中心， （ 1分） 连结 ， ， （ 1分） 所以 ， （ 1分） 所以， （ 2分） 考
12、点：（ 1）异面直线所成的角；（ 2）棱锥的体积 已知函数 ， （ 1）求函数 的最小正周期和单调递增区间； （ 2）在锐角三角形 中，若 ， ，求 的面积 答案：（ 1） （ ）；（ 2） 试题分析：（ 1）三角函数问题一般都是要把三角函数化为形式，然后利用正弦函数的知识解决问题，本题中选用二倍角公式和降幂公式化简为 ；（ 2）三角形的面积公式很多，具体地要选用哪个公式，要根据题意来确定，本题中已知 ，而 ，因此我们选面积公式 ，正好由已知条件可求出 ，也即求出 ，从而得面积 试题：（ 1）， （ 2 分） 所以，函数 的最小正周期为 （ 1分） 由 （ ）， （ 2分） 得 （ ）， （
13、2分） 所以，函数 的单调递增区间是 （ ） （ 1分） （ 2）由已知， ，所以 ， （ 1分） 因为 ，所以 ，所以 ，从而 （ 2分） 又 ，所以， ， （ 1分） 所以， 的面积 （ 2分） 考点：（ 1）三角函数的性质；（ 2）三角形的面积 已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为 ，且点 在椭圆 上 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设 是椭圆 长轴上的一个动点，过 作方向向量 的直线 交椭圆 于 、 两点，求证： 为定值 答案：（ 1） ；（ 2）证明见 试题分析：（ 1）已知椭圆的长轴长，就是已知 ，那么在椭圆的标准方程中还有一个参数 ，正好椭圆过点 ，把这个点的代入椭圆
14、标准方程可求出 ，得椭圆方程；（ 2）这是直线与椭圆相交问题，考查同学们的计算能力，给定了直线的方向向量，就是给出了直线的斜率，只要设动点 的坐标为 ，就能写出直线 的方程，把它与椭圆方程联立方程组，可求出 两点的坐标，从而求出 的值，看它与 有没有关系（是不是常数），当然在求时 ，不一定要把 两点的坐标直接求出（如直接求出，对下面的计算没有帮助），而是采取设而不求的思想，即设 ，然后求出 ， ，而再把 用 ， 表示出来然后代入计算，可使计算过程简化 试题：（ 1） 因为 的焦点在 轴上且长轴为 ， 故可设椭圆 的方程为 （ ）， （ 1分） 因为点 在椭圆 上，所以 ， （ 2分） 解得 ，
15、 （ 1分） 所以，椭圆 的方程为 （ 2分） （ 2）设 （ ），由已知，直线 的方程是 ， （ 1 分） 由 （ *） （ 2分） 设 ， ，则 、 是方程（ *）的两个根， 所以有， ， （ 1分） 所以， （定值） （ 3分） 所以， 为定值 （ 1分） （写到倒数第 2行，最后 1分可不扣） 考点： (1)椭圆的标准方程；（ 2）直线与椭圆相交问题 已知函数 （ 为实常数） （ 1）若函数 图像上动点 到定点 的距离的最小值为 ，求实数 的值； （ 2）若函数 在区间 上是增函数，试用函数单调性的定义求实数 的取值范围； （ 3）设 ，若不等式 在 有解，求 的取值范围 答案：（ 1
16、） 或 ；（ 2） ；（ 3）当 时，； 当 时， 试题分析：（ 1）点 是函数 上的点，因此我们设 点坐标为，这样可把 表示为关于 的函数，而其最小值为 2，利用不等式的知识可求出 ，即 点坐标，用基本不等式时注意不等式成立的条件；（ 2）题目已经要求我们用函数单调性的定义求解，因此我们直接用定义，设，则函数在 上单调递增，说明 恒成立，变形后可得 恒成立，即 小于 的最小值（如有最小值的话），事实上，故 ；（ 3）不等式 在 有解，则 ，因此 大于或等于 的最小值，下面我们要求 的最小值，而，可以看作是关于 的二次函数，用换元法变为求二次函数在给定区间上的最小值，注意分类讨论，分类的依据是
17、二次函数的对称轴与给定区间的关系 试题：（ 1）设 ，则 ， （ 1分） ， （ 1分） 当 时，解得 ；当 时，解得 （ 1分） 所以， 或 （ 1分） （只得到一个解，本小题得 3分） （ 2）由题意，任取 、 ，且 ， 则 ， （ 2分） 因为 ， ，所以 ，即 ， （ 2分） 由 ，得 ，所以 所以， 的取值范围是 （ 2分） （ 3）由 ，得 ， 因为 ，所以 ， （ 2分） 令 ，则 ，所以 ，令 ， ， 于是，要使原不等式在 有解，当且仅当 （ ） （ 1分） 因为 ，所以 相关试题 2014届上海市嘉定区高三上学期期末考试（一模）理科数学试卷（带） 数列 的首项为 （ ），前
18、项和为 ，且（ ）设 ， （ ） （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）当 时，若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围； （ 3）当 时，试求三个正数 ， ， 的一组值，使得 为等比数列，且， ， 成等差数列 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） ， ， 试题分析：（ 1）要求数列 的通项公式，已知的是 ，这种条件的应用一般是把 用 代换得 ，然后两式相减就可把 的递推关系转化为 的递推关系，但要注意这个递推关系中一般不含有 ，必须另外说明 与 的关系；（ 2） 时， ， ，那么不等式就是 ，请注意去绝对值符号的方法是两边平方，即等价于 ，这个二次的不等式对 恒成立，变形为 ，然后我们分析此不
19、等式发现，当 时，不可能恒成立； 时，不等式恒成立；当 时，不等式变 为，可分类（ ）分别求出 的范围，最后取其交集即得；（ 3）考查同学们的计算能力，方法是一步步求出结论，当时， ， ， ，最后用分组求和法求出， 根据等比数列的通项公式的特征一定有 ，再加上三个正数 ， 成等差数列，可求出 ， ， ，这里考的就是计算，小心计算 试题：（ 1）因为 当 时， ， 得， （ ）， （ 2分） 又由 ，得 ， （ 1分） 所以， 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以（ ） （ 1分） （ 2）当 时， ， ， ， （ 1分） 由 ，得 ， （ *） （ 1分） 当 时， 时，（ *）不成立； 当 时，（ *）等价于 （ *） 时，（ *）成立 时，有 ，即 恒成立，所以 相关试题 2014届上海市嘉定区高三上学期期末考试（一模）理科数学试卷（带）
