1、2014届上海市徐汇、金山、松江区高三下学期学习能力诊断文数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数 图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下 不可能成为公比的数是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：函数 图象上的点到原点的距离的最小值为 1，最大值为 3，故 ，即 ，而 ，因此选 B. 考点：等比数列的性质 . 在 中，角 的对边分别是 ，且 ，则 等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，所以 ，. 考点：三角形的内角和，正弦定理 . 已知直线 平面 ，直线 平面 ，给出下列命题 ,其中正确的是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：对 ，由 平面 ，
2、 ，又 ，因此有 ， 正确， 错误，直线 与平面 的关系不确定，因此 与 的关系也不确定， 由 可得 ，因此 ， 正确， 由已知平面 与 的位置关系不确定，因此填空 . 考点：直线与平面的位置关系 . 命题 ： ；命题 ：关于 的实系数方程 有虚数解 ,则是 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：实系数方程 有虚数解，则 ，即 ，由于 ，因此选 B 考点：充分必要条件 填空题 已知集合 ， ，则_ 答案： 试题分析：由题意 ， ，则考点：集合的运算 . 如图所示，在边长为 2的正六边形 中，动圆 的半径为 1，圆心在线段 （含
3、端点）上运动， 是圆 上及内部的动点，设向量为实数），则 的最大值为 _ 答案： 试题分析：我们知道当点 在直线 上时，若 ，则 ，因此我们把直线 向上平移，则 在增大（只要点 在与 平行的同一条直线上， 就不变，也即 的值随直线到点 的距离的变化而变化），当 与 重合，这时圆 上有一点到 的距离最大为 5，而点 到直线 的距离为 1，故 最大值为 5. 考点：向量的线性表示，三点共线的性质 . 对于集合 ，定义集合 ，记集合 中的元素个数为 若 是公差大于零的等差数列，则=_ 答案： 试题分析：不妨设 ，由题意，集合 中最小项为 ，最大项为 ，对任意的 ，如果 ，则可取，若 ，可取 ，显然由
4、于，有 ，即 ，所以 . 考点：集合的元素 . 如图，三行三列的方阵中有 9 个数 ，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 _ (结果用分数表示 ) 答案： 试题分析：首先从 9个数中任取 3个数共有 种，至少有 2个数同行或同列的取法有 种，所求概率为 . 考点：古典概型 . 若 的展开式中 的系数为 ， 则 =_ 答案： 试题分析：由二项式定理知 的系数是 ，所以 . 考点：二项式定理，裂项相消求和，数列极限 . 已知实数 、 满足不等式组 ，则 的最大值是_ 答案： 试题分析：作出不等式组表示的可行域，如图四边形 内部（含边界），作直线 ，平移直线 ，当 过点 时， 取得
5、最大值20 考点：线性规划 如图，在直三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值是 _ 答案： 试题分析：由于 ，所以 （或其补角）就是所求异面直线所成的角，在 中， ， ， ， 考点：异面直线所成的角 直线 的倾斜角的大小是 _ 答案： 试题分析：由题意 ，即 ， 。 考点：直线的倾斜角 . 函数 的单调递减区间是 _ 答案： 试题分析： ，解得 ， . 考点：三角函数的单调单调区间 函数 的值域是 _ 答案： 试题分析：函数 在区间 是增函数，因此当 时， 考点：函数的值域 设复数 满足 ，则 _ 答案： 试题分析：由题意 ， 考点：复数的运算，共轭复数 某学校高一、高二、高三共有 2
6、400 名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120的样本 .已知高一有 820名学生，高二有 780名学生，则在该学校的高三应抽取 _名学生 . 答案： 试题分析：高三学生人数为 800，如设高一、高二、高三抽取的人数分别为，则 ，又 ，解得 考点：分层抽样 函数 的最小正周期 =_ 答案： 试题分析：由题意，其最小正周期为 考点：行列式，三角函数的周期 已知函数 ，则 _ 答案： 试题分析：由题意得 ，所以 考点：反三角函数 解答题 如图所示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为 2的正三角形 ，俯视图为半径等于 1的圆 .试求这个几何体
7、的体积与侧面积 . 答案： ， 试题分析：由基本几何体的三视图可知，本题是一个圆锥的三视图，圆锥底面圆半径为 1，轴截面是边长为 2的等边三角形，故高为 ，即圆锥的，根据公式可求侧面积和体积 试题：根据几何体的三视图知，原几何体是以半径为 1的圆为底面且高为 的圆锥 由于该圆锥的母线长为 2， （ 4分） 则它的侧面积 ， （ 8分） 体积 （ 12分） 考点：三视图，圆锥的侧面积、体积公式 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路 BC和一条索道 AC，小王和小李打算不坐索道，而是花 2个小时的时间进行徒步攀登已知 ， ， （千米）， （千米）假设小王和小李徒步攀登的速
8、度为每小时 1200米，请问：两位登山爱好者能否在 2个小时内徒步登上山峰 （即从 B点出发到达 C点） 答案：能够 . 试题分析：由于小王和小李攀登的速度为每小时 1200米，因此两小时能爬2400米，从而如果山路 的长不大于 2400米，则就能够，如果 的长大于2400米，就不能，故下面主要就是计算 的长，实质就是计算 的长，而可在 中解决，在 中有 （千米），再看，由已知 可求得它的三个角大小，又有 （千米），可解出 ，这样就可能得到 ，也即 . 试题：由 知 ， 由正弦定理得 ，所以， （ 4分） 在 中，由余弦定理得： ， 即 ，即 ， 解得 （千米）， （ 10分） （千米）， （
9、 12分） 由于 ，所以两位登山爱好者能够在 2个小时内徒步登上山峰 （ 14分） 考点：解三角形 . 已知椭圆 的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）已知直线 与椭圆 交于 、 两点，试问，是否存在 轴上的点 ，使得对任意的 ， 为定值，若存在，求出 点的坐标，若不存在，说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2）存在点 使得 为定值 . 试题分析：（ 1）椭圆的标准方程是 ，则本题中有 ，已知三角形的面积为 4，说明 ，这样可以求得 ；（ 2）存在性命题的解法都是假设存在，然后想办法求出 .下面就是想法列出关于 的方程，本题是直线与椭圆相交问题，一般方法
10、是设交点为 ，把直线方程代入椭圆方程交化简为 ，则有 ，而 ，就可用 表示，这个值为定值，即与 无关，分析此式可得出结论 试题：（ 1）设椭圆的短半轴为 ，半焦距为 ， 则 ，由 得 ， 由 解得 ,则椭圆方程为 . （ 6分） （ 2）由 得 设 由韦达定理得： = = = ， （ 10分） 当 ，即 时， 为定值，所以，存在点 使得 为定值（ 14分） 考点：（ 1）椭圆的标准方程；（ 2）直线与椭圆相交问题 定义：对于函数 ，若存在非零常数 ，使函数 对于定义域内的任意实数 ，都有 ，则称函数 是广义周期函数，其中称 为函数 的广义周期， 称为周距 （ 1）证明函数 是以 2为广义周期的
11、广义周期函数，并求出它的相应周距 的值； （ 2）试求一个函数 ，使 （为常数， ）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期 和周距 ； （ 3）设函数 是周期 的周期函数，当函数 在上的值域为 时，求 在 上的最大值和最小值 答案：（ 1） 2；（ 2） ， ， ；（ 3） 试题分析：本题是一个新定义概念问题，解决问题的关键是按照新定义把问题转化为我们熟悉的问题，（ 1）就是找到 使 为常数，考虑到 ，因此取 ，则有 ，符合题设，即得；（ 2）在（ 1）中求解时，可以想到一次函数就是广义周期函数，因此取 ，再考虑到正弦函数的周期性，取 ，代入新定义式子 计算可得；（ 3）首先，函数 应该是广
12、义周期函数，由新定义可求得一个广义周期是 ，周距 ，由于，可见 在区间 上取得最小值，在 上取得最大值，而当时，由上面结论可得 ，最小值为 ，当 时， ，从而最大值为 试题：（ 1） ， ，（非零常数） 所以函数 是广义周期函数，它的周距为 2 （ 4分） （ 2）设 ，则 （非零常数） 所以 是广义周期函数，且 （ 9分） （ 3） ， 所以 是广义周期函数，且 （ 10分） 设 满足 ， 由 得： ， 又 知道 在区间 上的最小值是 在 上获得的，而 ，所以 在 上的最小值为 （ 13分） 由 得 得： ， 又 知道 在区间 上的最大值是 在上获得的， 而 ，所以 一个三角形数表按如下方式
13、构成（如图：其中项数 ）：第一行是以 4为首项， 4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如： ； 为数表中第 行的第 个数 （ 1）求第 2行和第 3行的通项公式 和 ； （ 2）证明：数表中除最后 2行外每一行的数都依次成等差数列； （ 3）求 关于 （ ）的表达式 答案： (1) , ；（ 2）证明见， ；（ 3） 试题分析：（ 1）根据定义， ，因此， ；（ 2）由于第 行的数依赖于第 的数，因此我们可用数学归纳法证明；（ 3）设第 行的公差为 ， ，而，从而 ，即 ，于是有，由此可求得数列 是公差为 1的等差数列，而，由等差数列通项公式得 ，从而有 试题：（ 1） （ 4分） （ 2）由已知，第一行是等差数列， 假设第 行是以 为公差的等差数列，则由 （常数） 知第 行的数也依次成等差数列，且其公差为 . 综上可得，数表中除最后 2行以外每一行都成等差数列 （ 9分） （ 3）由于 ，所以 ， （ 11分） 所以 ， 由 得 ， （ 13分） 于是 ，即 ， （ 15分） 又因为 ，所以，数列 是以 2为首项， 1为公差的等差数列， 所以， ，所以（ ） （ 18分） 考点：（ 1）等差数列的通项公式；（ 2）等差数列的判定；（ 3）由递推公式求通项公式
